1、1,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.,问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n -1阶行列式来计算？,一. 按一行(列)展开行列式,2,定义1.5,在 n 阶行列式中,把元素,所在的第i行和,余子式.,记为,称,为元素,的代数余子式.,例如,第 j 列划去后, 余下的 n -1 阶行列式叫做元素,3,的余子式.,的代数余子式.,4,注 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和 一个代数余子式.,5,引理 若在 n 阶行列式 D 的第 i 行中有一个元素 aij 0, 其余元素全为零, 则 D = aij Aij .,定理1.4 设 n 阶行列式,则 n 阶行列式 D 的
2、值等于它的任意一行(列)的各元素 与其对应的代数余子式的乘积之和. 即,6,证,(只证按行展开第一式),将行列式D改写为,D = a1jA1j + a2jA2j + anjAnj (j =1, 2, , n),或,7,由行列式性质2及引理，得,= ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin . (i = 1, 2, , n),同理可证按列展开式成立.,8,解 按第一行展开, 得,例1 计算行列式,9,推论 n 阶行列式 D 的任意一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零. 即,证,由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们,代数余子式的乘积之和.,10,在行列
3、式,中, 如果令第 i 行的元素等于另外一行, 譬如第 k 行的元素,11,则,行列式含有两个相同的行, 值为 0 .,12,综上所述, 得公式,注 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式 并不一定简化计算, 因为把一个n阶行列式换成n个( n 1)阶行列式的计算并不减少计算量, 只是在行列式中 某一行或某一列含有较多的零时, 应用展开定理才有,意义，但展开定理在理论上是重要的,13,利用行列式按行按列展开定理, 并结合行列式性质,可简化行列式计算：,计算行列式时, 可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素, 再按此行(列)展开, 变为低一阶的行列式,如此继续下去, 直到化为三
4、阶或二阶行列式.,例2 计算行列式,14,解,15,16,例3,计算 n 阶行列式,17,解 将Dn 按第一列展开,于是, 得递推公式,而由递推公式, 得,继续递推公式, 得,故,18,例4,证明范德蒙(Vandermonde)行列式,19,证,用数学归纳法,(1) 当n=2时,结论成立.,(2) 设n-1阶范德蒙行列式成立, 证明n阶也成立.,20,n-1阶范德蒙行列式,21,证毕.,用降阶法计算行列式的值.（按行按列展开）,=57,练习题,22,例5 利用性质及展开定理计算行列式的值.,解,23,按第二列展开,按第二行展开,24,例6 计算行列式,25,解 将行列式每一列加到第一列，则,2
5、6,27,例7 计算行列式,解 我们称行列式D为箭形行列式,解决的目标：化为上三角形行列式.,28,29,例8 计算行列式,30,箭形行列式,31,32,例9,（可以化为箭形行列式）,33,34,35,二.行列式按某k行(列)展开,定义1.6,在n阶行列式D中任取k行k列(1k n),称,位于这些行与列的交叉点处的k2个元素按照其在D 中的相对位置所组成的k阶行列式N为D的一个k阶子式.,36,称划去 N 所在的行与列后剩下的元素按照其在 D中的,相对位置所组成的 n - k 阶行列式 M 为 N 的余子式.,若 N 所在的行与列的行标与列标分别为,37,例10 设,则D的位于第1、3行, 第
6、2、3列的2阶子式为,及,则称,为N的代数余子式, 记作A. 即,38,，N1的代数余子式为,D的位于第1、3、4行, 第2、3、4列的3阶子式为,，N2的代数余子式为,39,显然, n 阶行列式D位于某k行的k阶子式有,个, 从而D共有,个k阶子式.,定理1.5,n 阶行列式 D 等于其位于某 k 行的所有k 阶,与其对应的代数余子式,A1, A2, . , At 的乘积之和, 即,显然, 定理1.4是定理1.5 中k = 1 时的特例. 按照定理1.5展开行列式似乎很繁, 但当行列式的某些行中有众,40,多的零时, 定理1.5的实用价值立即展现出来.,例11,计算行列式,解,因为D中第2、4 行的,个2阶子式中只有,一个是非零的. 故将D按第2、4 行展开得,41,例12,计算 m + n 阶行列式,42,解,按前m列展开, 得,43,例13,计算 2n 阶行列式,(其中未写出的元素皆为零）,解,按第1、2n行展开, 因位于这两行的全部 2阶子,式中只有1个(即位于第1、2n列的2阶子式)可能非零,且其余子式恰为0, 相应的代数余子式为,44,故得,于是,得递推公式,从而,45,三. 小结与思考题,2.行列式按某行(列)展开降阶方法求行列式.,1.行列式的余子式与代数余子式的概念和计算方法.,思考题1,
