13行列式展开

1、第3节行列式按行 列 展开 1余子式与代数余子式 2行列式按行 列 展开法则 3行列式计算 降阶法 4拉普拉斯定理 定义3 1 1余子式与代数余子式 为元素akl的代数余子式 例如 引理3 1一个n阶行列式 如果其中第i行所有元素除aij外都为零 那末这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积 即 例如 2行列式按行 列 展开法则 定理3 1行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积。

2、1,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.,问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n -1阶行列式来计算？,一. 按一行(列)展开行列式,2,定义1.5,在 n 阶行列式中,把元素,所在的第i行和,余子式.,记为,称,为元素,的代数余子式.,例如,第 j 列划去后, 余下的 n -1 阶行列式叫做元素,3,的余子式.,的代数余子式.,4,注 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和 一个代数余子式.,5,引理 若在 n 阶行列式 D 的第 i 行中有一个元素 aij 0, 其余元素全为零, 则 D = aij Aij .,定理1.4 设 n 阶行列式,则 n 阶行列式 D 的值等于它的任。

3、第六节行列式按行 列 展开 一余子式与代数余子式 三应用 二行列式按行 列 展开法则 四Laplace定理 五小结 六思考 课前复习 性质1行列式与它的转置行列式相等 即 性质2互换行列式的两行 列 行列式变号 推论如果行列式有两行 列 的对应元素完全相同 则此行列式为零 性质3行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数 等于用数乘此行列式 推论2行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为。

4、1 4行列式按行 列 展开 定义1 在n阶行列式中 把元素 所在的第i行和 第j列划去后 余下的n 1阶行列式叫做元素 的 余子式 记为 称 为元素 的代数余子式 例如 注 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式 注 元素的余子式 代数余子式 只与它的位置有关 与它本身的值 还有第i行 第j列上的其他任何元素无关 定理1行列式等于它的任意一行 列 的各元素与其对应的代数余子式之和或。

5、第二节 行列式按行(列)展开,线性代数,一、 n阶行列式的定义,定义,例如,二、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,三、行列式按行（列）展开法则,其中， 是元素 的代数余子式一定要注意 的符号。,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,易得，如果行列式中某行或某列的元素全为零，那么这行列式的值为零。,例 计算行列式,见书中第一节例7（P7），例15（P9-10）,解,按第二行展开，。

6、四、小结、思考题,三、行列式按行（列）展开法则,第四节 行列式按行（列）展开,二、余子式与代数余子式,一、引言,二、余子式与代数余子式,为元素 的代数余子式,代数余子式：,例如,例如,定理1.4 阶行列式 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,二、行列式按行（列）展开法则,此定理称为行列式按行（列）展开定理,例1 按第一行展开行列式,解,按第一行展开,考虑怎样展开行列式,能使计算简便？,若按第三行展开,计算繁锁！,想一想有什么好办法吗？,方法：当直接展开较复杂时,应利用行列式的性质将某一行（列）化为仅。

7、2020 4 12 第一章行列式 1 对于三阶行列式 容易验证 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算 问题 一个n阶行列式是否可以转化为若干个n 1阶行列式来计算 1 3行列式的展开定理 设 一 行列式按某行 列 展开 1 两个。

8、行列式按行 列 展开 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式 一 引言 结论三阶行列式可以用二阶行列式表示 思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示 例如 把称为元素的代数余子式 在n阶行列式中 把元素所在的第行和第列划后 留下来的n 1阶行列式叫做元素的余子式 记作 结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素 所以行列式中每一个元素都分别对应着一。

9、第一章 行列式 行列式的展开定理,定义1 在n阶行列式D中，划去元素aij所在的第i行和第j列元素，余下元素按照原来顺序构成的n-1阶行列式称为aij的余子式，记为Mij。,称为aij的代数余子式。,定理1（行列式的展开定理） 行列式D等于它的任一行（列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,（按行展开式）,定理1（行列式的展开定理） 行列式D等于它的任一行（列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,（按列展开式）,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,或,证: 将 换成 ， 两行元。

10、2.5 行列式依行（列）展开,上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。,例如,如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式，把n-1阶行列式转化为n-2阶，而行列式的阶数越小越容易计算，我们就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。,为了这个目的，我们需引进如下概念：,一、余子式和代数行列式,定义1（。

11、一般说来, 低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便, 于是, 我们自然地考虑把高阶行列式表示成低阶行列式的问题. 下面介绍行列式的另一重要性质, 即行列式按行(列)展开的法则就解决了这一问题. 为此, 先引入余子式和代数余子式的概念.,1.6 行列式按某行(列)展开定理,例如,一、余子式与代数余子式,记：,称为元素a11的余子式，为三阶行列式划去第一行第一列元素后剩下的二阶行列式。,称为元素的a13的余子式，为三阶行列式划去第一行第三列元素后剩下的二阶行列式。,称为元素a12的余子式，为三阶行列式划去第一行第二列元素后剩下的二阶行。

12、,例如,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,即有,又,从而,在证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则,例。

13、第三节 行列式按行（列）展开,在 n 阶行列式 det ( aij ) 中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列,Aij = ( 1 ) i+j Mij,记成 Mij ,称为元素 aij 的余子式.,称它为元素 aij 的代数余子式.,划去, 剩下的( n 1 )2 个元素按原来的排法构成的 n 1 阶行列式,记,例1 三阶行列式,中元素 a23 的余子式为,元素 a23 的代数余子式为,例2 四阶行列式,中元素 x 的代数余子式为,= 5.,行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应,或,行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对,或,应的代数余子式乘积之和，,元素的代数余子式乘积之和等于零.,定理 3,。

14、1,定义,为D的转置行列式,(转置)行列互换值不变,即,1.4 n 阶行列式的性质,例如,性质1表明关于行的性质对列也成立.,性质1,2,(换法)换行(列)换号,即,性质2,3,两行(列)同值为零,即,推论,4,(倍法)把行列式的某一行(列)的所 有元素同乘以数k, 等于用数k乘以 这个行列式,即,性质3,5,两行(列)成比例，值为零,例如,如果行列式某一行(列)有公因子k时, 则k 可以提到行列式符号的外面,推论,即:,(分拆)如果行列式某行(列)的所有 元素都是两数之和，则该行列式为 两个行列式之和,即,性质4,6,7,例如,8,(消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另。

15、余子式和代数余子式的定义,范德蒙德行列式,按行（列）展开定理,1.4 行列式展开定理,1.4 行列式按行(列)展开,由于三阶、二阶行列式可直接算出，因而计算行列式中一个常用方法就是把高阶行列式归化为低阶行列式。,一、余子式，代数余子式,在n阶行列式,中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；,而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.,返回,例如,例1： 求出行列式,解:,练习1：,a11的余子式:,M11 =,代数余子式:,A11 = (1)1+1M11,a12的余子式:,M12 =,代数余子式:,A12 。

16、 1 3行列式的性质 定义将行列式D的行与列互换后得到的行列式 称为D的转置行列式 记为DT或D 性质1行列互换 行列式的值不变 即 性质2两行 列 对调 行列式改变符号 推论两行 列 对应元素相同 行列式为0 性质3用一个数乘行列式的某一。

17、 2 5行列式依行 列 展开 上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式 然后根据定义算出行列式的值 或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式 然后算出行列式的值 本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值 即通过把高。

18、1.3 行列式的按行(列)展开,1.3.1 三阶行列式的按行(列)展开,对于三阶行列式，容易验证：,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算.,定义：,例如：,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,利用代数余子式，可得,定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素与其代数余子式乘积之和，即,例1,例2,行列式中任一行或列的元素与另一行或列对应元素的代数余子式乘积之和为零。即,推论,因此,1.3.2 n阶行列式的按行(列)展开,定理5 n阶行列式等于它的任一行或列的各元素与其代数余子式乘积之和，即,推论 行列式中。

19、2019/8/6,第一章 行列式,1,上 课,手机 关了吗？,1.3 行列式的展开定理,设,一、行列式按某行(列)展开,1. 两个概念,(1)元素aij的余子式：在 中划去元素aij所在的第i行和第j列元素，得到的n-1阶行列式。记Mij,(2)元素aij的代数余子式：,例,M32,Aij(1)i+jMij,A23,=(-1)2+3M23=,2. 行列式按某行(列)展开定理,证明思路:,先证特殊情形再证一般情形；,一般情形的证明通过转化为特殊情形完成.,证先证,ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin,a1jA1j+a2jA2j+anjAnj,次证,i行逐一向下交换经ni次至末行,j列逐一向右交换经nj次至末列,2019/8/6,第一章 行列式,5,(1)ij aij。