1、INTEGRATION BY PARTS,分 部,积 分 法,分析,1. 引例,一、探索公式,试求下列不定积分,问题,从以上分析中，发现了什么现象或规律？,一个积分难以求解，但是，将微分号“d ”前后,两个函数的位置交换之后的另一个积分却易于求解.,(1)(2)暂无法求解；,这种现象在积分问题中还大量存在. 如，,2. 寻求积分,与积分,udv,vdu,之间的关系,一、探索公式,分析,1. 引例,试求下列不定积分,问题,从以上分析中，发现了什么现象或规律？,(1)(2)暂无法求解；,二、解读公式,1. 公式名称的由来,2. 公式成立的条件,分部积分,分部积分公式,若函数u 和v 均 可微 ，,
2、3. 公式蕴涵的思想, integration by parts.,则,其中蕴涵了“正难则反”“化难为易”的 转化思想 .,4. 公式体现的“美”,它是一个十分简洁、对称、优美的不定积分模型.,三、使用公式,例1（引例（2）求不定积分,解,分部积分公式,检验,等于被积函数,例2 求不定积分,分析,分部积分公式,的导数有简化趋势；,的导函数无简化趋势.,解,导函数趋于简化的函数留作u,分部积分公式,例3 求不定积分,解,同类函数,同类函数,集合方程,四、总结公式,3. 当多个函数都可凑进，但又不能同时凑进微分号时，要选择易于积分的函数凑进微分号，导数有简化趋势的函数留在微分号前面，再用分部积分公式.,1. 分部积分法，就是用分部积分公式求解不定积分问题的方法. 其核心是分部积分公式的使用. 分部积分法，通常要和凑微分法和换元法结合使用.,2. 当被积函数是多个函数的乘积时，要尽量使更多的函数凑到微分号后面去，直到不再有函数可凑进微分号为止，再用分部积分公式.,4. 当几个函数积分和微分的难易程度相当，且需多次使用分部积分公式时，每次要将同类函数凑进微分号，否则，积分过程将原路返回.,练习题,1.计算下列不定积分,2.已知 的一个原函数是,，求,
