1、 寿 命 （ h） 频 率组 距 1250 320 120 140 60 10 20 30 40 50 江苏省扬州中学数学阶段练习试卷2013.3.9一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分）1已知集合 ， ，则 _ 1M， 124xNZ， MN2如果复数 的实部与虚部互为相反数,则 = .()3biRb3一组数据 ， ， ， ， 的平均数是 ，则这组数据的方差是 _89x4 的值为 12coslg12sinlog5对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为 1000 的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在 300500 小时的数量是_
2、个6已知 ，若 是 的充分条件，则实数 a 的取)3(2:,4: xqaxp pq值范围是 7. 正四面体 ABCD 中，AO平面 BCD，垂足为 ，设 是线段 上一点，且 是直OMABMC角，则 的值为 .MOA8将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 ，则方程 有实根的概cb, 02cbx率为 9.若数列 的通项公式 ，记 ，试通过计算na21()na12()()nfnaa、 、 的值，推测出 (1)f2(3)ff10在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 a,b,c,若 .则直线 被圆22c0axbyc所截得的弦长为 2x9y11.若正数 满足 ，则 的最大值ab，1224为 .
3、12如图，已知椭圆 的左、右准线分)0(2bayx别为 ，且分别交 x轴于 两点，从 上一点 发出一条光线经过椭圆的左焦点 F被21,lDC,1lA轴反射后与 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆的离心率等于 xBAF75BD13已知函数 ，下列命题正确的是 。 （写出所有正确命题的序号）sin()fx 是奇函数； 对定义域内任意 x， 0 时，若方程| |=k32()f 23()fx有且仅有两个不同的实数解 cos =sin 。,()则 14. 已知连续 个正整数总和为 ，且这些数中后 个数的平方和与前 个数的*1()nNann平方和之差为 若 ，则 的值为 b60an二、解答题：（本大题共 6 小
4、题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分）在 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且 ,sin3cos2in.bAB（1 ）求角 C 的大小；（2 ）求 的最大值abc16 (本小题满分 1 4 分)如图，在四棱锥 中， ，PABCD 2DCAB， ， ， ， 为 的中点APDEP求证：（1） 平面 ；E（2 ） 平面 D CB AE P（第 16 题图）目17 （本小题满分 15 分）如图，某小区有一边长为 2（单位：百米）的正方形地块 OABC，其中 OAE 是一个游泳池，计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直
5、路 （宽度不计） ，切点为 M，并把该地l块分为两部分现以点 O 为坐标原点，以线段 OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，若池边 AE 满足函数 ）的图象，且点 M 到边 OA 距离2(0yx为 24()3t（1 ）当 时，求直路 所在的直线方程；l（2 ）当 t 为何值时，地块 OABC 在直路 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？l18. （本小题满分 15 分）给定椭圆 C： ，称圆心在原点 O、半径是 的圆为椭圆 C 的21(0)xyab2ab“准圆” 已知椭圆 C 的一个焦点为 ，其短轴的一个端点到点 的距离为 (2,FF3（1 ）求椭圆 C 和其“准圆”的方程；（2
6、 ）若点 是椭圆 C 的“准圆”与 轴正半轴的交点， 是椭圆 C 上的两相异点，且Ax,BD轴，求 的取值范围；BDxBD（3 ）在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 ，过点 作直线 ，使得 与椭圆 C 都只有一个P12,l12,l交点，试判断 是否垂直？并说明理由12,l19 （本题满分 16 分）已知有穷数列 na共有 2k项（整数 2） ，首项 12a，设该数列的前 n项和为 nS，且 12(,3,1).nS 其中常数 求 na的通项公式；若21k，数列 nb满足 21log(),(12,3),nnak 求证 ： n；若中数列 nb满足不等式： 12212334kkbb ，求 k的最大值20
7、 （本小题满分 16 分）已知 ， ，且直线 与曲线 相)0()(axf bxxgln2( 2xy)(xgy切（1 ）若对 内的一切实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；),)(gfa（2 ）当 时，求最大的正整数 ，使得对 （ 是自然对数的底数）内ak3,e2.718的任意 个实数 都有 成立；kkx,21 )(6)()(21 kkxgxfxff （3 ）求证： )ln(412in *N附加题1已知矩阵 A ，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 ，属于特征值 13 3c d 11的一个特征向量为 2 求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵3 22已知圆的极坐标方程为： 24co
8、s604将极坐标方程化为普通方程；若点 P(x，y )在该圆上，求 xy 的最大值和最小值3.在平面直角坐标系 中，抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 的坐标为（1 ，0） 。xOy（1 ）求抛物线 C 的标准方程；（ 2）设 M、N 是抛物线 C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为 ，直线4MO、NO 与抛物线的交点分别为点 A、B ，求证：动直线 AB 恒过一个定点。4.已知集合 ，其中 ， 表示naA,3212,1niRi Al的所有不同值的个数jiaji （1 ） 已知集合 ， ，分别求 ， ；8,642P16,842QPlQ（3 ）求 的最小值Al江苏省扬州中学数学阶段练习试卷
9、答案 3.91 21 3.2 4 5650 6 7. 1 8 2,3699 10 11. 12 13 145n716215.解 ：（1 ）sin A cosA2si nB 即 2sin(A )2sin B，则 sin(A )si nB33 3因为 0A，B ，又 ab 进而 AB，所以 A B，故 AB ，C 3 23 3（2 ）由正弦定理及（）得 sinAsin (A ) sinAco sA 2sin(A )a bc sinA sinBsinC 23 3 3 6当 A 时， 取最大值 23 a bc16证明：（1）取 中点 ，连结 ， ， 为PFEBF中点， 且 = 且 ，PDE1DCA12
10、DC 且 = 四边形 为平行四边形 FB 平面 ， 平面 ，AABP 平面 .（2 ） ， ， ， 平PA面 平面 ， ， 为DDCDE的中点， ， 平面 . EC17.（ 1） 0291:),43(yxlM（2 ） ，过切点 M 的切线2,t )(2)(:2txtl 即 ，令 得 ，故切线 与 AB 交于点 ；xyytxl,令 ，得 ，又 在 递减，所以0t12t1234, 61,27tx故切线 与 OC 交于点 。l)0,(地块 OABC 在切线 右上部分区域为直角梯形，l面积 ，等号 ， 。tttS142)12( 2)(t1t2maxS18.解：（1 ）由题意知 ，且 ，可得 ，c23a
11、bcb故椭圆 C 的方程为 ，其“准圆”方程为 213xy24xyFPEA BCD（第 16 题图）（2 ）由题意，可设 ，则有 ，(,),)BmnD(3)m213n又 A 点坐标为 ，故 ，2,02,A故22()4(1)3BD, 2243()又 ，故 ， 3m0,74所以 的取值范围是 ABD,)（3 ）设 ，则 (,)Pst2t当 时， ，则 其中之一斜率不存在，另一斜率为 0，显然有 12,l 12l当 时，设过 且与椭圆有一个公共点的直线 的斜率为 ，()st lk则 的方程为 ，代入椭圆 方程可得lytkxC，即 ，223()3xk2 2(1)6()3()0xktsxts由 ， 2
12、2640tsts可得 ，其中 ， 2()0kt3设 的斜率分别为 ，则 是上述方程的两个根，12,l1,12,k故 ，即 22()3tsks2l综上可知，对于椭圆 上的任意点 ，都有 CP1l.资.源. 19解： 1122nnaaSS时 ，两式相减得1112,nnn nnSaaa 当 时 212,Sa w.w.w.zxxk.c.o.m 则，数列 na的通项公式为 12.na把数列 n的通项公式代入数列 nb的通项公式，可得2122log()log)42()(1)112.nnnbaaknkkk 1,.nnb数列 单调递增，且 13310, 0,22k kb则原不等式左边即为 12122123 3
13、2()().kkkkkkbbb 由241可得 2840,3423,因此整数 k的最大值为 7。20.解：（1 ）设点 为直线 与曲线 的切点，则有),(0yx2x)(xgy （*）ln0bx， （*）g2)(0b由（*） 、 （*）两式，解得 ， xgln2)(由 整理，得 ，)(xfxal， 要使不等式 恒成立，必须 恒成立 1)(fxaln2设 ， ，hln2)()1ln2 xh， 当 时， ，则 是增函数，x10)(h， 是增函数， ， 0)1()( 1)a因此，实数 的取值范围是 aa（2 ）当 时， ，xf1)(， 在 上是增函数， 在 上的最大值01)(2xf f3,e)(xf3,
14、e为 38)(f要对 内 的任意 个实数 都有,ekkx,21 )(16)()(21 kkxgxfxff 成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当 时不等式左边取得最大值， 时不等式右边取得最小值3121kxx ek，解得 因此， 的最大值为 638)(kk13（3 ）证明：当 时，根据（ 1）的推导有， 时， ，a),(x)(xgf即 令 ，得 ， )(21lnx2k 12(12lnkk化简得 ， 14lk nini i121 4)l()l()l(附加题答案1解：由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 可得， 6 ，11 3 3c d11 11即 cd6 ；由矩阵
15、 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 2 ，可得 3 2 3 3c d 3 2，即 3c2d2，解得 即 A ， A 的逆矩阵是 3 2 c 2，d 4 ) 3 32 42 ； 圆的参数方程为 460xy cos,2inxy所以 ，那么 xy 最大值为 6，最小值为 2 2sin3.(1)设抛物线的标准方程为 ，则 ，)0(2p,1p所以抛物线方程为 xy42（2）抛物线 C 的准线方程为 ，设 ，其中 ，1),(),(21yNM421y直线 MO 的方程： ，将 与 联立解得 A 点坐标 。xy1xy142),(12同理可得 B 点坐标 ，则直线 AB 的方程为：)4,(2y 211244
16、yxy整理得 ，故直线 AB 恒过定点（1,0） 。0)(21xy4. 解：（1）由 24 6，268 ，28 10 ，4 610 ，4 812，6814，得 l(P)5 由 246，2810，2 1618，48 12，416 20，8 16 24，得 l(Q)6 （3 ）不妨设 a1a 2a 3a n，可得a1 a2 a1a 3a 1a na 2a na 3a na n1 a n，故 aia j (1ij n)中至少有 2n3 个不同的数，即 l(A)2n 3 事实上，设 a1，a 2，a 3，a n 成等差数列，考虑 aia j (1ijn )，根据等差数列的性质，当 ijn 时， aia ja 1a ij 1 ；当 ijn 时， aia ja ijn a n；因此每个和 ai aj(1ijn) 等于 a1a k(2k n) 中的一个，或者等于 ala n(2l n 1) 中的一个故对这样的集合 A，l(A) 2n3 ，所以 l(A)的最 小值为 2n3 来源: 数理化网版权所有：()
