5约束优化的数学基础

1、第二章数列,第二章数列,21数列的概念与简单表示法,学习导航预习目标重点难点重点：数列的表示方法难点：由递推公式求数列的通项公式,1数列及其有关概念、表示,首项,一定顺序,想一想1.1,2,3,4,5和5,4,3,2,1是相同数列吗？其首项分别是什么？提示：不是，1,5.,2数列的分类,有限,无限,2,大于,2,小于,相等,2,3.数列的通项公式如果数列an的第n项与_之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的_,序号n,通项公式,想一想2.是否所有的数列都有通项公式？提示：不是，如精确到1,0.1,0.01，的近似值组成的数列就没有通项公式,做一做。

2、24.2等比数列的性质,学习导航预习目标重点难点重点：等比数列的性质及应用难点：等比数列与等差数列的综合应用,等比数列的性质若数列an是公比为q的等比数列，则(1)anamqnm(m，nN*)；(2)若mnpq2k(m，n，p，q,kN*),则amanapaq_；(3)can(c是非零常数)是公比为_的等比数列；,q,(4)|an|是公比为_的等比数列；(5)若an、bn分别是公比为q1、q2的等比数列，则数列anbn是公比为_的等比数列做一做已知an为等比数列，a2a71，则a3a6_.答案：1,|q|,q1q2,题型一等比数列的性质 等比数列an中，an0，a3a632，则log2a1log2a2log2a8等于()A128B36C20 D10,【解。

3、22.2等差数列的性质,学习导航预习目标重点难点重点：等差数列的性质及应用难点：运用等差数列定义及性质解题,等差数列的性质(1)若an是公差为d的等差数列，则下列数列：can(c为任一常数)是公差为_的等差数列；can(c为任一常数)是公差为_的等差数列,d,cd,(2)若an为等差数列，则anam_d(m，nN*)(3)若an为等差数列,且mnpq(m，n，p，qN*)，则aman_.特别地：当pq时，_2ap.,(nm),apaq,aman,想一想若amanapaq,则一定有mnpq吗？提示：不一定若an是常数列，不一定有mnpq.做一做等差数列an中，若a1020，d2，则a6_.解析：a6a104d20812.答案：12,题型一。

4、33.2简单的线性规划问题,学习导航预习目标重点难点重点：求目标函数的最值难点：利用线性规划解决实际问题,线性规划中的基本概念,不等式组,线性约束条件,可行解,最大或最小值,线性约束,想一想1.最优解一定是可行解吗？提示：一定想一想2.目标函数z2xy,将其看成直线方程时,z的意义是什么？提示：该直线在y轴上的截距的相反数,题型一求线性目标函数的最值,A1，1B2，2C1，2 D2，1【解析】作出可行域(如图阴影部分所示)，设zx2y，作l0：x2y0，把l0向左下方平移到点(0，1)时，z有最小值，zmin02(1)2.把l0向右上方平移到点(0,1)时，z有最大值，z。

5、生活中的优化问题习题课,例1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10km时，燃料费是每小时6元，其它与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使每行驶1km的总费用最小？,20km/h,例2 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么当容器的高为多少时，其容积最大？最大容积为多少？,高为1.2m，最大容积为1.8m3.,例3如图所示，一条宽为1m的走廊与另一条走廊垂直相连，要使一条长为8m的细杆能水平通过拐角，问另一条走廊的宽度。

6、31.2不等式的性质,学习导航预习目标重点难点重点：不等式性质的理解与应用难点：不等式的证明,不等式的基本性质(1)对称性：ab_.(2)传递性：ab，bc_.(3)可加性：ab_.(4)可乘性：ab，c0_；ab，c0_.,ba,ac,acbc,acbc,acbc,(5)加法法则：ab，cd_.(6)乘法法则：ab0，cd0_.(7)乘方法则：ab0anbn0(nN，n2)(8)开方法则：ab00(nN,n2).想一想两个同向不等式可以相乘吗？提示：不可以相乘,例如21，13.,acbd,acbd,做一做已知ab，则()A3a3bB2a2bCab D11a11b答案：A,题型一利用不等式的性质判断命题的真假 下列命题是。

7、,专题5 生命活动的物质基础,常见有机物的分离提纯方法 依据有机物的沸点、水溶性、互溶性以及酸碱性等，可选择不同的分离方法，达到分离提纯的目的。有时，也可采用水洗法、酸洗法或碱洗法来进行提纯操作。常见的分离提纯方法见下表：,NaOH溶液,分液,饱和Na2CO3溶液,NaOH溶液,H2O、NaOH溶液,NaOH溶液,分液,分液,分液,分液,酸性KMnO4、NaOH溶液,CaO,NaOH,NaHCO3溶液,NaCl,H2O,溴水,分液,蒸馏,蒸馏,分液,盐析,渗析,洗气,要除去下表中所列有机物中的杂质(括号内为杂质)，从()中选择适宜的试剂，从()中选择分离提纯的方法，把序号填入表中。 (。

8、9地图分幅编号,分幅编号概述k55()() 国家基本比例尺地形图的分幅编号方法 根据比例尺计算图幅经、纬差 有关分幅编号的计算由图号求地理坐标（正算）由坐标求图号（反算）,地图分幅编号概述,一、分幅编号我国幅员辽阔，各种地图数量极大。为了便于管理，防止重、漏，地形图必须按适当的面积、大小划分图幅，并进行统一的编号，使每个图幅都有一个固定的区域和号码。这项工作称为地图的分幅编号。,二、地图分幅：*,主要有两种：1.矩形分幅：即按矩形划分图幅图廓是矩形。图幅大小依地图用途、比例尺、制图区域大小，纸张和印刷机规格而定。。

9、1,CAD技术基础,材料学院 华铸软件 廖敦明 liaodunming163.com,2,第五章 参数化技术,5.1 基于约束的参数化设计概述5.2 约束推理求解算法5.3 参数化CAD系统,3,本章要解决的问题：,为什么要采用参数化设计方法？和传统设计方法比较优势在哪儿？怎样构建一个参数化设计系统？学会一个参数化系统的应用。,4,设计的一般过程,设计,求证,再设计,实际设计的时间分配设计（建模） 1/3标注尺寸审核 1/3设计修改 1/3,5,一个简单的实例,传统的设计过程 1、通过四边形的四个顶点的标值画出该四边形（四条线） 2、修改方法（三条线）1）移动右边的铅垂线。

10、第二章 优化方法的数学基础,2-1 方向导数与梯度 2-2 凸集、凸函数与凸规划 2-3 无约束优化问题的极值条件 2-4 有约束优化问题的极值条件,凡贾盟董畔坦第份掇焊锦祷控虑茵佑楔虑筐垣闹效狮象链麻猖占并扶足横第二章 优化方法的数学基础第二章 优化方法的数学基础,2-1 方向导数与梯度,一、函数的方向导数 一个二元函数F(x1,x2)在X0点处的偏导数定义为:分别是函数在点X0处沿坐标轴方向的变化率.,潜娄蛾嚎委烷钵杉凶洲楷蚂栋矫省撮划挛蠕剔之镑喊庚旷城羡纪剔轧留淑第二章 优化方法的数学基础第二章 优化方法的数学基础,函数 在点 处沿某一方。

11、第二章 优化设计的数学基础,机械设计问题一般是非线性规划问题。,实质上是多元非线性函数的极小化问题，因此，机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的。,机械优化设计问题分为：,无约束优化,约束优化,无条件极值问题,条件极值问题,第一节 多元函数的方向导数与梯度,一、方向导数,从多元函数的微分学得知，对于一个连续可微函数f(x)在某一点 的一阶偏导数为：,它表示函数f(x)值在 点沿各坐标轴方向的变化率。,有一个二维函数，如图2-1所示。,图2-1 函数的方向导数,其函数在 点沿d方向的方向导数为,二、二元函数的梯度,即,三、多元。

12、,第二章 优化设计的数学基础,一、多元函数的方向导数和梯度,二、多元函数的泰勒展开,三、无约束优化问题的极值条件,四、凸集、凸函数与凸规划,五、等式约束优化问题的极值条件,六、不等式约束优化问题的极值条件,1、方向导数,二元函数,在,点处的偏导数的定义是：,二元函数,在,点处沿某一方向,的变化率，其定义为,方向导数,一、多元函数的方向导数和梯度,=,+,偏导数与方向导数的关系,n元函数在点x0处沿d方向的方向导数,2、二元函数的梯度,令,梯度,当梯度方向和d方向重合时，方向导数值最大，即梯度方向是函数值变化最快方向，而梯度的模就。

13、第二章 优化方法的数学基础,2-1 方向导数与梯度 2-2 凸集、凸函数与凸规划 2-3 二次函数及正定矩阵 2-4 无约束优化问题的极值条件 2-5 有约束优化问题的极值条件,2-1 方向导数与梯度,一、方向导数,二元函数在点x0处沿某一方向s的方向导数,方向导数是偏导数概念的推广。,方向导数与偏导数之间的数量关系是,n元函数在点x0处沿s方向的方向导数,图2-1,二、 梯度,二元函数的梯度,为函数F(x1，x2)在x0点处的梯度。,梯度的模：,设,梯度方向和s方向重合时，方向导数值最大。,梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的模就是函数变化率的最大值 。。

14、第2章 优化方法的数学基础,2.1 方向导数与梯度 1、方向导数二元函数(定义可微)在点x0处沿某一方向S的方向导数,第2章 优化方法的数学基础,2.1 方向导数与梯度,第2章 优化方法的数学基础,2.1 方向导数与梯度三元函数:,n元函数在点x0处沿S方向的方向导数 上式表明了方向导数与偏导数之间的数量关系 方向导数是偏导数概念的推广 方向导数表明了函数f(X)在点X(0)沿S方向的变化率，它是一个标量 + 函数f(X)在X(0)点处沿S方向是增加的- 函数f(X)在X(0)点处沿S方向是减小的,2、梯度,二元函数的梯度,为函数f(x1，x2)在x0点处的梯度,梯度的模：,设,。

15、第二章 优化设计的数学基础,机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上 无约束优化问题就是数学上的无条件极值问题 约束优化问题则是数学上的条件极值问题,一.多元函数的方向导数与梯度,1)函数的偏导数就是这个函数对自变量的变化率。,1. 方向导数,2) 二元函数的方向导数 即沿某一方向d 的变 化率，定义为3.方向导数与偏导数的 关系,n元函数的方向导数,2. 二元函数的梯度,2)二元函数梯度的几何解释,2)二元函数梯度的几何解释,2)二元函数梯度的几何解释,2)二元函数梯度的几何解释,2)二元函数梯度的几何解释,2)二元函数梯度的几何解释,3。

16、第二章优化设计的数学基础 机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上无约束优化问题就是数学上的无条件极值问题约束优化问题则是数学上的条件极值问题 一 多元函数的方向导数与梯度 1 函数的偏导数就是这个函数对自变量的变化率 1 方向导数 2。

17、第三章 优化设计的数学模型,3-1 设计变量 3-2 约束条件 3-3 目标函数 3-4 优化设计的数学模型 3-5 数学模型的几何描述 3-6 优化设计的迭代过程及终止准则,优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。,3-1设计变量,一、设计变量设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的 量。设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定 数值。可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置运动学参数： 例，位移、速度、加速度动力学参。

18、6.2 优化方法的数学基础,方向导数与梯度 二次函数及正定矩阵 无约束优化问题的极值条件 等式约束优化问题的极值条件 不等式约束优化问题的极值条件 优化设计问题的基本解法,一、 方向导数与梯度,（一）方向导数,二元函数在点x0处沿某一方向s的方向导数,方向导数是偏导数概念的推广。,方向导数与偏导数之间的数量关系是,一个三元函数f(x1, x2， x3)在x0(x10, x20， x30) 点处沿s方向的方向导数为,s,s,n元函数在点x0处沿s方向的方向导数,（二） 梯度,二元函数的梯度,为函数F(x1，x2)在x0点处的梯度。,梯度的模：,设,图2-2 梯度方向与等值线。

19、第二章 优化设计的数学基础,一、等值（线）面,对于可计算的函数 f(x)，给定一个设计点 X(k)(x1(k),x2(k), ,xn (k)，f(x)总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点X(i)(x1(i), x2(i), ,xn(i) ) （i=1,2, ）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为等值面。,当 c 取c1,c2, 等值时，就获得一族曲面族，称为等值面族。,当f(x)是二维时，获得一族等值线族；当f(x)是三维时，获得一族等值面族；当f(x)大于三维时，获得一族超等值面族。,悲捷啡霜柠削苇耙仟灶竹探裙碰淑毒午涟耳盗撅珊恢霓脆派收虏沥傍予灵机械优化设计_优。

20、约束优化的数学基础,本章内容,优化问题分单变量和多变量，有约束和无约束，线性和非线性问题。 无约束优化就是数学上的无条件极值，约束优化就是数学上的条件极值。 我们常见的是非线性规划问题。 本章是回顾相关的数学基础，讨论约束最优化的条件等问题,多元函数的极小值充分必要条件,正定,约束优化的模型：,第一节 等式约束优化的极值条件,求解等式约束优化问题：,需要导出极值存在的条件，这是求解等式约束优化问题的理论基础。对这一问题在数学上有两种处理方法：消元法（降维法）和拉格朗日乘子法（升维法），现分别予以介绍。,为了。