1、湖南省长郡中学2015 届高三第五次月考数学（理）试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量 120 分钟。满分 150 分。【题文】一、选择题：本大题共 10 小题，
2、每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1复数 所对应的点位于复平面内i2A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知识点】复数的化简 L1【答案】B【解析】解析：复数 ，对应的点坐标为 ，所以在第二2243ii ii24,3象限，故选择 B.【思路点拨】化简复数即可得到.【题文】2已知离散型随机变量 X 的分布列为则 X 的数学期望 E（X）=A B2 C D323 25【知识点】离散型随机变量的分布列 K6 【答案】A【解析】解析：由数学期望公式可得： .故选择 A.11502EX【思路点拨】根据数学期望公式 可得.123nEXPP【题文
3、】3已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则函数 g（x）=f（x）fx0x23fx（ ） x+3 的零点的集合为A1，3 B-3，-1 ，1 ，3C2 ，1，3 D 2 ，1，37 7【知识点】函数的奇偶性 函数零点 B4 B9【答案】D【解析】解析： 是定义在 R 上的奇函数，当 时， 可得 的解析fx0x23fx（ ） 0x式为： 则23fx（ ） ， 23,0 xf ，令 当 时， ，解得gf（ ） （ ）24, 30xg0g（ ） ， x2430x，或 ，当 时， ， 解得（舍去）1x302277x或函数 的零点的集合为 故选择 D.fx（ ） （ ） 1， ，【思路点拨】首先
4、根据 是定义在 R 上的奇函数，求出函数在 R 上的解析式，再求出f的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决3gxf（ ） （ ）【题文】4在（1+x） 6（1+y） 4 的展开式中，记 xmyn 项的系数为 f（m，n） ，则 f（3,0）+f （2,1）+f（1 ，2）+f（0，3）=A45 B60 C120 D210【知识点】二项式定理 J3【答案】C【解析】解析： 的展开式中，含 的系数是： 含641xy（ ） （ ） 30xy306420fC （ ， ） ；的系数是： 含 的系数是21xy2640,fC （ ） ； 12x含 的系数是6433f （ ,） ；3xy0364,f
5、C （ ） ； 故选择 C.02112f f（ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）【思路点拨】由题意依次求出 ，项的系数，求和即可30203xyxy， ， ，【题文】5已知命题 p：x A B，则非 p 是Ax 不属于 A B Bx 不属于 A 或 x 不属于 BCx 不属于 A 且 x 不属于 B Dx A B【知识点】命题的否定 A3【答案】C【解析】解析：由 知 或 ，所以非 p 是： 不属于 A 且 不属于 B故选xx择 C【思路点拨】因 即 或 是由“或” 连接的复合命题，它的否定是由“ 且”连接的复合命xABxB题【题文】6若执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为 3，则
6、判断框中应填人的条件是A 6 ？kB 7 ？C 8 ？D 9 ？k【知识点】算法和程序框图 L1【答案】C【解析】解析：根据程序框图，运行结果如下：S k 第一次循环 32log第二次循环 4. 第三次循环 523ll第四次循环 64 . ogog第五次循环 7235lll第六次循环 8462.83log故如果输出 S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是 故选择 Ck【思路点拨】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是 S=3，可得判断框内应填入的条件【题文】7已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A B 4323C D1
7、【知识点】三视图 G2【答案】C【解析】解析：边长为 1 的正三角形的高为 ，即侧视图的底面边长为 ，而侧视图的高，3232即为正视图的高 ，所以侧面积为 .故选择 C.3324【思路点拨】由题意可得侧视图为三角形，且边长为边长为 1 的正三角形的高线，高等于正视图的高，分别求解代入三角形的面积公式可得答案【题文】8已知函数 的图象分别与直线 y =m 交于 A，B 两点，则|AB|的最小2xxfegln（ ） ， （ ）值为A2 B2+1n 2 Ce 2+ D2 eln13【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用 B12 【答案】B【解析】解析：由题意，12ln,mAB其中 ，所以 ，令
8、，则12ln0me12le12ln0xye， 即函数单调递减，在 ，函数单调递增，所1 ,x2xy,y0x,y以在 处取得极小值，即为最小值，所以12min2lAB故选择 B.【思路点拨】由题意设 ，则 ，令 求12ln,Ame12lnme 12ln0xye得其最小值即可.【题文】9设函数 f（x）= sin（2 ）+cos （2 ） ，且其图象关于直线 x=0 对称，3xx2|则Ay=f（x）的最小正周期为 ，且在（0， ）上为增函数2By=f（x）的最小正周期为 ，且在（0， ）上为增函数24Cy=f（x）的最小正周期为 ，且在（0， ）上为减函数Dy=f（x）的最小正周期为 ，且在（0
9、， ）上为减函数【知识点】三角函数的图像与性质 C3【答案】C【解析】解析：由题意已知函数为 ，因为其图象关于直线 x=0 对称，2sin6fxx所以 ，又因为 ，所以 ，即函数为20623kk|23，所以 的最小正周期为 ，且在 上为减函数，故sincos2fxxxyfx（ ） 02（ ， ）选择 C.【思路点拨】根据其图象关于直线 x=0 对称以及 的范围，可得 ，即可求得.3【题文】10对于三次函数 f（x ）=ax 3+bx2+cx+d（a 0） ，给出定义：设 （x）是函数 y=f（x）的导数，f（x）是 （x ）的导数，若方程 （x）=0 有实数解 x0，则称点（x 0，f（x 0
10、） ）为函数 y=f（x）ff f的“拐点” 某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点” ；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点” 就是对称中心，设函数 g（x）= x3 x2+3x ，则 g +g +g11525120154A2 013 B2 014 C2 015 D2 016【知识点】导数的应用 函数的对称中心 B12 B8 【答案】B【解析】解析：依题意，得： ，31gxgx（ ） ， （ ）由 ，可得 ，而 ，即函数 的拐点为 ，即0210gx（ ） ， 即121,2，所以1所以所求为4013201,2051255ggg，故选择 B.14【思路点拨】根据所给的信息可求得函数 的
11、拐点为 ，即 ，即可得到.gx1,22gx【题文】二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第 11,12 ,13 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）【题文】11如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上，CDAB ，垂足为 D，且 AD=5DB，设COD= ，则 tan 的值为 【知识点】直角三角形的射影定理 N1 【答案】 【解析】解析：令圆 O 的半径为 R，即 ，52 AOBCR，由相交弦定理可得：5133ADBRADB， ， 2259DABR.故答案为 .523CCtan
12、 52【思路点拨】求 的值，可转化为解三角形 ，根据相交弦定理，不难求出 与半径的关系，根t OCDCD据已知也很容易出出 OD 与半径的关系【题文】12已知在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，Ox 为sin31coyx极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ，则圆 C 截直线 l 所得的弦长为 06cos。【知识点】极坐标 参数方程 N3【答案】 【解析】解析：由圆的参数方程可得普通方程为： 圆心为42 22319xy半径为 ，直线 l 的方程为 ，圆心到直线的距离为 ，所以弦长为 .故3,13yxd342答案为 .【思路点拨】首先把参数方程和极坐标方
13、程化为普通方程，再利用弦长 （d 为圆心到直线的2lr距离）即可求出【题文】13不等式 对一切非零实数 x，y 均成立，则实数 a 的取值范围为 1|2|sinyxa【知识点】含绝对值不等式 基本不等式 E2 E6【答案】 【解析】解析： ，其最小值为 2，又1,3|1122xx（ ， ， ） ， ）的最大值为 1，故不等式 | 恒成立，有siny|sinyaa，解得 ，故答案为,3a,3【思路点拨】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出 的最大值，若不等式 恒成立，则 ，解这个绝对值不等式，即可得siny1|2|sinyxa21a到答案（二）必做题
14、（1416 题）【题文】14已知点 A 是不等式组 所表示的平面区域内的一个动点，点 B（-1，1） ，O 为坐310xy标原点，则 的取值范围是 。OB【知识点】线性规划问题 E5【答案】 【解析】解析：作出不等式组对应的平面区域如图：1，设 由 得 表示，斜率为 1 纵截距为 的一组平行直线，.AxyzOABxy（ ， ） ， ， zxy， xzz平移直线 ，当直线 经过点 D 时，直线 的截距最小，此时 最小，当直线经过点 B 时，直线 的截距最大，此时 最大，由 ，即yxzyxzz302xxyyB（1，2） ，此时 12max由 ，即 D（2 ，1）此时 ，故 ，30xyy 21min
15、z1z故答案为： .1，【思路点拨】设 由 得 表示，斜率为 1 纵截距为 的.AxyzOABxy（ ， ） ， ， zxy， xzz一组平行直线，作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义即可得到结论.【题文】15如图，已知过椭圆 的左顶点 A（-a ，0）作直线 l 交 y 轴于点 P，交椭)0(12ba圆于点 Q，若AOP 是等腰三角形，且 =2 ，则椭圆的离心率为 。PQ【知识点】椭圆的几何性质 H5【答案】 【解析】解析：AOP 是等腰三角形， 25 0AaP（ ， ） （ ， ）设 ，解得 代000 00222xaxQxyPQAxyaxyy（ ， ） ， ， （ ， ） （
16、， ） 023ay入方程化简可得： ，所以 ，故答案为 .215ba251be5【思路点拨】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点 Q 的坐标，再代入椭圆方程可得 ，215ba进而求得离心率【题文】16等边ABC 的边长为 2，取各边的三等分点并连线，可以将ABC 分成如图所示的 9 个全等的小正三角形，记这 9 个小正三角形的重心分别为 G1,G2,G3，G 9，则|（ ）+（1BGA）+ （ ）|= 。2BGA9BGA【知识点】向量的加法及其几何意义 A1【答案】 【解析】解析：因为ABC 为等边三角形，边长为 263 ，且 ， =239|ADBFE， 0ADBF 19| |AGBA
17、GB （ ） （ ） 11555463|22|GEE （ ） （ ）故答案为 .63【思路点拨】将所有的向量用 ，表示出来，再利用等边三角形的三线合一性质即可求解1ADBFG， ，【题文】三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】17 （本小题满分 12 分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望【知识点
18、】分层抽样方法 等可能事件的概率 离散型随机变量及其分布列 I1 K1 K6 【答案】 （1）甲组抽取 2 名工人，乙组抽取 1 名工人；（2） .85E【解析】解析：（1）由于甲组有 10 名工人，乙组有 5 名工人，根据分层抽样原理若从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核，则从甲组抽取 2 名工人，乙组抽取 1 名工人（2 ） 的可能取值为 0，1，2 ，3Ai 表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人， i=0，1，2B 表示事件：从乙组抽取的是 1 名男工人Ai 与 B 独立， i， ， 1234056.7CP（ ） 2121463405058.（ ），2105.7
19、CP（ ） 31175P（ ） （ ） -（ ） （ ） =所以分布列为：故期望 .801235EPP（ ） （ ） （ ） （ ）【思路点拨】 （1）求从甲、乙两组各抽取的人数；因为采用分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核且甲组有 10 名工人，乙组有 5 名工人，根据分层抽样原理可直接得到答案 （2）求 的分布及数学期望首先记事件 Ai 表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人，i=0，1，2B 表示事件：从乙组抽取的是 1 名男工人故可得到 的可能取值为 0，1，2，3 然后对每一个取值求概率最后根据期望公式即可得到答案【题文】18 （本小题满分 12
20、分）在ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a，b ，c ，若 acos C=csin A（1）求角 C 的大小；（2）若 a=3，ABC 的面积为 ，求 的值23CAB【知识点】正余弦定理 向量的数量积 C8 F3【答案】 （1） ；（2）-1.3C【解析】解析：1）因为 ，cosinaA由正弦定理可得： in,0,sin0CA又 ；3cosita3,C3（2 ） 的面积为,aAB13,sinsi,222Sabb由余弦定理得： ，即24967c27,co14A则.os14CABbA【思路点拨】由正弦定理可得： 可求得；根据面积公式可得 ，再由余3sincosin,CA2b弦定理得 以及 的值，代入公式可求得.7ccos【题文】19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD,AB= PA=1,AD= ，F 是 PB 中点，3E 为 BC 上一点（1）求证：AF平面 PBC； （2）当 BE 为何值时，二面角 CPED 为 45o【知识点】线面垂直 二面角 G5 G11【答案】 （1）略；（2） .536BE【解析】解析：（1）证明：以 A 为原点，AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
