1、湖南省长郡中学 2015 届高三第五次月考数学（文）试题【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。【题文】一、选择题：本大题共
2、 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1设全集 U=1，2 ，3，4，5，集合 A=1，3，5，集合 B=3，4，则（ B=)UAA3 B4C3，4 D2，3，4【知识点】集合的补集以及交集 A1【答案】B【解析】解析：因为 ，所以 故选择 B.2,4UCA4UCA【思路点拨】由补集定义以及交集定义可求得.【题文】2在复平面内，复数 3 -4i，i （2+i ）对应的点分别为 A、B，则线段 AB 的中点 C 对应的复数为A- 2+21 B2- 21C-l 十 i Dl-i【知识点】复数的坐标 L4【答案】D【解析】解析：因为 ，所
3、以中点为 ，即对应的复数为 ，故选择 D.3,41,2A1,1i【思路点拨】根据复数 ，对应的点为 ，以及中点坐标公式可求得.abiab【题文】3 “m0） ，则机器人在坐标平面上先面向 x 轴正方向行走,248m距离 m，接着原地逆时针旋转 90再面向 y 轴正方向行走距离 ，这样就完成一次操作机器2 48m人的安全活动区域是： 开始时机器人在函数 图象上的点 P 处且面向 x，轴正方向，6xyR()xf经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点 Q 处，且点 Q 恰好也在函数 图象上，则向量()f的坐标是 . .PQ【知识点】指数函数综合题 基本不等式 B6 E8 【答案】 【解析】解析：由
4、题意可设 ，则 Q 为 在安全区域，又356（ ， ）0()2xP， 0 2()xm，因为 ，60002xmxmx0048148(m 整理可得：62148（ ）又因为 ，又因为 当 成立时等号取到m26.416m2m00 ()()3, 35xxPQP， ， （ ， ）故答案为 .56（ ， ）【思路点拨】先将点 P、Q 设出，根据两点均在安全区域内可得到 x0+m6，然后根据题中所给关系，找到对应等式由基本不等式可确定其值【题文】三、觯答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】16 （本小题满分 12 分）设函数 =mn ，其中向量 m=（2cos x
5、，1） ，n=（cos x， sin 2x） ，xR ()fx 3（1）求 的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知 ABC 的面积为 ，求()2,1fAb32的值sinBC【知识点】三角函数 正余弦定理 C4 C8 【答案】 （1） ， ；（2 ） .2,63kkZ2sinbcBC【解析】解析：（1）2cosii16fxx所以函数 的最小正周期为fx令322.6kkZ解得 6x所以函数的单调递减区间为2,63kkZ（2 ）由 且 ，可得2fA0A又因为 解得13sin12ABCSbcc2c所以在 中，由余弦定理可得： ，2os3abA所以
6、 ，由正弦定理可得： ，所以3asinB,ciC2insbcBC【思路点拨】根据已知后化简可得 即可得周期以及单调区间；因为 ，2i16fxx 2fA所以 ，由面积公式得 ，由余弦定理可得 ，进而结合正弦定理可得.3Ac3a【题文】17 （本小题满分 12 分）某小区在一次对 20 岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了 100 份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：（1 ）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？并说明原因（2 ）据了解到，全小区节能意识强的人共有 350 人，估计这 350 人中，年龄大于 50 岁的有多少人？（3 ）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽
7、5 人，再从这 5 人中任取 2 人，求恰有 1 人年龄在 20 至50 岁的概率 【知识点】用样本的频率分布估计总体分布 分层抽样方法 等可能事件的概率 I2 I1 K1【答案】 （1）节能意识强弱与年龄有关；（ 2）280；(3) .5【解析】解析：（1）因为 20 至 50 岁的 54 人有 9 人节能意识强，大于 50 岁的 46 人有 36 人节能意识强，与 相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关95436（2 ）由数据可估计在节能意识强的人中，年龄大于 50 岁的概率约为 ，3645年龄大于 50 岁的约有 (人)3650284（3 ）抽取节能意识强的 5 人中，年龄在 20 至 5
8、0 岁的 （人） ，9514年龄大于 50 岁的 5-1=4 人，记这 5 人分别为 1234aB， ， ， ， 从这 5 人中任取 2 人，共有 10 种不同取法：1 3412aaB（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ，3142234BBB（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ,（ ， ） ， （ ， ） ，设 A 表示随机事件“ 这 5 人中任取 2 人，恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁”，则 A 中的基本事件有 4 种： 1234aa（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ）故所求概率为05P 【思路点拨】 （1）利用独立性检验的基本思想，只要在每个年龄段计算它们节能意识强的概率，若差距较大说明与年龄有关，也可利用 的值的大小来直观判断；（2）先利用统计数据计算在节能意识强adbc的人中，年龄大于 50 岁的概率，再由总体乘以概率即可得总体中年龄大于 50 岁的有多少人；（3）先确
