1、2020 4 12 第一章行列式 1 对于三阶行列式 容易验证 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算 问题 一个n阶行列式是否可以转化为若干个n 1阶行列式来计算 1 3行列式的展开定理 设 一 行列式按某行 列 展开 1 两个概念 1 元素aij的余子式 在中划去元素aij所在的第i行和第j列元素 得到的n 1阶行列式 记Mij 2 元素aij的代数余子式 Aij 1 i jMij 2020 4 12 第一章行列式 3 例如 M32 A23 1 2 3M23 2020 4 12 第一章行列式 4 对于三阶行列式 容易验证 结论 一个n阶行列式可以转化为若干个n 1阶行列式来计算
2、a11A11 a12A12 a13A13 2 行列式按某行 列 展开定理 证明思路 先证特殊情形再证一般情形 一般情形的证明通过转化为特殊情形完成 证 先证 ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin a1jA1j a2jA2j anjAnj 次证 i行逐一向下交换经n i次至末行 j列逐一向后交换经n j次至末列 2020 4 12 第一章行列式 7 1 i jaijMij aijAij 1 i jaijMnn 由 8 最后 证毕 ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin 由 典型例题 例1 计算 解 法1 化上三角形法 计算方法 D 57 化上 下 三角形法 降阶法 法2 降阶法 D 57
3、1 1 1 1 3 1 11 利用行列式按行 列 展开定理计算行列式时 一般利用有较多0的行 列 展开 对一般的数字行列式 可将某行 列 化到只剩一非零元时降阶处理 例 10 1 2 2 5 1 2 3 2020 4 12 第一章行列式 12 例2计算行列式 首列元素全是1 第一行乘以 1 加到下面各行只能使下面元素变为0 其它元素却没有规律 分析 利用相邻两行元素较接近的特点 从首行起 每行加其下行的 1 倍 按首列展开后再使用该手法 解 再从首行起 每行加其下行的 1 倍 1 n 1xn 2 再从首行起 每行加其下行的 1 倍 2020 4 12 第一章行列式 15 例3计算4阶范德蒙 V
4、andermonde 行列式 分析 相邻两行元素较接近 末行始 后一行加上其前行的 x1 倍 a11下面元素都变为0 按首列展开 2020 4 12 第一章行列式 16 按首列展开后提取各列公因子得3阶范德蒙行列式 再从末行始 后一行加上其前行的 x2 倍 解 17 x2 x1 x3 x1 x4 x1 x3 x2 x4 x2 x4 x3 2020 4 12 第一章行列式 18 可以证明n阶 范德蒙行列式 3 推论 行列式某一行 列 的各元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 第s行 理解 第s行 0 ai1As1 ai2As2 ainAsn 0 i s a1jA1t a2j
5、A2t anjAnt 0 j t 2020 4 12 第一章行列式 20 综合定理及推论得 代数余子式的重要性质 例4设 0 计算A41 A42 A43 A44 a31A41 a32A42 a33A43 a34A44 分析 注意到第二 四行元素的特点 利用行列式按某行展开定理的推论 将A31 A32 A33与A34 A35分别看成整体 列方程组求解 解 求 1 A31 A32 A33 2 A34 A35 例5设 解 D 例6设 计算A41 A42 A43 A44 1 6 两式相减得 A41 A42 A43 A44 D 6 2020 4 12 第一章行列式 23 例7 设D为四阶行列式 D的第三
6、行的各个元素依次为1 4 2 3 它们的余子式分别为5 2 x 1 D的第四行的元素全为2 求x及D 解 由a41A31 a42A32 a43A33 a44A34 0得 2 1 3 1 5 2 1 3 2 2 2 1 3 3 x 2 1 3 4 1 0 即5 2 x 1 0 x 2 由D a31A31 a32A32 a33A33 a34A34得 D 1 1 3 1 5 4 1 3 2 2 2 3 3 x 3 1 3 4 1 10 2x 6 2020 4 12 第一章行列式 24 思考题 求第一行各元素的代数余子式之和 解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 二 行列式按某k行 列 展开 k
7、 1的特例即是一 1 几个概念 1 k阶子式 任选k行k列k阶行列式 记M aij是行列式的一阶子式 2 k阶子式的余子式 划去k阶子式所在的k行k列 n k阶行列式 记M 3 k阶子式的代数余子式 2 行列式按某k行 列 展开定理 拉普拉斯定理 的所有k阶子式 共个 与各自的代数余子式的乘积之和等于D 即 行列式D中任意选定k行 1 k n 这k行元素组成 D M1A1 M2A2 MtAt 2020 4 12 第一章行列式 26 例7用拉普拉斯定理计算行列式 解 1 3 15 1 4 9 8 9 例8计算行列式 解 法二 按第五列展开后再 法一 按末三行展开 20 54 1080 按第一列展开 2020 4 12 第一章行列式 28 应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论 前一式按前k行展开 后一式按前k列展开 作业 P30 4 3 5 9 16 预习 1 4 1 5
