1、【精品解析】四川省绵阳中学 2015 届高三上学期第五次月考数学理)【试卷综述】本分试卷是高三综合测试卷，着重于基础知识，基本技能和基本思想方法，同时也考查的逻辑思维能力和计算能力，空间想象能力以及运用所学的数学知识和思想方法分析问题和解决问题的能力，难度不大，以基础题为主，但又穿插有一定梯度和灵活性的题目，总体而言，此套题着重基础知识和技能的考查考核，通过这份试卷，能过起到查漏补缺， 薄弱环节，便于调整复习的作用，也能够让学生自己了解掌握基本知识和基本技能的情况，做到复习心中有数.【题文】一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
2、目要求的)【题文】1已知全集 ，集合 则集合1234U， ， ， ， AaxBxA,2,0232中的元素的个数为 ( )UCABA.1 B.1 C.3 D.4【知识点】集合的运算 A1【答案】 【解析】解析：因为集合 ，所以 ，求得 ，所以1,22,41,24，故选择.3,5UAB【思路点拨】先求得集合 ，可得 ，根据补集定义求的其补集.,AB,【题文】2.已知 其中 是实数， 是虚数单位则 ( ) 1mnii， n， imniA. B. i C. D. 12i222【知识点】复数的运算 L4【答案】 【解析】解析：由已知可得 ，因为 是实数，所以11i in，即 ，故选择.0112nm2ni
3、【思路点拨】将已知化简可得 ，利用复数相等实部等于实部，虚部等于虚部，可得1mni，故可得答案.,n【题文】3设 为两两不重合的平面， 为两两不重合的直线给出下列四个命题：若、 、 lm、 、则 ；若 则 ；若 ， ，则 ；， ， AA， ， ， ， AllA若 则 其中真命题个数是 （ ） l n， ， ， ， nA1 B2 C 3 D4【知识点】平面与平面平行的性质 G3【答案】 【解析】B 解析：若 ，则 可以垂直也可以平行.故错；， ， ,若 ，则 可以相交也可以平行，只有直线 相交才有 故错；mnnA， ， ， ， ,mnA若 ， ，则 ；故正确；若 则 ，故正All l l， ，
4、， ， n确.所以正确命题有两个，故选择 B【思路点拨】垂直于同一个平面的两个平面可以相交也可以平行，所以错；只有直线 相交才有,故错；两平面平行，则一个平面内的所有直线都平行令外一个平面，所以正确；三个平面两两相交，且交线平行，可知正确.【题文】4、阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A.3 B.11 C.38 D.123 【知识点】流程图 L1【答案】 【解析】解析：第一次循环：可得 ；第二次循环：可得 ；123a231a不成立，所以执行否，所以输出11，故选择10a【思路点拨】根据循环体进行循环，即可得到.【题文】5在 中， ，若 ，则 ( ) OAB)sin5co()s
5、in2co( ，OB5OBAOABSA B C D33323【知识点】向量的数量积 F3【答案】 【解析】解析：由题意可得： ， ，由同2,5OAB .51cos2ABO角三角函数基本关系式可得： 所以 ，故选择.3sin13.sinOABS【思路点拨】根据已知可得 ， ，进而得到2,5OAB .51cos2，即可得到三角形面积.3sin2AOB【题文】6已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和 的距1:4360lxy2:1lx24yxP1l2离之和的最小值为 （ ）A B C D3753【知识点】抛物线的几何性质 H7【答案】 【解析】D 解析： 是抛物线 的准线，则 到 的距离等于
6、 ，抛物线2:1lx24yxP2:1lxPF的焦点 ，过 P 作 垂线，和抛物线的交点就是 ，所以点 到直线24yx1,0F4360的距离和到直线 的距离之和的最小值，就是 到直线1:36l2:1lx,0F距离，所以最小值= ，故选择 D.1:40lxy234【思路点拨】 到 的距离等于 ，过 P 作 垂线，和抛物线的交点就是 ，P2:1lxF1:4360lxyP所以点 到直线 的距离和到直线 的距离之和的最小值.14360y2【题文】7若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数” ，例如解析式为 值域为9的“孪生函数”三个：,2y（1） ；（2） ；（3）x,
7、12x .2,12xy那么函数解析式为 值域为 的“孪生函数”共有 （ ）,15，A5 个 B 4 个 C3 个 D2 个【知识点】函数的值域 B1【答案】 【解析】解析：由题意，函数解析式为 ，值域为 ，当函数值为1时， ，当21yx5， 0x函数值为5时， ，故符合条件的定义域有 0， ，0， ，0， ，- ，所以函数解析式为2x，值域为 的“孪生函数” 共有3 个，故选择B.21y5，【思路点拨】由所给的定义知，一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，函数解析式为 ，值域为 对自变量的可能取值进行探究，即可得出它的孪生21yx5，函数的个数.【题文】8
8、.已知变量 满足 的值范围是 （ ） ,xy03,12xy则 u=514.,2A1.5B5.,2C54.,2D【知识点】线性规划 E5【答案】 【解析】解析：画出约束条件所表示的平面区域可知，该区域是由点 所围成的三角形区域（包括边界） ， ，记点 ，得， ，所以 的取值范围是 .故选择.【思路点拨】画出约束条件所表示的平面区域可知为三角形，目标函数可化为： ，表示为可31yux行域的点与点 连线的斜率的范围加 3 求得.1,3【题文】9.函数 是定义在 上的偶函数，且满足 .当 时， .若在区)(xfR(2)(fxf0,()2f间 上方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是2,2(
9、)0afa（A） (B) (C) (D)(5354,)2,3(,1【知识点】函数的性质以及零点 B4 B9【答案】 【解析】解析：若在区间 上方程 恰有四个不相等的实数根，等价为2,32()0axf有四个不相等的实数根，即函数 和 ，有四个不相同的交点，2fxaf2gax，函数的周期是 2， ()(f当 时， ，此时 ， 是定义在 R 上的偶函数，1001xfx（ ） f，即 ， ，fxfxf0作出函数 和 的图象，如下图：ga当 经过 时，两个图象有 3 个交点，此时 ，解得 ； gx1,2A13ga23当 经过 时，两个图象有 5 个交点，此时 ，解得 ，3,B55要使在区间 上方程 恰有
10、四个不相等的实数根，则 ，故选择2,2()0axf23a【思路点拨】由 得到函数的周期是 2，利用函数的周期性和奇偶性作出函数 的图象，()ff fx由 等价为 有四个不相等的实数根，利用数形结合，即可得到结论0axx【题文】10. 如图， 地在 地的正东方向 处， 地在 地的北偏东 30方向 处，河流的没BA4 kmCB2 km岸 （曲线）上任意一点到 的距离比到 的距离远 现要在曲线 上选一处 建一座码头，向PQB PQM、C 两地转运货物.经测算，从 到 、 到 修建公路的费用分别是 万元/km 、 万元/km ，那么BMaa修建这两条公路的总费用最低是（ ）A(2 72)a 万 B5a
11、 万元C(2 7+1) a 万元 D .(2 3+3) a 万元【知识点】双曲线的几何性质 H6【答案】 【解析】解析：依题意知 曲线是以 、 为焦点、实轴长为 2 的双曲线的一支（以 为PMQABB焦点） ，此双曲线的离心率为 2，以 直线为轴、 的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的B方程为 ，点 的坐标为 ，则修建这条公路的总费用213yxC3,设点 、 在右准线上射影分别为点 ，根据双曲线|aMBaC1,MC的定义有 ，所以 ，当且仅当点 在1|2MB1|2a32 52CaMa M线段上 时取等号，故的最小 值是 .故选择.C5【思路点拨】依题意知 曲线是双曲线的方程为 的一支，
12、点 的坐标为 ，则修PQ23yx3,建这条公路的总费用 根据双曲线的定义有 ，|2,aBCaBC 1|2B所以 .1|32 5aMC二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)【题文】11 已知命题 在区间 上是减函数；命题 不等式 的解2:mpfx(0)， q： 21xm集为 R.若命题 “ ”为真，命题 “ ”为假，则实数 的取值范围是_qqm【知识点】复合命题得真假 A3【答案】 【解析】 解析：因为 在区间 上是减函数，所以得10212:pfx(0)， ，因为不等式 的解集为R，所以得 ，要保证命题“ ”为真，命12m2pq题“ ”为假，则需要两个命题中只有一个正确，
13、而另一个不正确，解得 .故答案为：pq102m.102【思路点拨】由命题 可得 ，命题 可得 ，因为命题“ ”为真，命题“ ”为假，所以p12mq0mpqpq需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，解得 .12【题文】12.已知函数 （ 0, ）的图象如右图所示，则 = . xfsin)( 【知识点】三角函数的图像和性质 C3【答案】 【解析】 解析：由图像可得 ， ，所以371234T22， ，因为 ，所以 ，故答sin2fxkk 03案为 .3【思路点拨】根据图像可得函数的正确为 ，根据周期公式可得 ，因为在 处22T712x取得最小值，所以 ，可求得结果.732213kk【题文】13
14、. 已知 的展开式中 的系数与 的展开式中 的系数相等，则5(cos1)x2x45()x3x_cos【知识点】二项式定理 J3【答案】 【解析】 解析：由二项式定理知: 的展开式中 的系数为 ,2 5(cos1)x2x325Ccos的展开式中 的系数为 ，于是有 C 解得 ，所以可得45()x3x145C32543 5 21cos，故答案为 .2cos2【思路点拨】根据二项式定理的展开式可得 的展开式中 的系数为 , 的展5(cos1)x2x325cos4()x开式中 的系数为 ，列的等式关系即可求解.3x145C【题文】14.已知函数 在 上恒正，则实数 的取值范围是 21log)(xaxf
15、 3,a【知识点】指数函数 复合函数的单调性 B6 B3【答案】 【解析】 解析：设 ，需满足 ，即98,21,321gax210gx，因为 ，所以 ，从而 ，可得函数 的对21ax,x2min1x2ax称轴为 ，从而函数 在 上单调递增，当 时，函数 在ga31,x1f上单调递增，所以 ，当 时，函数 在31,2x1lo022af aafx上单调递减，所以 ，即为 ，故答案为, 393148g249 829.98,2,3【思路点拨】因为函数在 上有意义，所以满足 ，求得 ，而可得函数31,2x210ax12a的对称轴为 ，从而函数 在 上单调递增，然后21gxa12xa21gxa3,2x利用
16、复合函数同增异减对 进行分类讨论，可得结果.【题文】15.方程 的曲线即为函数 的图像，对于函数 ，有如下结论：169xy()yf ()yf 在 R 上单调递减；函数 不存在零点；函数 的值域是 R；若函()f 43Fxfxx数 和 的图像关于原点对称，则函数 的图像就是方程 确定的曲线. 其中gxf g169所有正确的命题序号是 . 【知识点】函数的图像与性质 B9【答案】 【解析】D 解析：根据题意画出方程 的曲线即为函数 的图象，如图所1169xy()yfx示轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形从图形中可以看出，关于 函数的有下列说法：yfx 在 R 上单调递减；正确yf
17、x由于 即 ，从而图形上看，函数 的图象与直线 没有交点，43034fyfx34xy故函数 不存在零点；正确函数 的值域是 R；正确Ffx函数 的值域是 R；正确.y根据曲线关于原点对称的曲线方程的公式，可得若函数 和 的图象关于原点对称，则gxf用分别代替 ，可得 就是 表达式，可得 ，则x、 xy、 fx（ ） ygxf（ ） （ ）的图象对应的方程是 ，说明错误yg169其中正确的个数是 3【思路点拨】根据题意画出方程 的曲线即为函数 的图象，如图所示轨迹是两xy()yfx段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形从图形中可以看出，关于函数 的结论的正yfx确性【题文】三、解答题(本大
18、题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)【题文】16 (本小题满分 12 分)在ABC 中，三个内角 是的对边分别是 ，其中 ，ABC， ， ,abc10且 .34cosabBA（1）求证： 是直角三角形；C（2）设圆 过 三点，点 P 位于劣弧 AC 上， ，求四边形 的面积.O， ， 60PABCP【知识点】解三角形 C8【答案】 （1）略：（2） .183【解析】 （1）证明：根据正弦定理得，.sincoAB整理为： sincosi,i2,AB即因为 所以0,0,所以 ，或者 3 分B.由于 所以 所以4,3ba,2C即故 是直角三角形。 5 分AC（2）由（
19、1）可得： 6,8.ab在 中，RtB34sin,cos.5BAAB)0(sinPCsicoc68 分.3415324连结 ，在 中， .BRtA5PBcosAACPPCSS1sin2ab10 分.381)54(1084【思路点拨】根据正弦定理得， 即 ，根据三角形内角的特点可得 ，.sincoABi2sinBAB或者 ，由于 所以 所以 即证得三角形为直角三角形；由.2AB,3ba,C即（1）可得： 6,8.在 中 而 利用两角差的正弦展开RtC4sin,cos.55CB)60sin(si AP式可得 的值，再有 可求得结果.sinPACABCPPACSSA【题文】17(本小题满分 12 分
20、)在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3 分，负者得 0 分，没有平局。在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 31，甲胜丙的概率为 41，乙胜丙的概率为1；（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； （2）设在该次比赛中，甲队得分为 求,的分布列和数学期望。【知识点】对立事件 离散型随机变量以及分布列 K5 K6【答案】 （1） ；（2） .874E【解析】 （1）设用队获第一且丙队获第二为事件 A，则1()();348PA（6 分）（2） 可能的取值为 0，3，6；则甲两场皆输：1()(),42P甲两场只胜一场：15(3)()()3甲两场皆胜
21、：1(6)42P，的分布列为：1517036224E（12 分）【思路点拨】根据题意可得甲队获第一名且丙队获第二名的概率为11()();348PA可能的取值为 0，3，6；即为甲两场皆输，甲两场只胜一场，甲两场皆胜三种情况分别求的概率即可.18 （本题满分 12 分）0 3 6P 5121如图，已知 是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是 2，D 为侧棱 的中点， 为 的1ABC 1CE1AB中点（1）求证： ；DE（2）求直线 到平面 的距离；1（3）求二面角 的正切值ABCEDC1B1A1CBA【知识点】点到面的距离 二面角 G11【答案】 （1）略；（2） ；（3） .15【解析】 (1)证明: 连结 ,则 ，1CEAB又 , 平面 , ,1AB1D1E而 , . /(2)取 中点 为,连结 则 , .F,EFABF过 作直线 于 点,则 平面 ,EHH 就是直线 到平面 的距离. 在矩形 中,1ABD1CE112,3,2,CE在 中,DEFA直线 到平面 的距离 . 1B(3)过 作 于点 ,则 平面 ,MCACDB过 作 于点 ,连结 ,则NN 即为所求二面角的平面角,A在 中, 为 中点,RtDB21M , 在 中, .5tA5tan所以二面角 的正切值为 .C【思路点拨】(1)连结 ,证明 平面 , ,而 , ；（2）取1E1B1EDC1ABE1/ABDE
