1、22.2等差数列的性质,学习导航预习目标重点难点重点：等差数列的性质及应用难点：运用等差数列定义及性质解题,等差数列的性质(1)若an是公差为d的等差数列，则下列数列：can(c为任一常数)是公差为_的等差数列；can(c为任一常数)是公差为_的等差数列,d,cd,(2)若an为等差数列，则anam_d(m，nN*)(3)若an为等差数列,且mnpq(m，n，p，qN*)，则aman_.特别地：当pq时，_2ap.,(nm),apaq,aman,想一想若amanapaq,则一定有mnpq吗？提示：不一定若an是常数列，不一定有mnpq.做一做等差数列an中，若a1020，d2，则a6_.解析：
2、a6a104d20812.答案：12,题型一等差数列性质的运用 (1)(2011高考重庆卷)在等差数列an中,a3a737，则a2a4a6a8_；(2)已知an为等差数列，a158，a6020，则a75_.,【解析】(1)由等差数列的性质知a2a4a6a82(a3a7)23774.(2)法一：因为an为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项，所以a60a153d，得d4.所以a75a60da7524.,【答案】(1)74(2)24,【名师点评】等差数列的性质在数列问题的研究中经常用到，而且它具有很强的灵活性，常用的等差数列
3、的性质如下：(1)等差数列an中，若公差d0，则数列为递增数列；若d0，则数列为递减数列；若d0，则数列为常数列(2)等差数列an中,若mnpq,则amanapaq.特例:若mn2p,则aman2ap.,变式训练1(1)数列an中，a3、a10是方程x23x50的两根，若an是等差数列，则a5a8_；(2)在等差数列an中，已知a1a4a8a12a152，则a3a13_.,解析：(1)由根与系数的关系知a3a103，故a5a8a3a103.(2)由a1a15a4a12，得a82，a3a132a84.答案：(1)3(2)4,题型二求解等差数列问题的设元技巧 已知成等差数列的四个数之和为26，第二
4、个数与第三个数之积为40,求这个等差数列.,【名师点评】当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设ad，a，ad；四个数时,设a3d,ad，ad，a3d.利用和为定值先求出其中某个未知量，再进一步解题,变式训练2一个等差数列由三个数构成，这三个数之和为9，平方和为35，则这三个数构成的等差数列为_解析：设这三个数分别为ad，a，ad，则adaad3a9，a3.而(ad)2a2(ad)235，d2.所求数列为1,3,5或5,3,1.答案：1,3,5或5,3,1,题型三等差数列的实际应用 (本题满分12分)有一批影碟机原销售价为每台
5、800元，在甲、乙两家商场均有销售甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依此类推，每多买一台则所买各台单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少？,【思路点拨】先求出购买n台时甲商场的售价，再与购买n台时乙商场的售价作差比较.【解】设某单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时，售价依台数成等差数列an，则an780(n1)(20)80020n，解不等式an440,80020n440,得n18.3分,当购买台数小于18时，每台售价为(80020n)元，在台数大于或
6、等于18时,每台售价440元. 5分到乙商场购买，每台售价为80075%600(元). 6分又(80020n)n600n20n(10n)，所以，当n10时，600n(80020n)n；当n10时，600n(80020n)n；,当10n18时，(80020n)n600n；当n18时，440n600n. 10分所以当购买台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买10台时，到两商场购买花费相同；当购买多于10台时，到甲商场购买花费较少. 12分名师微博分类要全面，做到不重不漏.,【名师点评】(1)在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降
7、，则可考虑利用等差数列方法解决(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题,变式训练3第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；(2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？,解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列这个数列的通项公式为an18964(n1)18924n(nN*)(2)假设an2012,由201218924n,得n30.假设an2050,则205018924n无正整数解.即2012年伦敦奥运会
8、是第30届奥运会，2050年不举行奥运会,解析：由调和数列的定义可得xn1xnd,即xn是等差数列，x1x2x2010(x1x20)200，x1x2020，x5x16x1x2020.答案：20,3某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月算分期付款的第一个月，求分期付款的第10个月应付多少钱？最后一次应付多少钱？,解：购买时先付150万元，还欠款1000万元.依题意知20次可付清设每次交付的欠款依次为a1，a2，a3，a20，构成数列an，则a15010000.0160；a250(100050)0.0159.5；a350(1000502)0.0159；,方法技巧,(4)若an是有穷等差数列，则与首、末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和,即a1ana2an1ai1ani.(5)数列anb(、b是常数)是公差为d的等差数列,失误防范,
