1、【解析】重庆市巴蜀中学 2015 届高三 12 月月考文科数学试题【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。注 重 双 基 和 数 学 思 想 数 学 方 法 的 复 习 ， 注 重 运 算 能 力 思 维 能 力 的 培 养 。 较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。【题文】一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题只有一个选项是正确的.【题文】1.设全集 I
2、 是实数集 R，M=x2与 都是 I 的子集（如图所示） ，则阴影部分所表3|01xN示的集合为（ ）A.x|x2 B. C. D. |21x|2x|2x【知识点】集合运算. A1 【答案】 【解析】C 解析：阴影部分所表示的集合为 = ,故选 C.()INCM|1x【思路点拨】由图可知所求= . ()INCM【题文】2.复数 ，则复数 的虚部为（ ）123,zii12zA.2 B.2i C. D. i【知识点】复数运算. L4 【答案】 【解析】C 解析： = ，12z1173332iii i 的虚部为 ，故选 C.12z3【思路点拨】先利用复数运算化简复数 ，再由复数虚部的定义得结论. 1
3、2z【题文】3、已知函数 )6cos()sin(xy，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为 ( )A、 6,2xB、 12,C、 6,xD、 12,x【知识点】二倍角公式； 的性质. C6 C4si()A【答案】 【解析】D 解析：已知函数为 ，所以其周期为 ，且可判断其一条对称轴方()3ysin程为 ,故选 D. 12x【思路点拨】先利用二倍角公式将函数化为 ，再由 的性质得结论. 1(2)3ysinxsin()yAx【题文】4、不等式组 042yx所围成的平面区域的面积为( )A、3 B、6 C、6 D、3 2 2【知识点】简单的线性规划问题. E5【答案】 【解析】D 解析：如图
4、, 不等式组所围成的平面区域为 ABC，其中 A(2，0),B(4，4),C(1，1) ，所求平面区域的面积为 1243ABOCS【思路点拨】画出不等式组所围成的平面区域，利用三角形面积公式求解. 【题文】5、已知直线 ,lm与平面 ，满足 /lm，和 ，则有( )A、 且 l B、 且 /m C、 /且 l D、 /且 【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系. G4 G5【答案】 【解析】A 解析： ， ， ，设 ，则 .nm ， ，又 ， ， l，故选 A. l,lAnlA【思路点拨】根据已知条件逐步推出结论. 【题文】6、椭圆 1592yx的两个焦点为 21F、 ，点 P 是椭圆上
5、任意一点（非左右顶点） ，在21FP的周长为（ ）A、6 B、8 C、10 D、12【知识点】椭圆的基本概念 H5【答案】 【解析】C 解析：由题意可知 ，根据椭圆的定义可知三角形的周长等于3,5,2abc，所以 C 正确26410ac【思路点拨】根据椭圆的概念可求出三角形的周长为 ，再代入求值即可2ac【题文】7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A、 35 B、200 C、 80 D、240【知识点】三视图 G2【答案】 【解析】B 解析：由三视图可知该几何体为平放的四棱柱，其中以侧视图为底底面为等腰梯形，梯形的上底长为 2，下底长为 8，梯形的高为 4，棱柱的高为 10梯
6、形的面积为 ，棱柱的体积为 2010=200故答案为：200：【思路点拨】由三视图可知该几何体为四棱柱，然后根据棱柱体积公式计算体积即可【题文】8、已知向量 ),1(),2(yCDxAB，其中 0x，且 CDAB/，则 xy8的最小值为( ) A、34 B、25 C、27 D、16 【知识点】基本不等式 E6【答案】 【解析】B 解析：由向量共线的定义可知 ，又因为21021yxxy818812785xyxyxy【思路点拨】根据向量共线的概念找到，x 与 y 的关系，再针对所求式子进行分解求值.【题文】9.在 ABC中， cba、 分别是角 A、B、C 的对边，若 22015cba，则)tn(
7、tan的值为（ ）A、1007 B、 2015 C、2014 D、2015【知识点】正弦定理 余弦定理 C8【答案】 【解析】A 解析：a 2+b2=201c 2，由余弦定理 a2+b22abcosC=c 2，可得：2abcosC=2011c 2，由正弦定理可得，2sinAsinBcosC=201sin 2C，sinAsinB=sin（A+B）tanC， =，即 =故答案为：A【思路点拨】通过余弦定理以及正弦定理，以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，把正弦函数余弦函数化为正切，即可得到结果【题文】10、已知函数2,0()4cos1xfx，且方程 ()1fxm在区间 2,内有两个不等的实根,
8、则实数 m的取值范围为（ ）A、 4,2 B、 (,2) C、 (4,3) D、2,4【知识点】函数的性质 B8【答案】 【解析】B 解析：直线 y=mx+1 过定点（0，1） ，作出函数 f（x）的图象如图：由图象可知，当直线 y=mx+1y 与 f（x）=x 2+2 在第一象限相切时，满足方程 f（x）=mx+1 在区间2，内有三个不等的实根，此时 x2+2=mx+1，即 x2mx+1=0，则判别式=m 24=0，解得 m=2 或 m=2（舍去） 当直线 y=mx+1 在 x=0 时与 f（x）=4xcosx+1 相切时，有两个不等的实根，此时 f（x）=4cosx4sinx，m=f（0）
9、=4，此时满足条件当 m0，由 4xcosx+1=mx+1，即 m=4cosx，当此时方程 m=4cosx 在2，0）只有一个解时，即 m=4，此时方程 f（x）=mx+1 在区间2，内有 1 个实根，此时不满足条件综上满足条件的 m 的取值范围为4m2 或 m=4，故选：B【思路点拨】作出函数 f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论【题文】二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共计 25 分.）【题文】11、曲线 3y在点 )1,(处的切线方程为_【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11【答案】 【解析】3xy2=0. 解析：y=3x 2,y|x=1=3，切点为（1 ，1）
10、曲线 y=x3 在点（ 1，1）切线方程为 3xy2=0故答案为：3xy2=0.【思路点拨】先求出函数 y=x3 的导函数，然后求出在 x=1 处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可【题文】12、若直线 02yx，与圆 42yx交于 A、B 两点，则 OB_【知识点】直线与圆的位置关系H4【答案】 【解析】2 解析：圆 42的圆心（0，0 ） ，半径为：2 ，圆心到直线的距离为 OD，OD= ，cosAOD=()2=1+31AOD=60，AOB=120 OBA12-=故答案为：2【思路点拨】利用圆心到直线的距离距离与半径的关系，求出AOB ，然后求解数量积即可【题文】13
11、、已知正三棱锥 ABCS内接于半径为 4 的球，过侧棱 SA及球心 O的平面截三棱锥及球面所得截面如下，则此三棱锥的体积为_【知识点】球内接多面体G8【答案】 【解析】 解析：根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中163线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，于是有半径 R= ,设23BC 的中点为 D，连接 SOR=4AD=6，OD=2， SD= ，BC= ，2543三棱锥的体积为 18=16故答案为： 63【思路点拨】根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的
12、球心在底面正三角形的重心上，从而可求得侧面的底边长与高，故可求【题文】14 设 Rba,，关于 x的方程 0)1)(22bxa的四个实根构成以 q为公比的等比数列，若 231q，则 的取值范围为_【知识点】等比数列的性质D3【答案】 【解析】 解析：设方程 0)1)(22bxax的 4 个实数根依次为4,9m，mq，mq 2，mq 3，由等比数列性质，不妨设 m，mq 3 为 x2ax+1=0 的两个实数根，则 mq，mq 2 为方程 x2bx+1=0 的两个根，由韦达定理得，m 2q3=1，m+mq 3=a，mq+mq 2=b，则 231mq=故 ab=（m+mq 3） （mq+mq 2）=
13、m 2（1+q 3） （q+q 2）= （1+q 3） （ q+q2）= ，1q1q+设 t= ，则 =t22，1q+2q因为 q ，2，且 t= 在 ，1 上递减，在（1 ，2 上递增，3+3所以 t2， ，10则 ab=t2+t2= ，294t+-所以当 t=2 时，ab 取到最小值是 4，当 t= 时，ab 取到最小值是 ，10319所以 ab 的取值范围是： 2,【思路点拨】利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出 ab，再利用换元法转化为二次函数，根据 Q 的范围和二次函数的性质，确定 ab 的最值即可求出 ab 的取值范围【题文】三、解答题（本大题共 6 小题，共计 75
14、分）【题文】16、数列 na是公比为 q的正项等比数列， 1a， 12na)(N。（1 ）求 n的通项公式；（2 ）令 12lognnba，求 nb的前 n 项和 nS。 【知识点】数列的求和；数列递推式D1 D4【答案】 【解析】 （1） ；（2 ）1na-=()12n-+解析：（1）数列 n是公比为 q的正项等比数列，a， 12n)(N。 ， ，2q 2+q1=0，123a-=21aq-=解得 q=-1（舍去）或 ， q=n-（2） 12lognnba， ，12n-12nb-=+ ()()011.nnS-=+()1n-【思路点拨】 （1）由已知条件得 ，解得 q=-1（舍去）或 ，由此能求
15、出 ；21aq-=12q=12na-=（2）先求出 ，在分组求和即可。2nb-=+【题文】17、已知圆 4)()3(:22yxC,直线 l过定点 )0,1(A。(1)若 l与圆 C 相切，求 l的方程。(2)若 与圆 C 相交于 P、Q 两点，若 |,求此时直线 l的方程。【知识点】直线与圆相交的性质.H4【答案】 【解析】 （1）x=1 或 3x4y3=0; （2 ）xy 1=0 或 7xy7=0解析：（1）若直线 l 的斜率不存在，则直线 l：x=1，符合题意若直线 l 斜率存在，设直线 l 的方程为 y=k（x1 ） ，即 kxyk=0由题意知，圆心（3，4）到已知直线 l 的距离等于半
16、径 2，即： =2，解之得 k= ，此时直线的方程为 3x4y3=0综上可得，所求直线 l 的方程是 x=1 或 3x4y3=0（2 ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0，设直线方程为 kxyk=0，因为|PQ|=2 =2 =2 ，求得弦心距 d= ，即 =2 ，求得 k=1 或 k=7，所求直线 l 方程为 xy1=0 或 7xy7=0【思路点拨】 （1）分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别根据直线和圆相切的性质求得直线的方程，综合可得结论 （2）用点斜式设出直线的方程，利用条件以及点到直线的距离公式，弦长公式求出斜率的值，可得直线的方程【题文】18、已知向量 2cos,3mx=（ ）
17、， 1,sin2x（ ），函数 nmxf)(。（1）求函数 ()fx的对称中心；（2）在 ABC中， ba、 分别是角 CBA、 的对边，且 1,3cf， 32ab，且 ，求 、 的值。【知识点】余弦定理的应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 C8 F2【答案】 【解析】(1)(2) 或 2， 解析：（1） ，= （4 分）令 得， ，函数 f（x）的对称中心为 （6 分）（2） ，C 是三角形内角， 即： （8 分） 即：a 2+b2=7将 代入可得： ，解之得：a 2=3 或 4，（10 分）ab， （12 分） 或 2， 【思路点拨】 （1）通过向量的数量积以及二倍角的余弦函数，两角
18、和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的对称性求函数 f（x）的对称中心；（2）通过 ，求出 C 的大小，以及余弦定理求出 a，b 的值【题文】19、四棱锥 ABDP中，底面 AB是边长为 8 的菱形， 3BAD，若 5P，平面 AD平面 C,E、F 分别为 BC、PA 的中点。（1 ）求证： E面/；（2 ） 求证： ； （3 ） 求三棱锥 的体积。【知识点】直线与直线垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定.G4 G5 G7【答案】 【解析】(1)略(2)略(3) 解析：(1)设 PD 的中点为 H，连接 FH，CH，所以 FH 为 AD 的中位线所
19、以 ，在四边形 FECH 中， ，所以1/,2FHAD/BC,F，所以 C,PE面 EF/PD面（2）证明：连接 BM，BD；BD=BA=8，AM=DM， ，ADBM，又 ADPM，且 BMPM=M，AD平面 PMB，PB平面 PMB，ADPB；（3）如图过 P 作 PMAD 于 M，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，PM平面 PAD，PM面 ABCD； 又 PA=PD=5，AD=8M 为 AD 的中点，且 PM= =3，菱形 ABCD 中， ，AD=8，V PABCD = 88sin 3= 64 3=32 ，四棱锥 PABCD 的体积为 ；【思路点拨】 （1）根据
20、直线与平面平行的判定定理可直接证明；（2）要证 ADPB，只需证 AD平面 PMB，由 ADPM，ADBM 可证得；（）四棱锥 PABCD 的体积= 菱形 ABCD 的面积棱锥的高，由平面 PAD平面 ABCD，过 P 作 PMAD于 M 可得高 PM，菱形 ABCD 的面积也可求；【题文】20、某市近郊有一块大约 500 米500 米的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个总面积为 3 000 平方米矩形场地，其中阴影部分为通道，通道宽度为2 米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同） ，塑胶运动场地占地面积为 S 平方米（1 ）分别用 x 表示 y 和 S 的函数关系式，并给出定义域；（2 ）怎样设计能使 S 取得最大值，并求出最大值【知识点】函数模型的选择与应用. B10【答案】 【解析】 （1） ，其定义域是（6,500） ， ，其定义域是（6,500） ；30yx15036Sx（2 ）设计 x=50m，y=60m 时，运动场地面积最大，最大值为 2430 平方米. 解析：（1）由已知 xy=3000，得 ，其定义域是（6,500）.30yx，(4)(6)(210)Saxa
