1、【解析】江苏省扬州中学 2015 届高三 12 月月考文科数学试题 2014.12【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。【题文】一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分【题文】1.已知集合 那么 _.,2|,1|xBxABA【知识点】并集及其运算.A1【答案】 【解析】 解析：由并集的运算律
2、可得 ，故答案为 。RR【思路点拨】根据集合并集的定义，得到集合 A、B 的全部元素组成集合，即可得答案【题文】2.函数 的最小正周期为_.)42cos()(xxf【知识点】三角函数的周期.C3【答案】 【解析】 解析： 由正余弦函数的周期公式 ，故答案为 。2|Tpw=-【思路点拨】直接利用函数周期公式即可。【题文】3.复数 ，且 是纯虚数，则实数 的值为_.1zi)(Razia【知识点】复数的概念及运算.L4【答案】 【解析】 解析：因为复数 ， ，若为纯虚数，则实数1zi11=2iiaiz-+=1，故答案为 1.a【思路点拨】先利用复数的运算法则把复数化简，再结合纯虚数的概念即可。【题文
3、】4.已知双曲线 的一条渐近线方程为 则 的值为_.)0(132myx ,21xym【知识点】双曲线的简单性质H6【答案】 【解析】12 解析：双曲线 的一条渐近线方程为 ，其中一条为：)0(132yx 3yx=，所以 ，解得 m=12故答案为：12,21xy312m=【思路点拨】求出双曲线的渐近线方程，即可求出 m 的值【题文】5.在 中， 则 =_.ABC,2,105,4BCA【知识点】正弦定理C8【答案】 【解析】1 解析： ， ，00,=03= ，由正弦定理 得： 2BC=siniBCA=12sinBCA=故答案为：1【思路点拨】由 A 与 C 的度数，利用三角形内角和定理求出 B 的
4、度数，再由 sinA，sinB 及 BC 的长，利用正弦定理即可求出 AC 的长【题文】6.“ ”是“ ”成立的_条件.(填“充分不必要” “必要不充分”NMN22logl“充要”或“既不充分也不必要”). 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2【答案】 【解析】必要不充分 解析：当 时，不确定两个数字的正负，不一定得到M，即前者不一定推出后者；22logl当 时，根据对数函数的单调性知有 ，NMN即后者可以推出前者，“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，22logl故答案为：必要不充分【思路点拨】当 时，不确定两个数字的正负，不一定得到 ，即前者不一定推出N NM22logl后者；当
5、 时，根据对数函数的单调性知有 ，即后者可以推出前者，得到结论M22logl【题文】7.已知函数 的部分图象如图所示，则 tan()4yx()OAB【知识点】向量在几何中的应用C5 F2【答案】 【解析】6 解析：因为 =0 ，由图得 ；故tan()42yx4xkp-=42xkp-=2x=，由 =1 ，由图得 ，故 ，()2,0Atan()42yxkp-=+33(),1B所以 =（5 ，1） ， =（1 ，1） OB+A =51+11=6()【思路点拨】先利用正切函数求出 A，B 两点的坐标，进而求出 与 的坐标，再代入平面向量OAB+数量积的运算公式即可求解【题文】8.已知 为直线， 为平面
6、，给出下列命题：,mn, ； ； |mn| ； |nmn,n其中正确的命题是 （填写所有正确的命题的序号）【知识点】线面、面面的位置关系的判断.G4 G5【答案】 【解析】 解析：命题 或 ，故不正确；命题|mna ，由线面垂直的性质定理易知正确；命题 ，由线面垂直的性质定|mnn |理易知正确；命题 或 m、n 异面，所以不正确；命题是面面垂直的性质定理，所以|是正确命题故答案为【思路点拨】线面、面面的判定定理即性质定理依次判断即可。【题文】9. 设 满足约束条件 ，则 的取值范围为 ,xy,013xy2zxy【知识点】简单线性规划E5【答案】 【解析】 解析：作出不等式组表示的平面区域3,
7、-由 可得 ，则 表示直线 在 轴上的截距，截距越大， 越小2zxy=-12xz-1-20xyz-=z结合函数的图形可知，当直线 平移到 B 时，截距最大， 最小；当直线 平移0y=20xy-=到 A 时，截距最小， 最大z由 可得 B（1，2 ） ，由 可得 A（3 ，0）3xy-=+ xy+Zmax=3，Z min=3则 2zxy-,故答案为：【思路点拨】先作出不等式组表示的平面区域，由 可得， ，则 表示直线2zxy=-12xz=-12-在 轴上的截距，截距越大， 越小，结合函数的图形可求 的最大与最小值，从而可求20xyz-=的范围。【题文】10.已知 是定义在 上的奇函数，且 当 时
8、， 则)(xfR),(3(xff)0,2(,2)(xf_.)20134)2015(f【知识点】抽象函数及其应用B10【答案】 【解析】0 解析： f（x）的周期 T=3；),(xf f（6713+2 ）+f（6713+1）+f （6713+0）)2013)4()215(ff=f（2）+f （1 ）+f（0）=f （1）+f （1） ，又 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f （ 1）+f （1）=0，故答案为：0【思路点拨】由题意化 f（2015）+f（2014）+f （2013）=f（6713+2）+f（6713+1 ）+f（6713+0）=f（2）+f （1 ）+f（0）=f （1）+f
9、（1）=0【题文】11.若 为等差数列 的前 项和, 则 与 的等比中项为_.nSna,104,369S5a7【知识点】等比数列的性质；等差数列的前 n 项和D2 D3【答案】 【解析】 解析： 为等差数列 的前 项和,24Sna,104,369S则由等比数列的性质可得 解得 ，57936,104a=-5748=-则 与 的等比中项为 ，故答案为 5a7 2A2【思路点拨】由条件利用等比数列的性质可得 解得 ，从而求得,10,369S574,8a-=与 的等比中项的值57【题文】12.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 的焦点为 F，点 P 在抛物线上，且位于 x 轴上方。24yx若点 P
10、到坐标原点 O 的距离为 ，则过点 F,O,P 三点的圆的方程是 42【知识点】抛物线的简单性质；圆的一般方程H3 H7【答案】 【解析】 解析：抛物线的方程为 ， 抛物线焦点为 ，22175()(y)x24yx()1,0F设 ，则 ，解之得 （舍负） ， 坐标为 ，2,4tP,4t4t=P(),设经过 三点的圆的方程为 ，将 O（0，0 ） ，F（1，0） ，P（4，4）代入，,FO2xyDEF+=得 ，解之得 D=1，E= 7，F=00164DE=+经过 三点的圆的方程为 即 。,FOP20xy+-=22175()(y)x故答案为： 。2175()(y)x【思路点拨】根据抛物线方程，求出焦
11、点 F 的坐标和满足条件|OP|= 的 P 点的坐标，再设经过42F、 O、P 三点圆的一般式方程，将 O、F、P 坐标代入，解关于 D、E、F 的方程组，即可得到所求圆的方程【题文】13.若函数 ， 是 的导函数，则函数 的()sincofxx()ffx 2()()Fxfxf最大值是 【知识点】函数的值域；导数的运算菁 B3 B11【答案】 【解析】 解析： ， ，12()sincofxx()cosinfx=- ()()Fxfxf 2siiin=+，2cosinsico1=+ 2in1x=2si14xp 1， 的最大值是 故答案为 。i4xp()Fx【思路点拨】先计算 ，然后化简 ，即可求出
12、 的最大值()f()x=2sin14xp+()Fx【题文】14.已知数列 , 中， 是公比为 的等比数列.记 若不等nab,1anb3),(12*Nnabn式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是_.1na*N【知识点】递推关系式；等比数列.D1 D3【答案】 【解析】 解析： 2 ),(12*Nnabn.12nba111nnnba解得 或 若 ，则,0)1(32()(11 nnnnn bb 23n.10nb23n对一切正整数 成立，显然不可能；23)(1若 则 对一切正整数 成立，只要 即可，即,0nb1)(1n 10，解得,1a.21a【思路点拨】先由已知变形为 再结合 解得 或 再分情况
13、讨论即可。.1nb1na23nb.10n【题文】二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分【题文】15.（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点，点 在 上， 。1ABCEF1ABCD1BC1A求证：（1）EF平面 ABC；（2）平面 平面 .1D【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定菁优网 G4 G5【答案】 【解析】 （1）见解析；（ 2）见解析。 解析：（1）因为 E，F 分别是 A1B，A 1C 的中点，所以 EFBC，又 EF面 ABC，BC面 ABC，所以 EF平面ABC；（2 ）因为直三棱柱 ABCA1B1C1，所以 BB1面 A1
14、B1C1，BB 1A1D，又 A1DB1C，BB 1B1C=B1，所以 A1D面 BB1C1C，又 A1D面 A1FD，所以平面 A1FD平面 BB1C1C【思路点拨】 （1）要证明 EF平面 ABC，证明 EFBC 即可；（2）要证明平面 A1FD平面 BB1C1C，通过证明 A1D面 BB1C1C 即可，利用平面与平面垂直的判定定理证明即可【题文】16.（本小题满分 14 分）已知函数 其中向量,)(nmxf ),cos3,s(sinxx若 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于),si2icosxn,0)f .（1）求 的取值范围；（2）在 中， 分别是角 的对边， 当 最大时， 求 的
15、面积最ABCcba,CBA,3a,1)(AfBC大值.【知识点】余弦定理；两角和与差的正弦函数C5 C8【答案】 【解析】 （1） ；（2 ）.1034解析：（1）由题意知 xxnmxf 2sin3sico)(22= ).6si2sin32cos x 1,0T解得 .0（2）由（1）知 即,1)sin()(,21maxAf .21)6sin(A又 得,A,67653由余弦定理得 即,21322 bccba.1 .431sinAcSABC【思路点拨】 （1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，根据 f（x）的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于 ，得到周期的一半大于等于 ，利
16、用周期公式即可求出 的取值范围；（2 ）把 的最大值代入 f（A）=1，求出 A 的度数，利用余弦定理列出关系式，把 A 的度数代入并利用基本不等式求出 bc 的最大值，即可确定出三角形面积的最大值【题文】17.（本小题满分 14 分）水库的储水量随时间而变化，现用 t 表示时间，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量（单位：亿立方米）关于 t 的近似函数关系式为：21(51)0,9()409)32ttetvt（1）该水库的储水量小于 50 的时期称为枯水期。以 表示第 i 个月份（i =1，2，.，12） ，问：1iti一年内哪几个月份是枯水期？（2）求一年内该水库的最大储水
17、量（取 计算）30e【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用B12【答案】 【解析】 （1）枯水期为 1，2 ，3，4 ，5，10，11，12 月；（2）一年内该水库的最大蓄水量是 150亿立方米解析：（1）当 时， 50，09t152t-从而 0t 5.22-当 时， 50，91t()vt=9(341)50t-+即（t9） （3t 41）0，解得 9t ，所以 432t综上，0t 5.2 或 ，枯水期为 1，2 ，3，4，5，10 ，11，12 月91（2 ）由（1 ）知，水库的最大蓄水量只能在 69 月份v（t）= （t 2+13t36）e t= et（t 1）
18、 （t9 ） ，440令 v（t）=0，解得 t=9 或 t=4（舍去） ，又当 t（6 ，9）时，v（t）0；当 t（9，10）时，v（t）0所以，当 t=9 时，v（t ）的最大值 v（9）= 3e9+50=150（亿立方米） ，1240故一年内该水库的最大蓄水量是 150 亿立方米【思路点拨】 （1）对 t 分段讨论，分别令 v（t ）0 ，解不等式求出 t 的范围即得到枯水期对应的月份 （2）据（1）判断出最大值所在的可能月份，求出 v（t ）的导数，求出导函数大于 0 和小于 0 的 t 的范围即函数的单调区间，求出最值【题文】18.（本小题满分 16 分）如图，F 是椭圆 的一个焦
19、点，A,B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为 。已知点21(0)xyab 12C 在 x 轴上，且 三点确定的圆 M 恰好与直线 相切。,BFC1:30lxy（1） 求椭圆的方程；（2） 若过点 A 的直线 与圆 M 交于 P,Q 两点，2l（3） 且 ，求直线 的方程。PQ2l【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题H8【答案】 【解析】 （1） （2）y= （x+2） 解析：（）F 是椭圆 （ab0）的一个焦点，A ，B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为 ， ， = ， b= ，c= ，设 F（ c，0） ，B（0， ） =（0， ） ，kBF= = ，BC BF，kBC= ， = ， xC=
20、= = =3c，C（3c ， 0） ，设圆 M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，把 B（0， ） ，C （3c ，0 ） ，F （c，0）代入，得：，解得 D=2c，E=0，F=3c 2，圆 M 的方程为（x c） 2+y2=4c2，圆 M 与直线 l1：x+ y+3=0 相切， ，解得 c=1，a=2，b= ，所求的椭圆方程为 （）A 是椭圆方程为 的左顶点， A（ 2，0） ，圆 M 的方程为（x 1） 2+y2=4，过点 A 斜率不存在的直线与圆不相交，设直线 l2 的方程为 y=k（x+2） ， ，又| |=| |=2，cos = = ，PMQ=120，圆心 M 到直线 l2
21、 的距离 d= ， ，解得 k= ，直线 l2 的方程为 y= （x+2） 【思路点拨】 （1）由已知条件求出 B（0， ） ，C（3c，0） ，F（c，0） ，由此求出圆 M 的方程为（x c）2+y2=4c2，再由圆 M 与直线 l1：x+ y+3=0 相切，解得 c=1，a=2，b= ，由此能求出椭圆方程 （2）设直线 l2 的方程为 y=k（x+2） ，由已知条件求出PMQ=120，从而求出 k= ，由此能求出直线 l2 的方程【题文】19. （本小题满分 16 分）已知数列 的各项都是正数，且对任意 ， （ 为常数） 。na*nN212nnak（1） 若 ，求证： 成等差数列；21(
22、)ka123,a（2） 若 ，且 成等差数列，求 的值；0245, 21（3） 已知 （ 为常数） ，是否存在常数 ，使得 对任意 都成立？12,ab,a21nna*N若存在，求 的值；若不存在，请说明理由。【知识点】数列递推式；等差关系的确定D1 D2【答案】 【解析】 （1）见解析；（2）1 或 （3）见解析解析：（1）证明： ， ，令 n=1，则 ，a10， 2a2=a1+a3，故 a1，a 2，a 3 成等差数列；（2 ）当 k=0 时， ，数列 an的各项都为正数，数列 an是等比数列，设公比为 q0，a2，a 4，a 5 成等差数列，a2+a5=2a4， ，a10， q0，q32q
23、2+1=0，化为（q1 ） （q 2q1）=0，解得 q=1 或 或 （3 ）存在常数 = ，使得 an+an+2=an+1 对任意 nN*都成立证明如下： ， ， ，即 ，由于 an0，两边同除以 anan+1，得到 ， = ，即当 nN*时，都有 ，a1=a，a 2=b， ，a3= = 存在常数 = ，使得 an+an+2=an+1 对任意 nN*都成立【思路点拨】 （1）把 ，代入 ，令 n=1 化简即可证明；（2 ）当 k=0 时， ，由于数列a n的各项都为正数，可得数列a n是等比数列，设公比为q0，根据 a2，a 4，a 5 成等差数列，可得 a2+a5=2a4，即 ，解出即可；
24、（3）存在常数= ，使得 an+an+2=an+1 对任意 nN*都成立由 ，及，可得 ，由于 an0，两边同除以anan+1，得到 ，进而 = ，即当 nN*时，都有，再利用已知求出 a1，a 2，a 3 即可证明【题文】20. （本小题满分 16 分） 设函数 21()ln().afxxR（1）当 时，求函数 的极值；)f（2）当 时，讨论函数 的单调性.a(x（3）若对任意 及任意 ，恒有 成立，求实数 的(3,4)12,212(1)ln()amfxfm取值范围.【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用B12【答案】 【解析】 （1）当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，01x()0
25、;fx)(f1x()0.fx)(f， 无极大值.（2）当 时， 在 上是减函数；当 时， 在()=()fxf极 小 值 2a(0,)2ax和 单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 和 单1(0,)a(,)1(,)a12a()fx0,1(,)a调递减，在 上单调递增；（3） .5m解析：（1）函数的定义域为 .当 时， 当 时，(0,)1()ln,(),fxfxx单调递减；当 时， 单调递增()0;fx)(fx0.f， 无极大值.=1极 小 值（2） ()fxax2(1)1ax1()(ax当 ，即 时， 在定义域上是减函数；1a2 0,f()f当 ，即 时，令 得 或 令0a()1xa;()0
26、,fx得 1.x当 ，即 时，令 得 或 令a2()0,fx1x;(),fx得 .1x综上，当 时， 在 上是减函数；当 时， 在 和 单调递减，在()fx,)2a()fx10,)a(,)上单调递增；当 时， 在 和 单调递减，在 上单调递增； (,)a2a()fx0,1,（3）由（）知，当 时， 在 上单减， 是最大值， 是最小值.(3,4)()f(2)f,而 经整理得12()1lnfxff2lnam3lna0a，由 得 ，所以2ama21051.5【思路点拨】 （1）确定函数的定义域，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；（2 ）求导函数 ，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（ 3）()fx()(1xa由（2）知，当 a（3 ，4）时，f （x ）在1，2上单调递减，从而可得对任意 ，恒有 ，等123()(1)lnfxff(3,4)a2(1)lnamln2a价于 ，求出右边函数的值域，即可求得结论23am
