1、1 4行列式按行 列 展开 定义1 在n阶行列式中 把元素 所在的第i行和 第j列划去后 余下的n 1阶行列式叫做元素 的 余子式 记为 称 为元素 的代数余子式 例如 注 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式 注 元素的余子式 代数余子式 只与它的位置有关 与它本身的值 还有第i行 第j列上的其他任何元素无关 定理1行列式等于它的任意一行 列 的各元素与其对应的代数余子式之和或 推论行列式一行 列 的各元素与另一行 列 对应各元素的代数余子式乘积之和为零 即或 综上 得公式 在计算数字行列式时 直接应用行列式展开公式并不一定简化计算 因为把一个n阶行列式换成n个 n 1 阶
2、行列式的计算并不减少计算量 只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时 应用展开定理才有意义 但展开定理在理论上是重要的 例1证明范德蒙德 Vander monde 行列式证对行列式阶数用数学归纳法 当时 结论成立 假设对阶范德蒙德行列式结论成立 往证阶范德蒙德行列式也成立 从第行开始 后行减前行的倍 得按第1列展开 并提出每一列的公因子 有上式右端的行列式是一个阶范德蒙德行列式 由归纳法假设 它等于所有因子的乘积 其中 即 例2计算如下 两边加一对角 型行列式 解 例计算解 练习 用降阶法 按行按列展开 计算行列式的值 57 总结 1 定义法 0 巨多 很少用 2 化三角形法 a 行 列 和
3、相等 如P15 例3 P16例4 P23 例3 1 P24 例4 P38 10 2 P39 14 5 b 三条线型行列式 爪型 P41 4 3 两对一边 P38 14 4 三对角线型 如P25 例6 3 降阶法 a 直接根据行列式的性质将某一行元素化成尽可能多的 0 然后展开 P23 例3 2 b 归纳法 如P26 例7 范德蒙德行列式 c 递推法 如P25 例6 注 1 对于行 列 和相等的行列式 我们通常把第二行到第n行都加到第一行 列 上去 使得第一行 列 的元素都相等 然后提公因子 2 我们在计算行列式时首先要观察它的结构再计算 P37 8 2 5 1 5克拉默法则 对于二元一次方程组
4、当系数行列式时 有惟一解 我们知道 二元一次方程组的解可以用行列式表示 那么含有n个未知量x1 x2 xn的n个线性方程的方程组 的解能否用行列式表示呢 回答是肯定的 即有 设含有个未知数 个方程的线性方程组为 2 阶行列式称为方程组 2 的系数行列式 定理1 克拉默法则 若线性方程组 2 的系数行列式 则方程组有惟一解 3 其中是将系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式 即 例1 解四元线性方程组 解系数行列式 于是得 注 1 利用克拉默法则求解时 这个方程组必须满足两个条件 a 方程组中方程的个数必须与未知量的个数相等 b 系数行列式不为零 2 理论意义 克拉默法
5、给出了解与系数的明显关系 但用此法则求解线性方程组计算量大 3 撇开求解公式 Cramer法则可叙述为下面定理 定理2 定理2 例2 解方程组 解系数行列式 于是得 线性方程组 则称此方程组为非齐次线性方程组 此时称方程组为齐次线性方程组 非齐次与齐次线性方程组的概念 对于齐次线性方程组 x1 x2 xn 0一定是它的解 称为齐次方程组 4 的零解 如果一组不全为零的数是 4 的解 则叫做齐次方程组的非零解 方程组 4 一定有零解 但不一定有非零解 定理3 定理3 如果齐次线性方程组 4 有非零解 则它的系数行列式D必为0 例如 系数行列式D 0是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 系数行列
6、式 有非零解 例3问取何值时 齐次线性方程组有非零解 解由定理6可知 若齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式 而 由 解得 或 不难验证 当 或时 原齐次线性方程组确有非零解 思考题 当线性方程组的系数行列式为零时 能否用克拉默法则解方程组 为什么 此时方程组的解为何 解答 不能 此时方程组的解为无解或有无穷多解 作业 P39 15 5 17 18 克莱姆 Cramer Gabriel 17041752 瑞士数学家 于1704年7月31日生于日内瓦 1724年起在日内瓦加尔文学院任教 1734年成为几何学教授 1750年任哲学教授 他自1727年进行为期两年的旅行访学 在巴塞尔与约翰 伯努利
7、 欧拉等人学习交流 结为挚友 他一生未婚 专心治学 平易近人且德高望重 先后当选为伦敦皇家学会 柏林研究院和法国 意大利等学会的成员 该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到 1748年发表 但克莱姆的优越符号使之流传 第2章矩阵 2 1矩阵的概念 1 线性方程组 的解取决于 系数 常数项 一 矩阵概念的引入 对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 网上购物既省钱又省力 以当当网为例 当当网需要从北京 上海 广州 发同一种商品给四个人 三个人居住在不同的的城市 那么我们有多少种方呢 二 矩阵的定义 由个数排成的行列的数表 称为维矩阵 简称矩阵 记作
8、简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 例如 是一个实矩阵 是一个复矩阵 是一个矩阵 是一个矩阵 是一个矩阵 例如 是一个3阶方阵 几种特殊矩阵 2 只有一行元素的矩阵 称为行矩阵 或行向量 方阵 也可记作 主对角线 副 反 对角线 只有一列元素的矩阵 称为列矩阵 或列向量 全为零的方阵称为上三角矩阵 称为对角矩阵 或对角阵 4 形如的方阵 全为零的方阵称为下三角矩阵 记作 5 数 纯 量矩阵 标量矩阵 称为单位矩阵 或单位阵 有时也记作E 为数量矩阵或标量阵 当时 记作 6 元素全为零的矩阵称为零矩阵 零矩阵记作或 注意 不同阶数的零矩阵是不 相等 的 例如 矩阵棣属关系 单位阵 数量阵 对角阵 三角阵 方阵 矩阵 例如 为同维矩阵 同维矩阵与矩阵相等的概念 1 两个矩阵的行数相等 列数相等时 称为同维矩阵 例1设 解 三 小结 1 矩阵的概念 2 特殊矩阵 方阵 上 下 三角阵 单位矩阵 对角矩阵 零矩阵 行矩阵与列矩阵 思考题 思考题解答 矩阵是对角阵 答 错
