1、重庆南开中学 2015 届高三 10 月月考数学（理）试题（解析版）本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1复数 (i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于Z1)iA.第一象限 B.第二象限 C第三
2、象限 D第四象限【知识点】复数的基本概念与运算 L4【答案解析】B i（1+i）=i+i 2=-1+i，i （1+i）即复数为-1+i，-1+i 在复平面内对应的点（-1，1 ）位于第二象限故答案为：B 【思路点拨】由 i（1+i）=-1+i，由此能求出复数 i（1+i）的复数在复平面内对应的点所在的象限【题文】2.角 终边经过点（1，-1） ，cosA.1 B.-1 C D22【知识点】角的概念及任意角的三角函数 C1【答案解析】C 角 终边经过点（1，-1） ，所以 = 故选 C。cos21()【思路点拨】可直接根据定义确定余弦值【题文】3.设 则0.321log,lg,abcA. B.
3、C. D.bcabbac【知识点】指数对数 B6 B7【答案解析】D 由题意得 , , 则 所以 D0l310.32lo0【思路点拨】根据指数对数性质求出范围再比较。【题文】4.“ ”是“ ”的3sin2xxA.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件【知识点】角的概念及任意角的三角函数 C1【答案解析】C 若 则 ，若 则 还能为 故选 C.3x3sin2x3sin2x23【思路点拨】根据角的范围为任意角去得到必要不充分条件。【题文】5.函数 的一个零点所在区间为2()8fA.（1，2） B.（2，3） C.（3，4） D.（4 ，5）【知识点】函数与方程 B
4、9【答案解析】B 因为 ，f(2)0,f(3)0,所以13()4则 cos2 = 所以 -1.32(,)32si【思路点拨】根据角的范围求出三角函数值，再利用三角恒等变换求出最后结果。【题文】考生注意：14、15 、16 为选做题，请从中任选两道题作答，若三题全做，则按前两题给分。【题文】14.如图，PQ 为半圆 O 的直径，A 为以 OQ 为直径的半圆 A 的圆心，圆 O 的弦 PN切圆 A 于点 M，PN=8 ，则圆 A 的半径为_【知识点】选修 4-1 几何证明选讲 N1【答案解析】 32如图所示，连接 AM，QN由于 PQ 是O 的直径，PNQ=90圆 O 的弦 PN 切圆 A 于点
5、M，AMPNAMQN， 又 PN=8，PM=6 34PMNQ根据切割线定理可得：PM 2=POPQ设O 的半径为 R则 62=R2R，R =3 ，A 的半径 r= R= 2123故答案为： 3【思路点拨】利用圆的直径的性质、圆的切线的性质可得：PNQ=90=PMA 进而得到 AMQN，可得 可得 PM，再根据切割线定理可得：34PMANQPM2=POPQ可得 PO【题文】15.已知曲线 C1、C 2 的极坐标方程分别为 ，则2sin,cosin10曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点的最近距离为_【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3【答案解析】 -1由于曲线 C1、C 2 的极坐标方
6、程分别为 =2sin，cos+sin+1=0，则它们的直角坐标方程分别为 x2+（y-1） 2=1，x+y+1=0 曲线 C1 上表示一个半径为 1 的圆，圆心为（0 ，1），曲线 C2 表示一条直线，圆心到直线的距离为 d= ，012d故曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点的最近距离为 -1，故答案为： -12【思路点拨】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离为 d，再把 d 减去半径，即为所求【题文】16.若不等式 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是_2373xa【知识点】选修 4-5 不等式选讲 N4【答案解析】-2，5 |x+3|+|x-7|（x+3 ）+（7-x）|
7、=10，|x+3|+|x-7|a 2-3a 的解集为 Ra 2-3a10，解得-2a5实数 a 的取值范围是-2 ，5故答案为：-2 ，5【思路点拨】利用绝对值三角不等式可求得|x+3|+|x-7|10，依题意，解不等式 a2-3a10即可【题文】三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤。【题文】17.（本小题满分 13 分）已知函数 ()sin)cos()cso()2fxxx（1 ）求函数 的最小正周期；（2 ）当 时，求函数 的最大值和最小值 .,4x()fx【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案解析】 （1）（2）最大值是 0 最小值是-1
8、（1）由题意得，f （x）=sin（ +x）cos （ -x）+cosxcos（-x）=sinxcosx-2cosxcosx=-cos2x，函数 f（x）的最小正周期 T= =；（2）由 x- ， 得，2x- ， ，所以 0cos2x1，即-1-cos2x0 ，则函数的42最大值是 0，最小值是-1 【思路点拨】 （1）根据诱导公式、两角和的余弦公式化简函数解析式，再由周期公式求出函数 f（x）的最小正周期；（2）由 x- ， 得 2x- ， ，根据余弦函数的性质求出 cos2x 的范围，再42求出函数的值域，即可求函数的最值【题文】18.（本小题满分 13 分）已知函数 ()2sin(),6
9、fxxR（1 ）已知 ，求 的值；ta,()f（2 ）若 ，求 的值.8,0,()2,35ff(2)f【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5【答案解析】 （1） （2）514（1） tan(,)255sin,cos()2si3i6f1i()2si()6又 0,3+0,62+=， 故 3，8又 ()sin()65f4in()5i)2si362cos()321i()14= -【思路点拨】根据同角三角函数基本关系求出，利用三角恒等变换求出。【题文】19.（本小题满分 13 分）设函数 32()(1)()fxxmxR（1 ）当 时，求函数 的单调区间与极值；mf（2 ）若函数 在 上单调递增，求
10、实数 m 的取值范围.(sin)yfx0,2【知识点】导数的应用 B12【答案解析】 （1）略（2 ） （0， -1（1）f（x）=- x3+x2+（m 2-1）x，（xR ），f（x）=-x 2+2x+m2-1令 f（x）=0 ，解得 x=1-m，或 x=1+m因为 m0，所以 1+m1-m当 x 变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x （-，1-m ） 1-m（ 1-m，1+m）1+m（1+m ，+）f（x） - 0 + 0 -f（x） 极小值 极大值 所以 f（x）在（-，1-m），（1+m，+）内是减函数，在（ 1-m，1+m ）内是增函数f（x）在 x=1-m 处取极小值 f
11、（1-m ）=- m3+m2- 1f（x）在 x=1+m 处取极大值 f（1+m ）= m3+m2- （2）由（1）知函数 f（x）在（1-m，1+m）上单调递增，y=sinx 在 x0 ， 上单调递增，又 y=f（sinx ）在 x0， 上单调递增，22 ，解得 0 m -1，故 m 的取值范围为（ 0， -1。1m【思路点拨】 （1）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为 0，我们则求出导函数的零点，根据 m0 ，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数的单调区间和极值（2）根据复合函数的单调性质，得到关于 m 的不等式，解得即可【题文】20.
12、（本小题满分 12 分）已知函数 的部分图象如图所示，其中 P 为函数图象的最高点，1()sin()3fxxA、B 是函数图象与 x 轴的相邻两个交点，若 y 轴不是函数 图象的对称轴，且()fx.1tan2P（1 ）求函数 的解析式；()fx（2 ）已知 、 、 满足： 且212()()33ffA3,tan2,4求 的值.sin()i()co2【知识点】三角函数的图象与性质两角和与差的正弦、余弦、正切 C3 C5【答案解析】 （1） （2 ）()sin)6fx9（1 ）过点 作 轴，则 ，故PC3BACtan3tanBPAPCtanta()ABP211解得 . 1或 3若 ，此时 的最小正周
13、期 ，t,则 3PCC()fx43TA， ，其图像关于 轴对称，舍去故 21()sin()cos22fxxy若 ，此时 的最小正周期 ，ta,则AP()fxC， ，符合题意1故 ()i()in36f （2 ） ， 且32si)12()3( ff 34， 原式=coscosini662cos22(ini)(coin)i2ii sisi(i2siicostani)ta1 92【思路点拨】根据三角函数的性质求出周期求出解析式，根据两角和的三角函数求出结果。【题文】21.（本小题满分 12 分）已知函数 2()xfxae（1 ）若函数 在点（ 0， ）处的切线与直线 平行，求 a 的值；y(f310x
14、y（2 ）当 时， 恒成立，求实数 a 的取值范围.0,4x4()fxe【知识点】函数与方程 B9【答案解析】 （） （）2a4a（） 由条件知 ， (1)()xfxe (0)1fa因为函数 在点 的切线与直线 平行0,f3yx所以 , 31a2（）2(1)()xaafxe(1)(xae当 时， ，在 上，有 ，函数 增；在 上，有0(0,)()0f()f)4,1()0fx函数 减， 函数 的最小值为 0，结论不成立()fx4)eff x当 时， a12,xa(1)若 ， ，结论不成立 0()0f(2)若 ，则 ，在 上，有 ，函数 增；(,1)()0fx()fx在 上，有 ，函数 减，)4,
15、1()fxfx只需 ，所以 4)(0ef 14a(3)若 ，则 ，在 上，有 ，函数 减；1a),0()0fx()fx在 ,有 ,函数 增;在 上，有 ，函数 减)（ ()fxfx4,1函数在 有极小值， 只需1a)(,()(minfaff 4)(1efa得到 ，因为 ，所以 14723aea 1,23ae综上所述可得 【思路点拨】根据导数的意义求出参数 a，再根据单调性求出极值最值确定参数的范围。【题文】22.（本小题满分 12 分）已知函数 ()lnfx（1 ）若方程 有且只有一个实数解，求 a 的值；a（2 ）若函数 的极值点 恰好是函数215()()gxfxm122,()x的一个零点，记 为函数 的导函数，求2()hxfbhx)的最小值.112()y
