江苏省南通中学2015年高三12月月考数学试题.doc

1、江苏省南通中学 2015 届高三 12 月月考数学试题参考公式：锥体的体积公式 ，其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高.13VShh柱体的体积公式 ，其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高.一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答卷纸相应的位置上 ）1设复数 、 在复平面内的对应点关于虚轴对称， （ 为虚数单位） ，则 .1z2 12zi12z52从甲、乙、丙、丁 位同学中随机选出 名代表参加学校会议，则甲被42选中的概率是 . 13根据如图所示的伪代码，可知输出的 的值为 .S134为了调查城市 的值，按地域把长三角地区 个城市分成甲、乙、丙三组，

2、对应的城市数分别2.5PM36为 、 、 .若用分层抽样的方法抽取 个城市，则乙组中应抽取的城市数为 .61812 45设集合 、 ，则“ ”是“ ”的 条件充分不必要条件,2NaNM（从“充分不必要”、 “必要不充分”、“充分且必要”、“既不充分也不必要”中择一填写）6有一段演绎推理：大前提：整数是自然数；小前提： 是整数；3结论： 是自然数.这个推理显然错误，则错误的原因是 错误.（从“大前提” 、 “小前提”、 “结论”中择一填写）. 大前提7关于 的不等式 的解集为 ，且 ，则实数 的值等于 .x2230()ax12(,)x21xa38已知抛物线 的焦点是双曲线 （ ）的右焦点，则双曲

3、线的右准线方程为 .28y23xya0a52 3Print iWhleiSEdl第 3 题12x9设 、 满足约束条件 ，且 的最小值为 ，则实数 .y01xyaayxz7a310在 中，点 是 的中点，角 ， ，则 的最小值为 .ABCM2A2BC|AM设 、 ，由 ， 得 ，倍长 至 ，则 ，由余cbBC04bcD60B弦定理得 ，即 ， 即 最小值为 .22Dcbc1|111已知圆 和两点 、 （ ） ，若圆上存在一点 ，使得:(3)(4)1Cxy(,)Am(,)B0P，则 的最小值为 .90APBm显然 ，因为 ，所以 ，所以要求 的最小值即求圆 上点 到290APB12OPmC原点

4、的最小距离，因为 ，所以 ，即 的最小值为 .O5Cmin()4Cr412如图为函数 的部分图像， 是矩形， 、 在图像上，将此矩形（ 边在第一2()1xfADBAB象限）绕 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 .得 为极大值点，且 ，/2()0fxx1()2f设 、 的纵坐标为 ，则由 得AB1()2k2xk， ， ，所以20kxABxAB|ABx， ，2()4AB214k22414Vkk 21()864k当且仅当 时取“ ”，此时 ，故旋转体体积的最大值为 .k013设数列 为等差数列，数列 为等比数列若 ， ，且 （ ， ， ） ，nanb12a12b2iia13则数列 的公比为 .b方

5、法 ：设 ， ， 依次为 ， ， ，因为 ，所以 ，因为 ，所以123ad120d12b，0q又 ，所以 ，则 或 （舍） ，所以213b4222()()adad22ad2ad.若 ，则dd（舍） ；若 ，则2222211()()(1)31qbaaa 2da，所以 .2222211()()()d2q方法 易知 ，则 ，若 ，则 （舍） ，若 ，则:423a213a213a123a213a且 ，所以 ，所以 ，则 ，21313()022136011()6012又 且 ，所以 .2223311()baqq214已知函数 ，且对任意的 ，都有 恒成立，则实数 的取值范fx(0,1)x()1)fxa围

6、是 .因为 ，所以对任意 ，都有 即2()(1)(1)aafxx(0,)22(1)ax恒成立，整理得 ，令22ax2 2(1)1()0x，则 ，问题等价于 对 恒成立，令(1)t04t2 0tata4t，因为 ，所以 或22()(1)()gtata2(1)4()1214()0ag，即 或 ，所以 或 ，所以20()g2416830a20a413aor120aor或 .4a另解 ：由 得 ，所以 或 ，由题意得122(1)()0tta()(1)0ta1tat或 即 或 .10a41a另解 ：由 得 ，所以 或 ，22()()0tt()(1)0att1att因为 ，所以 或 ，由题意得 或 .31

7、t44另解 ： ，设 ，则 ，又 ，所以3()()1axxxmn0121mn即 ，即 ，即()mn2()1na2()()0aa，所以 或 ，因为 ，所以由题意得1)0amn104mn14a或 .二、解答题：（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15 （本题满分 14 分）如图所示， 、 分别是单位圆与 轴、 轴正半轴的交点，点 在单位圆上，ABxyP（ ） ，点 坐标为 ，平行四边形AOP0C(2,0)的面积为 QS（）求 的最大值；t（）若 ，求 CBOPsin(2)3【解析】 （） ， ，(1,0)Aco,i， (1cos,inOQ ，而 ，

8、2|sinSOAP所以 ， 分1cosin12()4tA 4 ，当 时， 取得最大值为 ； 分04tQS127（） ， ，由 得 ，又 ，结合(2,)CB(cs,i)OPCBOPcosin0得 ， ， ， ，2sinco15in25o4in325分1 xyAOQPCB所以 分sin(2)343sin2cos2in3101416 （本题满分 14 分）如图，矩形 中， ， ， 、 分别在线段 和 上，ABCDBCEFBCAD ，将矩形 沿 折起，记折起后的矩形为 ，且平面 平EFABEFMNEF面 CD（）求证： 平面 ；NM（）求四面体 体积的最大值 （翻折前） （翻折后）【解析】 （）四边形

9、 ， 都是矩形， ， ，四边形MNEFDCMNEFCDNEFC是平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ， 平面NCDM；F 分7（）由（）易证 平面 ，设 ，则 ，其中 四面体EFCNEx4Cx04x的CDFN体积为 ，当且仅当 ，11()32NCDFEFCVS 2()4x即 时取“ ”，故四面体 体积最大值2xN为 分1417 （本题满分 14 分）如图， 为某湖中观光岛屿， 是沿湖岸南北方向道PAB路， 为停车场， ，某旅游团浏览完岛屿后，乘游船回停车Q103kmAB CDEFBQPAMNQP MBA场 ，已知游船以 的速度沿方位角 的方向行驶， 游船离开观光岛屿 分钟后，Q10/kmh3s

10、in53因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲，为了及时赶到停车地点 与旅游团会合，立即决定租用小艇Q先到达湖岸南北大道 处，然后乘景区电动出租车到停车场 处（假设游客甲到达湖滨大道后幸运地M一点未耽搁便乘上了电动出租车） 游客甲乘小艇行驶的方位角是 ，电动出租车的速度为 70/3kmh（）设 ，问小艇的速度为多少 时，游客甲才能与游船同时到达点 ；4sin5/kmhQ（）设小艇速度为 ，请你替该游客设计小艇行驶的方位角 ，当角 的余弦值是多少时，10/kh游客甲能按计划以最短时间到达 Q【解析】 （）方法一：如图，作 ， 为垂足， ， ，PNAB3sin54si在 中， （ ） ，RtP103s

11、in25km（ ） 在 中，cosQN104835kRtPNM（ ） ，2tanMm76Q， 分cosP 4设游船从 到 所用时间为 ，游客甲从 经 到 所用时间为 ，则 （ ） ，Q1thPMQ2th1013PQth设小艇的速度为 ，则 （ ） ，由已知得 ，1/vkm211175620203tvv210tt即， ，小艇的速度为 时，游客甲才能与游船同时到达 ；15203v175v75/kmhQ 分8（）方法二：如图， ， ， ， ，3sin54si4cos53cssinsi()QPM，由正弦定理得 ，所以 ，icoin725sin()si()QMP76QM，所以 下同方法一；sini()P

12、MQ52PM（）在 中， （ ） ， （ ） RtNsiniNkm2costaniPNMkm （ ） ，所以8co3 143s70155in3Qt 分17cos435in5 1 ，令 得 当 时，2/ 2 2(3cs)o37csi5int /0t3cos73cos7；当 时， 在 上是减函数，当方位角 满足/0tcos7/0ty),(时， 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达 分3t Q1418 （本题满分 16 分）已知函数 （ ） ， （ ） 21()lnfxaxR2()gxmxR（）若函数 在 处的切线方程为 ，求实数 与 的值；()fxybab（）求 的单调减区间；（）当 时，若对任意

13、的 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范1a1,2x21,x12()fxgm围【解析】 （） ，由 得 ， ，/()afx/()af2()lnfx，(2)lnf即切点为 ，代入方程 得 ； 分(2,l)yxb2ln5（） 的定义域为 ， ，)fx(0,/()af当 时， 在 上恒成立， 无减区间；a/)fx, ()fx当 时，由 得 ，此时， 减区间为 ； /(x(0,)a 分10（）由题意可得 时， 分1,2xminin)()fg 2 时， ， 在 为增函数，1a/ (1()0xffx1,2 ，min()2fx224()4gx当 时， 在区间 上递增，所以 ，由 解得1m()gx1,2min1

14、()(1)52gx152m，舍去；94当 时， ，解得 或 ，122min()()4gx421 ；2m当 时， 在区间 上递减，所以 ，由 解得()gx1,2min1()()842gx1842m， .1582综上， . 分4m 1619 （本题满分 16 分）已知直线 经过椭圆 （ ）的左顶点 和上顶20xy2:1xyCab0aA点椭圆 的右顶点为 ，点 是椭圆 上位于 轴上方的动点，直线 、 与直线DCBEEB:l分别交于 、 两点103xMN（）求椭圆 的标准方程；（）求线段 长度的最小值；（）当线段 的长度最小时，椭圆 上是否存在这样的点 ，使得 的面积为 ？若存CTBE15在，确定点

15、的个数；若不存在，请说明理由T【解析】（）令 得 ，所以 ，所以 ，令 得 ，所以 ，所以0x1y(0,)D1b0y2x(,0)A，所以椭圆 的标准方程 为 ；2aC24xy 分5（）显然直线 的斜率存在且为正数，设直线 的方程为 （ ），联立得AEAE(2)ykx0，解得 ，由 得 ，(2)103ykx106(,)3kM2()4ykx222(14)614k显然 ，由求根公式得 或 （舍），所1622168(4)1kkx22168(4)1kkx以，从而直线 的方程为 ，联立得 ，解得2284(,)1kEBE(2)4yxk(2)103yxk，所以 ，当且仅当 时取“ ”，因此，线段0(,)3Nk

16、16168233kMNk 4k长度的最小值为 ； 分8 10（）由（）知， 时线段 的长度最小，此时 ， ，因为 的面积14k6(,)5E25BTBE为 ，所以点 到直线 的距离为 ，因为直线 的方程为 ，设S15TBE24SdB 0xy过点 且与直线 平行的直线 的方程为 ，由两平行线之间距离为m0xyt(2)24得 ，解得 或 ，当 时，直线 的方程为 ，联立得|2|4t32t5t3tm30xy，消去 得 ，显然判别式 ，故点 有 个；当 时，直线230xyy210x0T252t的方程为 ，联立得 ，消去 得 ，显然判别式 ，m502xy254yxy2510x0故点 不存在T所以，椭圆 上

17、存在两个点 ，使得 的面积为 分CTBE151620 （本题满分 16 分）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， nanS423na（）求数列 的通项公式；na（）对任意的 ，将数列 中落入区间 内的项的个数记为 mNn2(,)mmb求数列 的通项公式；b记 ，数列 前 项的和为 ，求出所有使得等式 成立的21mmcbcmT1mtTc正整数 ， t【解析】 （）设公差为 ，首项为 ，则由 得 ，d1a423S114()2()3adad 即 ；由 得 ， ，将 代入123a2nnndn得 ，令 得 ，从而 ，故 ； 分n112n4（）令 ，则 ，即 ，2mm12m121m ； 分21b 8 ，显然数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，前 项2211()mmmcmc21m的和为 ，由 取倒数得 ，即 ，即T4()1tTc 1tmTct1tmcTt化简得 即 ，即 ，122()()4mtt 2(4)mtt 1(4)2tt 1(4)2tt ， ， ，又 ， 或 或 分10t()20mtttN1t3t1当 时，由 得 ，显然无正整数解；t14t325m当 时，由 得 ，即 ，显然无正整数解；2()mtt 63m当 时，由 得 ，显然 为正整数解3t 12t8m综上，存在符合条件的正整数 ， 3 分16来源: