1、2015-2016 学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 P=x|1x2，Q=x|x 2+x20，那么 PQ 等于（ ）A B1 Cx| 2 x2 Dx|1x22 （5 分）设 a，bR，则“（a b）a 20”是“ ab” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）若函数 f（x）是定义在（ ，+）上的偶函数，x0 时，f（x）单调递增，P=f（ ） ，Q=f（e） ， ，则 P
2、，Q ，R 的大小为（ ）ARQP BQRP CPR Q DP Q R4 （5 分）在等腰ABC 中，BAC=90，AB=AC=2 ， ， ，则 的值为（ ）A B C D5 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=100，且 5S77S5=70，则 S101 等于（ ）A100 B50 C0 D506 （5 分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A B C D7 （5 分）该试题已被管理员删除8 （5 分）x、y 满足约束条件 ，若 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（ ）A 或1 B2 或 C2 或 1 D2 或19 （5 分）在区间1
3、，1上随机取一个数 x，使 sin 的值介于 0 到 之间的概率为（ ）A B C D10 （5 分）函数 f（x）=Asin（ x+） （其中 A0，| | ）的图象如图所示，为了得到 g（x）=sin2x的图象，则只要将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度11 （5 分）已知抛物线 y2=2px（p0）与双曲线 =1（a0，b0）有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为（ ）A +2 B +1 C +1 D +112 （5 分）设集合 ， ，函数 ，若 x0A，且，则 x0
4、 的取值范围是（ ）A （ B （ C D （ ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上.13 （5 分）若复数 z= （aR） ，i 是虚数单位）是纯虚数，则 a= 14 （5 分）三棱锥 PABC 的四个顶点都在半径为 5 的球面上，底面 ABC 所在的小圆面积为 16，则该三棱锥的高的最大值为 15 （5 分）在ABC 中，AC=7 ，B= ，ABC 的面积 S= ，则边 AB 的长为 16 （5 分）已知平面上的点集 A 及点 P，在集合 A 内任取一点 Q，线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到集合A 的距离，记作 d（P ，A） ，如
5、果 A=（x，y）|x 2+y2=1，点 P 坐标为 ，那么 d（P，A）= ；如果点集 A 所表示的图象是半径为 2 的圆，那么点集 D=P|d（P，A）1所表示的图形的面积为 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）已知数列a n满足 a2=5，且其前 n 项和 Sn=pn2n（）求 p 的值和数列a n的通项公式；（）设数列b n为等比数列，公比为 p，且其前 n 项和 Tn 满足 T5S 5，求 b1 的取值范围18 （12 分）某工人生产合格零售的产量逐月增长，前 5 个月的产量如表所示：月份 x 1 2 3 4 5合格
6、零件 y（件） 50 60 70 80 100（I）若从这 5 组数据中抽出两组，求抽出的 2 组数据恰好是相邻的两个月数据的概率；（）请根据所给 5 组数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ；并根据线性回归方程预测该工人第 6 个月生产的合格零件的件数（附：回归方程 = x+ ； = ， = ）19 （12 分）在直三棱柱 ABCABC中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，D是棱 AC的中点，且AA=2 （）证明：BC 平面 ABD；（）棱 CC上是否存在一点 M，使 AM平面 ABD，若存在，求出 CM 的长；若不存在，说明理由20 （12 分）已知椭圆 C： + =1
7、（ab0）过点（ 1， ） ，且离心率 e= （）求椭圆方程；（）若直线 l：y=kx +m（k0）与椭圆交于不同的两点 M、N ，且线段 MN 的垂直平分线过定点，求 k 的取值范围21 （12 分）已知函数 f（x） =lnxmx（mR） （1）若曲线 y=f（x）过点 P（1，1） ，求曲线 y=f（x）在点 P 的切线方程；（2）若 f（x）0 恒成立求 m 的取值范围；（3）求函数 f（x）在区间1 ，e上最大值请考生在第（22） 、 （23） （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修 4-
8、1 几何证明选讲22 （10 分）如图，AB 是O 的一条切线，切点为 B，直线 ADE，CFD，CGE 都是O 的割线，已知AC=AB（1）求证：FGAC ；（2）若 CG=1，CD=4 求 的值选修 4-4 坐标系与参数方程 23在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 中正半轴为极轴建立坐标系，直线 l 的极坐标方程为，圆 C 的参数方程为 为参数，r0）（1）求直线 l 的普通方程以及圆心 C 的坐标；（2）当 r 为何值时，圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3选修 4-5 不等式选讲24设函数 f（x）=|x a|，a0（）证明 f（x）+f（ ） 2；（）若不等式 f（x
9、）+f（2x） 的解集非空，求 a 的取值范围2015-2016 学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2015 秋 甘肃校级期中）已知集合 P=x|1x2，Q=x|x 2+x20，那么 PQ 等于（ ）A B1 Cx| 2 x2 Dx|1x2【分析】根据题意，Q 为方程 x2+x60 的解集，由一元二次不等式的解法可得 Q，由交集的运算可得答案【解答】解：根据题意，结合一元二次不等式的解法可得，Q=xR|x2+x20=
10、x| 2x1，而 P=x|1x2，又交集的意义，可得 PQ=故选：A【点评】本题考查集合的交集运算，注意本题中 P 与 Q 的元素的范围的不同2 （5 分） （2016 河池校级一模）设 a，bR，则“（a b）a 20”是“ ab”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解【解答】解：a，bR，则（a b）a 20，ab 成立，由 ab，则 ab0， “（a b）a 20，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，bR ，则“ （ab）a 20”是 ab 的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式，充
11、分必要条件的定义，属于容易题3 （5 分） （2015 秋 长沙校级月考）若函数 f（x）是定义在（，+）上的偶函数，x0 时，f（x）单调递增，P=f（ ） ，Q=f（e） ， ，则 P，Q ，R 的大小为（ ）ARQP BQRP CPR Q DP Q R【分析】根据题意，先利用函数的奇偶性可得 P=f（）=f（） ，进而利用函数当 x0 时，f（x）单调递增，且 e ，分析可得 f（）f（e）f （ ） ，即可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x）是定义在（，+）上的偶函数，P=f（ ）=f（） ，又由当 x0 时，f（x）单调递增，且 e ，则有 f（ ） f（e ）f（ ） ；即
12、PRQ；故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，涉及单调性性质在比较大小中的应用；解题时注意充分利用奇偶性分析4 （5 分） （2015 高密市模拟）在等腰ABC 中，BAC=90 ，AB=AC=2， ， ，则的值为（ ）A B C D【分析】将所求利用三角形法则表示为 AB，AC 对应的向量表示，然后利用向量的乘法运算求值【解答】解：由已知得到 = （ ） （ ）= 2，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC=2 ，所以上式= = ；故选：A【点评】本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积公式的运用，用到了向量垂直的数量积为 0 的性质5 （5 分） （2015 秋
13、 长沙校级月考）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=100，且 5S77S5=70，则 S101等于（ ）A100 B50 C0 D50【分析】由题意可得公差 d 的方程，解得 d 值代入等差数列的求和公式计算可得【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，又 a1=100，5S 77S5=5（ 700+ d）7（ 500+ d）=70 ，解得 d=2，S 101=101（100）+ 2=0，故选：C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，求出公差是解决问题的关键，属基础题6 （5 分） （2015 万州区模拟）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A B C D【分析】
14、几何体是三棱锥，结合直观图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图：其中 SO平面 ABC，O 为 BC 的中点，BAAC，BA= ，AC=1，SO=1，几何体的体积 V= 11= 故选：A【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量是解题的关键7 （5 分）该试题已被管理员删除8 （5 分） （2014 安徽）x、y 满足约束条件 ，若 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（ ）A 或1 B2 或 C2 或 1 D2 或1【分析】作出不等式组对应的平面区
15、域，利用目标函数的几何意义，得到直线 y=ax+z 斜率的变化，从而求出 a 的取值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC） 由 z=yax 得 y=ax+z，即直线的截距最大，z 也最大若 a=0，此时 y=z，此时，目标函数只在 A 处取得最大值，不满足条件，若 a0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a0，要使 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y=ax+z 与直线 2xy+2=0 平行，此时 a=2，若 a0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a0，要使 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y=ax+z 与直线 x+y2=0，平行，此时
16、 a=1，综上 a=1 或 a=2，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对 a 进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义9 （5 分） （2015 秋 长沙校级月考）在区间 1，1上随机取一个数 x，使 sin 的值介于 0 到 之间的概率为（ ）A B C D【分析】求出 0sin 的解集，根据几何概型的概率公式，即可求出对应的概率【解答】解：当1x1，则 ，由 0sin ，0 ，即 0x ，则 sin 的值介于 0 到 之间的概率 P= = ，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据三角函
17、数的性质求出对应的 x 的取值范围是解决本题的关键10 （5 分） （2013 莱城区校级模拟）函数 f（x）=Asin（x+） （其中 A0，| ）的图象如图所示，为了得到 g（x）=sin2x 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度【分析】由条件根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：由函数 f（x）=Asin（ x+） （其中 A0，| ）的图象可得 A=1， = = ，求得 =2再根据五点法作图可得 2 +=，求得 = ，故 f（x）=sin（2x+ ）=sin2（x+
18、 ） 故把 f（x）的图象向右平移 个单位长度，可得 g（x）=sin2x 的图象，故选：A【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题11 （5 分） （2015 甘肃二模）已知抛物线 y2=2px（p0）与双曲线 =1（a0，b0）有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为（ ）A +2 B +1 C +1 D +1【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出 A 的坐标，将 A 代入抛物线方程求出双曲线的三参数 a，b，c 的关系，则双曲线的渐近线的斜率可求【解答】解：抛物线的焦点坐标为（ ，0） ；双曲线
19、的焦点坐标为（c，0） ，p=2c，点 A 是两曲线的一个交点，且 AFx 轴，将 x=c 代入双曲线方程得到A（c， ） ，将 A 的坐标代入抛物线方程得到 =2pc，即 4a4+4a2b2b4=0解得 ， ，解得： 故选：D【点评】本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系及由双曲线方程求双曲线的离心率，是中档题12 （5 分） （2016 春 佛山校级期末）设集合 ， ，函数 ，若 x0A，且 ，则 x0 的取值范围是（ ）A （ B （ C D （ ）【分析】利用当 x0A 时，f f （x 0）+1 0， ） ，列出不等式，解出 x0 的取值范围【解答】解：1x 0
20、 ，f（x 0）+1=x 0 +1 ，2 B，ff（x 0）+1=2（2f（x 0）1）=21（x 0 ）=2（ x0） ，02（ x0） ， x 0 又1x 0 ， x 0 故选：D【点评】本题考查求函数值的方法，以及不等式的解法，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上.13 （5 分） （2015 秋 长沙校级月考）若复数 z= （aR） ，i 是虚数单位）是纯虚数，则 a= 1 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数 z= = = 是纯虚数， ，解得 a=1故答案为：1【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义，属于基础题14 （5 分） （2015 秋 长沙校级月考）三棱锥 PABC 的四个顶点都在半径为 5 的球面上，底面 ABC 所在的小圆面积为 16，则该三棱锥的高的最大值为 8
