1、第四章 不定积分（3 分部积分法）1第三节 分部积分法教学内容：分部积分法教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取，熟练掌握分部积分法的步骤。vu,教学重点：分部积分法及其应用教学难点：在分部积分法中，恰当选取 。vu,教学学时：1 学时教学进程：我们知道，求不定积分是求微分的逆运算导数公式 不定积分公式；复合函数的求导公式 换元积分公式；乘积求导公式 分部积分公式（不同类型函数乘积的积分） 。1 引入用我们已经掌握的方法求不定积分 xdcos分析：被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。凑微法失效。 x第二类换元积分法解：不妨设 ttarcoscos则
2、原方程 更为复杂dttt21ar所以凑微法和第二换元积分法都失效。反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设 为两vu,个具有连续导数的函数）已知： )(uv对上式两边积分得： dxCv移项得： vdx观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意： 中 为导数形式。dxuv故，我们可以尝试来解一下上面的积分。Cxxdxdcosini)(icos形 式 一 样先 要 化 的 和 要 求 积 分 的第四章 不定积分（3 分部积分法）2通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法” 。2 公式设函数 和 都具有连续的导数
3、，则有分部积分公式：)(xu)(v（或 ）vdxud vdu3 例题讲解例 1计算不定积分 xe解 设 ， ，则 ， （*） ，xuv1uxev于是 xxededC注意：（1） （*）处没有加 ，这是因为我们取了最简单的情况 。C0（2）若设 , ，则xeudv，xex221积分 比积分 要复杂，没有达到预期目的由此可见，选择 非常关键，dxe2e vu,一般要考虑下列两点：（1） 要易求；v（2）积分 要比积分 易计算xudxvu练习：求 sin例 2计算不定积分 xl分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看
4、作 即可。xln1解：设 ， ，则 ， ，xuln1vxuv于是Cxdln1l注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。第四章 不定积分（3 分部积分法）3例 3计算不定积分 。xdarctn解 设 ；则 ,vu,rt 221,xvu于是 xdactndx22arctn1 dx12arctn2x)1(t22211arctn(arctnxxC()2练习：求 。xdarcsi例 4. 计算不定积分 2xe解 设 ， ，则 ， ，2uxxvuxev于是 2xeded2xxxxeeC注意： 如果要两次分部积分，选取 要一致，否则会还原vu,例 5计算不定积分 xdesin解：xdexe
5、dxesincosinisn好像进入了死胡同，实则不然，令 ,则上式变为：I)2(,)cossin(21i 11CxeIxIeIx 其 中则第四章 不定积分（3 分部积分法）4练习：求 。xdecos从这几个典型例题可以看到，一般情况下， 可按下列规律选择：vu,（1）形如 ， （其中 为正整数）的不定积分，,sinkx,coskxdnxeknn令 ，余下的凑成 。nxuv（2）形如 ， ， 时，令 ，余下的凑成xdnlxnarcsixdnarctnxv。（3）形如 的不定积分，可以任意选择 与 ，但由于要bdebeaxaxo,si u使用两次分部积分公式，两次选择 与 应保持一致，只有这样才
6、能出现循环公式并求出uv积分。说明（1）用分部积分法的情况不止于此，总的原则是适当选取 及 ，使 更加便于积uv分（2）一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法例 6求 的递推公式，其中 为正整数，并求出 。dxeInn321,I解： 11 nxnxnxxnn eded因此可得 的递推公式为xeI),321(,nIn其中 ，那么有CedxI0101eIx2212 CeexI x32323 6exI x例 7计算不定积分 d解 dxetetet2td)(dtetctt2xC4 小结1、分部积分公式第四章 不定积分（3 分部积分法）52、在分部积分的公式中， 的选取。vu,3、结合其他的积分方法灵活的使用公式。作业：习题 43（ ）1、4、5、7、8、9、102P
