1、2018 届江苏省南通中学高三 12 月月考数学试题（理科）数学试题（教师版） 2017 年 12 月 23 日一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答卷规定的横线上）1已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为 .1,2A2,3Ba2ABa22复数 在复平面内对应的点位于第 象限. 四zi3根据如图所示的伪代码，当输入 的值为 时，输出的 值为 . a4S28（第 4 题）4从某小学随机抽取 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在10、 、 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 人参加一项活动，则从身高在120,3),
2、4),50 18内的学生中选取的人数应为 . 5 35如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于ABCD正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 . 8Read aS 0I 1While I3S S aa a2I I1End WhilePrint S第 3 题6若命题“存在 ， ”为假命题，则实数 的取值范围是 .xR240axa(2,)7已知函数 与 （ ），它们的图像有一个横坐标为 的交点，则cosyin()3的值是 . 68若两直线 与 平行，则实数 的值为 .10axy10xaya19已知向量 ， ，则 与 的夹角
3、的大小为 .(,3)(,)bb610等比数列 中，若 ， ，则 的值为 . na1254a3 211等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 、 两点， ，CxC216yxAB43则双曲线 的实轴长为 .设等轴双曲线 的方程为 （ ），将点 代入 得 ，所以双曲线 的实轴22xya0(4,23)22xyaC长为 .24a12过圆 上任意一点 作两直线分别交圆于 、 两点，且 ，则1xyPAB60AP2APB的取值范围是 .在 中， ，设 （ ），则 ，ABP2sinsiBr2(,)32sin，则2i()32 2224sini()5sincosco3AP1cosnsi34，
4、因为 ，所以 ，则 ，即42i()62(0,)7(,)61sin(2)(,6.3,PAB13已知函数 （ ）满足 ，且 的导数 ，则不等式()fxR(1)f()fx/1()2fx2()xf的解集为 .设 ，因为 ，所以 ， 在 上递增，又 ，1()2Ff/()2fx/()0Ff()FxR(1)f由 得 ，即 ，所以 ，即 ，故不等式2xf1ff2()1x21的解集为 .21()xf(,1)14在 中，角 、 、 的对边依次为 、 、 ，若 为锐角三角形，且满足 ，ABCCabcABC2cba则 的取值范围是 12sintant由 得 即 ，即 ，由正弦2cb2cosbaba2cosba2cos
5、bC定理得 ，即 ，即siiiABCin()iinBCB，即 ，因为 为锐角三角形，所以nosnCsAB即 ，由此， 、 ，因此2(,)64(,)321si()2i2sintantnC，设 （ ），则 （sin()sinB1siniCsit311i()sihtt），因为 ，所以 在 上递增，所以312t/ 2()0th()ht,)2，即 的取值范围是 53(),(,h12sintantCB53(,)二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分 14分）如图，在几何体中，四边形 为菱形，对角线 与 的交点为 ，四边形ADABDO为梯形，
6、， DCEFCF（）若 ，求证： 平面 ；2OE（）求证：平面 平面 AB【解析】（）证明：取 的中点 ，连接 、 ，ADGOF对角线 与 的交点为 ， ， CBCD12G ， ， ， ， 为平行四边形， EF2EFEOFOEFG 平面 ， 平面 ， ， 平面 ；GAAAD（）证明：四边形 为菱形， ， ， 是 的中点，DBB .又 ， 平面 .OFBDOCBDACF 平面 ，平面 平面 AF16（本小题满分 14分）已知函数 .()2sin()cos6fxx（）求函数 的最大值和最小正周期；f（）设 的角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ， ，若ABCabc231()2fC，求边 、 的
7、值.sin2iab【解析】（）因为 ，所以函数31os1()sin()cosin2in()6 62xfxx的最大值和最小正周期分别为 和 ；()fx max()fT（）因为 ，即 ，因为 ，所以1sin(2)62fCsin)16C0C，于是 ，即 .因为 ，由正弦定理得163sin2iBA，由余弦定理得 ，即 ，联立 ，解得 .2ba22coscab21ab212ba24ab17（本小题满分 14 分）一块圆柱形木料的底面半径为 ，高为 ，要将这块木料加工成一只毛笔1m3c筒，在木料一端正中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一，设小圆柱底面半径为 ，
8、高为 ，要求笔筒底面的厚度超过 rh2cm（）求 与 的关系，并指出 的取值范围；rh（）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为 （元/ ），桶内侧面喷漆费用为 （元/ ），而桶内底面铺贴a2cm2a2c金属薄片，其费用是 （元/ ）（其中 为正常数）7a2c将笔筒的后续加工费用 （元）表示为 的函数；yr求出当 取何值时，能使笔筒的后续加工费用 最小，并求出 的最小值r yy【解析】（）据题意， ，所以 ，因为 ，所以221(3)h 2348hr32h30即 ，解得 ，又 ，所以 ；23480r165r012r6512r
9、（）据题意，笔筒的后续加工费用 ，7()(123)yaha整理得2 223486416176yarhrr ，定义域为 ；23(5)r5(,1)由知， ，令 得 ，3/ 22386()ryaar/0y1658(,2)rr15(,8) ,/y 0 递减 极小值 递增由表知，当 时， 取极小值即最小值 .8ry264a答：当 时，能使笔筒的后续加工费用 最小，最小值为 元cmy2064a18（本小题满分 16 分）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，点 是椭圆 的上顶点，C21xabaBC点 在椭圆 上（异于 点）QB（）若椭圆 过点 ，求椭圆 的方程；2(3,)C（）若直线 ： 与椭圆 交于 、 两
10、点，若以 为直径的圆过点 ，lykxbPQB证明：存在 ， R12BPQ【解析】（）椭圆的离心率 ，则 ，将点 代入2cbea2ab2(3,)21xyb得 ，解得 ，所以 ，于是椭圆 的方程为 ；22()(3)1b2b24C24xy（）由题意的对称性可知：设存在 ， ，由 得椭圆方程为 ，0k12BPQ2ab21xyb将直线方程 代入椭圆方程，整理得 ，解得 ，ykxb2()40kx24Pk，则 （或直接用弦21Pb 222 216()1()pBPBbkbPxyk长公式得 ）2241kbB因为以 为直径的圆过点 ，所以 ，将 中的 用 代换得PQBPQ2241kb1k，由 得 ，即2221|4
11、()|41()bbkBk2BP2241bk，设 （ ），由 ，3240k32()1f0k3()0f知函数 （ ）存在零点，存在 ，使得 1()f324fkkkR12BPQ（其它解法酌情给分）19（本小题满分 16 分）已知数列 中，首项 ， ， 对任意正整数 都na12a12()nnan成立，数列 的前 项和为 nS（）若 ，且 ，求实数 ；12k187a（）是否存在实数 ，使数列 是公比不为 的等比数列，且任意相邻三项 、 、n1na12n按某顺序排列后成等差数列若存在，求出所有的 的值；若不存在，请说明理由；k（）若 ，求 （用 、 表示）12knSa【解析】（）当 时，由 得 ，即 ，1
12、2()nnk12()nnaa21nna所以数列 为等差数列，公差为 ，数列 的前 项和为na1dn，由 得 ，解得 ；(1)2nS187S8()2a2（）设数列 为等比数列，则其公比为 ， ， ， na21aq1nan12na若 为等差中项，则 即 ，则 ，解得 ，与已知不符，舍去；11122nnn2若 为等差中项，则 即 ，则 ，即 ，解得 或2naa11na2a0a2a（舍），此时由 得 即 ，12()nnk()nk()k故 ；215ka若 为等差中项，则 即 ，即 ，解得32n21nna12nna210a12a或 （舍），仿 得 1a5k综上，满足要求的实数 有且仅有一个， ；2k（）当
13、 时， ，所以 ，于是12k12()nnaa211()nnaa32na1()nna当 为偶数时， ； 123456112(1)()()()()()nSaaaa 当 为奇数时，2n 3n（ ），当 时，也适合该式，112()()a 2n1所以 ,(),2nanS为 奇 数为 偶 数（其它解法酌情给分）20（本小题满分 16 分）已知函数 （ ）.1()lnfxax0（）求函数 的单调区间；f（）若存在两条直线 、 （ ）都是曲线 的切线，求1yab2y12b()yfx实数 的取值范围；a（）若 ，求实数 的取值范围.|()0(,)xf【解析】（） （ ）./21()axfx0当 时， ， 的递减
14、区间为 ；0/0f()f(,)当 时，由 得 ，列表得：a/fx1ax1(0,)1(,)a/()f 0 x 递减 极小值 递增所以，函数 的递减区间为 ，递增区间为 ；()f1(,)a1(,)a（）因为存在两条直线 、 （ ）都是曲线 的切线，所以1yxb2yx12b()yfx/()fxa至少有两个不等的正根，令 ，得 ，记其两个根为 、 （ ），/2()f0ax1212则 ，解得 ，而当 时，曲线 在点 、 处的2140ax4a()yfx1,()fx2,()fx切线分别为 、 ，设 （ ），由1()yfx2()yxfaFa0知，当 时， 即 在区间 上是2/ 12()Fxfa 12x/()F
15、x()12,x单调函数，因此 ，所以 、 不重合，即 、12()xF()yxf 2(yfyab（ ）是曲线 的两条不同的切线，故 ；2yb2()f4a（）当 时，函数 是 内的减函数，因为 ，而0a()fx0,)111()ln()0aafee，不符合题意；1(,)e当 时，由（）知 的最小值为 .0a()fx1()ln(1ln)faa若 即 时， ，所以 符合题意；1()fae|()0(,)f0e若 即 时， ，所以 符合题意；20fa1|xea若 即 时， ，而 ，函数 在 内递增，所以当3()e10a()0f()fx1,)时， ，又因为 的定义域为 ，所以 ，符合题意.1x()0fx()f
16、x(0,)|()0(,1)xf综上，实数 的取值范围为 .a,（其它解法酌情给分）2018 届南通中学高三阶段练习数学试题（附加题）21【矩阵与变换】（本小题满分 10 分）已知矩阵 ，若 ，求矩阵 的特征值32aAd1824AA【解析】因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，其特征多项式为13168224aaAdd61ad231，令 ，解得特征值2()()31f()0f为 ， 124【坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 中，直线 参数方程为xOyltyx21（ 为参数）在以原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 的方程为 tOxCcos4（）写出直线 的普通方程和圆
17、的直角坐标方程；lC（）若点 坐标为 ，圆 与直线 交于 、 两点，求 的值P(1,)lABPAB【解析】（）直线 的参数方程为 （ 为参数）消去参数 可得直线 的普通方程ltyx21tl为 ；圆 的方程为 ，即 ，可得圆 的直角坐标方程为02yxCcos4cos42C4)(（）将 代入 得 ，设 、 两点对应的参数分别为 、 ，则tyx214)(2yx20ttAB1t2， ，所以 120t120t21211|()4PABtt另解：由 得 ，则 ，不妨取 ，()4xy2xx(,)则 ， ，2,B22(1)()(1)2PA，所以 22(1)P 24PAB22（本小题满分 10 分）如图，在平面直
18、角坐标系 中，已知直线 ： ，抛物线 ： xOyl40xyCypx（ ）0p（）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；lCC（）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 lPQ求证：线段 的中点坐标为 ；PQ(4,)p求 的取值范围p【解析】（）抛物线 ： （ ）的焦点为 ，由点 在直线 ：C2ypx0(,0)2(,0)2pl40xy上得 ，即 ，所以抛物线 的方程为 ；042p8C216yx（）设 、 ，线段 的中点 因为点 和 关于直线 对称，1(,)Pxy2(,)QP0(,)MxPQl所以直线 垂直平分线段 ，于是 的方程可设为 l yb证明：由 得 （），因为 和 是抛物线 上相异两点，2ypxb20ypbPC
