1、2018 届江苏省泰州中学高三 12 月月考数学试题一、填空题.：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1.已知全集 UR，集合 |2Ax ， |0Bx ，则 ()uCAB 2.若直线 210axy的倾斜角为钝角，则实数 a的取值范围是 3.对于常数 m、 n， “ ”是方程“ 21mxny的曲线是椭圆”的 4.已知单位向量 a， b的夹角为 10，那么 ab（ xR）的最小值是 5.将 sin2yx的图像向右平移 单位（ ） ，使得平移后的图像仍过点 3()2为，则 的最小值为 6.已知数列 na满足： 1， 12nna， （ *N） ，则数列 na的通项公式为 7.若圆 C经
2、过坐标原点和点 (40)为，且与直线 1y相切，则圆 C的方程是 8.设函数 1()0xD为为，则下列结论正确的是 （1） ()x的值域为 ；（2） ()Dx是偶函数；（3） ()Dx不是周期函数；（4） ()Dx不是单调函数.9.如图，矩形 ABC的三个顶点 A、 B、 C分别在函数 2logy，12yx， 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点 的纵坐标为 2，则点 的坐标为 10.在矩形 ABCD中， 3， 1AD，若 M， N分别在边 BC， D上运动（包括端点，且满足MN，则 的取值范围是 11.若曲线 21yxe与曲线 lnyax在它们的公共点 ()Pst为处具有公共切线，则
3、实数 a的值为 12.若函数 ()21fx，则函数 ()()lngxfx在 (01)为上不同的零点个数为 13.已知点 30A为和圆 O： 29y， AB是圆 O的直径， M和 N是线段 AB的三等分点， P（异于A， B）是圆 O上的动点， PDAB于 ， PED（ 0） ，直线 PA与 BE交于 C，则当 时， CMN为定值14.已知圆心角为 120的扇形 的半径为 1， C为 AB的中点，点 、 分别在半径 OA、 B上.若269DE，则 ODE的最大值是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.15.已知 ()3sin()cosfxx（1）求 f在 0为上的最小值；（2）已知 a
4、， b， c分别为 ABC 内角 、 、 C的对边， 53b， cos5A，且 ()1fB，求边 a的长.16.设函数 ()log(2)log(3)aafxx，其中 0a且 1（1）已知 41f，求 的值；（2）若在区间 34a为上 ()1fx 恒成立，求 a的取值范围.17. 已知椭圆的中心为坐标原点 O，椭圆短轴长为 2，动点 ()Mt为（ 0）在椭圆的准线上.（1）求椭圆的标准方程；（2）求以 OM为直径且被直线 3450xy截得的弦长为 的圆的方程；（3）设 F是椭圆的右焦点，过点 F作 O的垂线与以 为直径的圆交于点 N，求证：线段 ON的长为定值，并求出这个定值.18. 某儿童游乐
5、场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示. ABCD是等腰梯形；20AB米， CF（ 在 AB的延长线上， 为锐角） ，圆 E与 ， 都相切，且其半径长为18sin米. EO是垂直于 的一个立柱，则当 sin的值设计为多少时，立柱 EO最矮？19. 设数列 na的前 项和为 nS，已知 1nnpSq（ ， 为常数， *nN）eg 12a， ，3aqp（1）求 ， 的值；（2）求数列 na的通项公式；（3）是否存在正整数 m， ，使 12mnS成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对 ()mn为；若不存在，说明理由.20. 已知函数 ()fx的图像在 ab为上连续不断，定义：1(
6、)min/fxtt （ x） ， 2()max()/ffttx （ ab为） ，其中iD表示函数 ()f在 D上的最小值， D表示函数 ()f在 D上的最大值，若存在最小正整数 k，使得 21()xkx 对任意的 xb为成立，则称函数 x为 上的“ k阶收缩函数”.（1）若 ()cosfx， 0x为，试写出 1()fx， 2f的表达式；（2）已知函数 2f， 4，判断 f是否为 14为上的“ k阶收缩函数” ，如果是，求出对应的 k，如果不是，请说明理由；（3）已知 0b，函数 32()fxx，是 0b为上的 2 阶收缩函数，求 b的取值范围.数学附加题21. （1）选修 4-2：矩阵与变换求
7、矩阵 426M的特征值和特征向量.（2）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆 1C的方程为 42cos()，以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 2的参数方程 1sinxay为（ 是参数） ，若圆 1C与圆 2相切，求实数 a的值.22.一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的 A， B， C， D， E五种商品有购买意向，已知该网民购买 A， B两种商品的概率均为 34，购买 ， 两种商品的概率均为 23，购买 种商品的概率为 12，假设该网民是否购买这五种商品相互独立.（1）求该网民至少购买 4种商品的概率；（2）用随机变量 表示该网民购
8、买商品的种数，求 的概率分布和数学期望.23.已知 p（ 2 ）是给定的某个正整数，数列 na满足： 1， 1()()kkapa，其中 1，2， 3， 1.（1）设 4p，求 2a， 3， 4；（2）求 13p试卷答案一、填空题1.|02x 2.(20)为 3.必要不充分条件 4. 3 5. 66. 1na 7. 235()4xy 8.（1） （2） （4） 9. 124为10.9为 11.1 12. 13. 8 14. 3二、解答题15.解：（1） sin3()cos2xfxx31sincosin26x 766 当 时， min1()f；（2） 2xk， Z时， fx有最大值， B是三角形内
9、角 3B 3cos5A 4in正弦定理 isiabB 8a16.解：（1） 12（2）225()log(56)log()4aaafxxx，由 03得 3，由题意知 3，故 32，从而 53()(2)0aa，故函数25()4agx在区间 4a为上单调递增.当 01，则 (fx在区间 3上单调递减.所以 ()fx在区间 3a为上的最大值为 2(3)log(9)1af ，即 29a ，解得 572 或 572a ，又 0，所以 0a.若 1，则 ()fx在区间 34为上单调递增，所以 ()fx在区间 34a为上的最大值为 2()log(16)af ， 216aa ，解得13412 ，与 312a联立
10、无解.综上： 0a17.解：（1）由 b，得又由点 M在准线上，得2ac，故21c， 1c从而 2a所以椭圆方程为21xy（2）以 OM为直径的圆的方程为22()()14txy其圆心为 (1)2t为，半径214tr因为以 为直径的圆被直线 350xy截得的弦长为 2所以圆心到直线 3450xy的距离 21tdr所以 25tt，解得 t所以圆的方程为 22(1)()5xy（3）方法一：由平几知： ONKM直线 OM： 2tyx，直线 F： (1)yxt由 (1)tyxt得 24Kt2222 4(1)24KMtttx所以线段 ON的长为定值方法二：设 0()xy为，则 00(1)FNxy为， (2
11、)Ot为， 00(2)Nxyt为， 0()ONxy为， FM， 2t， 2t又 NO， 00()()xyt， 2002xyt所以 20y为定值.18.解：方法一：如图所示，以 AB所在直线为 x轴，以线段 AB的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系.因为 (10)B为， tanBCk，所以直线 BC的方程为 tan(10)yx，即 tan10tanxy.设圆心 Et（ 0） ，由圆 E与直线 相切，得 210tan10tan108sincos，所以 9sicoEOt令 10sin()f， (0)2为，则 2910(sin)()cof设 09sin， 0()为，列表如下： 0为 00()2为(
12、)f 减 极小值 增所以当 0，即 9sin10时， ()f取最小值.答：当 si时，立柱 EO最矮.方法二：如图所示，延长 ， CB交于点 G，过点 E作 HBC于 ，则 108sinEHR， HEGOBCF在 tG 中， 108sincocR在 OB 中， tatB所以 9sicE19.解：（1）由题意，知 213Spaq为即 32pq为为解之得12pq（2）由（1）知， 1nn，当 n 时， 2S， 得， 1nna （ ）又 21a，所以 12nna（ *N） ，所以 na是首项为 2，公比为 1的等比数列，所以 21na（3）由（2）得，()14()21nnnS，由 1mnS，得14(
13、)212mn，即 ()421nm，即 (4)nm，因为 0m,所以 (4)2n，所以 ，且 12(4)24， （*）因为 *N，所以 或 或 3当 1m时，由（*）得， 8n，所以 1n；当 2时，由（*）得， 2，所以 或 2；当 3时，由（*）得 0n，所以 或 3或 4，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对 ()mn为为：(1)为， (2)为， ()为， (32)为， ()为，20.解：（1）由题意可得： 1cosfx， 0x为， 2()1fx， 0为.（2）210)()04xf为， 221)(4fx为，221210)()4xff为当 x为时， 2(1)xk ， k ， k ；当 (0
14、1)时， ， x ， 1 ；当 4x为时， 2(1)xk ，2k， 65k综上所述， 65 .即存在 4，使得 ()fx是 14为上的“4 阶收缩函数”.（3） 2()3(2)fxx，令 0f得 或 2x.函数 ()fx的变化情况如下：(0为 ()为 (2)为()fx 0A0A4A令 ()0fx得 或 3x.（1）当 2b 时， ()fx在 0b为上单调递增，因此， 322()fxfx， 1()0fxf.因为3()fx是 为上的“二阶收缩函数” ，所以， 21()20)ffx ，对 b为恒成立；存在 xb为，使得 21()(0)ffx成立.即： 32x 对 0b为恒成立，由 32xx 解得 0
15、1 或 2x .要使 x 对 恒成立，需且只需 01b .即：存在 0b为，使得 2(31)x成立.由 2(31)x解得 或 52x.所以，只需 352b.综合可得 51b（2）当 3 时， ()fx在 0为上单调递增，在 b为上单调递减，因此， 2()4fxf，1()0fxf， 214， x，显然当 0x时， 21()0fxf 不成立，（3）当 b时， ()fx在 0为上单调递增，在 2b为上单调递减，因此， 2()4fxf，1()0fxf， 214()fffb， 0x，显然当 0x时， 12(0)ffx 不成立.综合（1） （2） （3）可得： 351数学附加题21.解：（1） 2()1)
16、(6854(7)2f由 ()0f可得： 17， 2.由 742(6)xy可得属于 1的一个特征向量 12由 10()xy可得属于 12的一个特征向量为 41（2） 1C： 22()8，圆心 1()C为，半径 12r，2： ()xya，圆心 2，边境 2|a.圆心距 123，两圆外切时， 12232Cra， ；两圆内切时， ， 52.综上， 2a，或 52a.22.解：（1）记“该网民购买 i种商品”为事件 iA， 4， 5，则 5321()48PA，14 23321()()C()43PA21C所以该网民至少购买 种商品的概率为 54()84P答:该网民至少购买 4种商品的概率为 1.（2）随机变量 的可能取值为 0， ， 2， 3， 4， 53(0)(1)(1)438P221()2C+ 231()1()342C3(1)(1)438,212()P+ ()1()3421122347()()438C1970452382为,41()(3PA58所以：随机变量 的概率分布为：012345P1282847897281318故 479100353E.23.解：（1）由 1()()kkapa得 kp， 1， ， ， 1p即 2146a， 26； 32483， 6a431， 4a；（2）由 1()()kkp得 1kp， 1， 2， ， 1p
