1、Chap1 数列的极限1. 设 及 ,用 语言, 证明: . 证 01,2nx limnxaNlimnxa, . (1) 当a时, 那么 , 下证 .li0nxli0nx, 则存在 , 当 时, .0N2n, 此即 .nxnx. (2) lim当 时, , 存在 , 当 时, .0a0Nnnxa.nnnxax.limn综上两方面 ,即证 .2. 已知 , 用 语言, 证明: .linxaN3limnxa证 (1) 当 时, 那么 , , 存在 , 当 时, ;0li0nx0Nn2nx, 此即 .3nx33lina(2) 当 时 , 因为a.222 223 3333 3104nnnxa令 , ,
2、 则对 ,存在 , 当 时,有234Mlimna0Nn.nxa而 3223nxa1nxaM.3limn3. (算术平均收敛公式) 设 .令 , 求证: .limnxa12nnxx limna证法 1 由施笃兹公式 12limlinnx12121linnnxx .linxa证法 2 由 , 则 , 存在 , 使当 时, 有m01N1n. nxa11121n Nnxaxxaxa 令 , 那么11Nc. 2 12nxxcan存在 , 使当 时, 有 . 再202令 , 故当 时, 由,有1maxNN.12 122nn.1lilinxa4. (几何平均收敛公式) 设 . 且 . 证明: .01,n l
3、imnxa12linnxa证 , .limnxalilx再由算术平均收敛公式可知.12lnlnl12liixxannee5. 证明: , 其中 .na证 令 ,则 , 依伯努利不等式, 有10,11nna即 .1na要 ,只要 .所以, 有 .取 ,则当1nna1an1aN时, 就有 , 即 .N1na6. 证明: 若 , 则 . 当且仅当 为何值时逆命题也成立.limnalina证 由题设 , 知 , , 当 时, 皆有0Nn.n从而当 时总有nN,nnaa所以 .lim当且仅当 时,逆命题也成立.0a7. 设 , 且 ,用 语言, 证明: .R1Nli0na证 当 时, 有 2n(由二项展
4、开式得)2211na要使 ,2a只需 .21n即若取 , 则当 时, 就有21NaN,21na所以 . 数列 , , 是无穷小序列.lim0nanR8. 利用单调有界性证明: 设 , , 且 , 10xa1yb1nnxy. . 则 .12nnyxy1,2 limlinnxy证 , 是显然的.由0,1 12nnyxy得 ,nnx.1nnyy知 单调增加 , 单调减少 , 又nxn, ,1nxy1nx所以 , 有界. 即 , 存在.nxylimAliB对 两边取极限,得12n.129. 证明: 数列 单调增加 , 数列 单调减少 ,两者收敛于同一极限.1n1n证 记 , ,由平均值不等式nnx1n
5、y,1212nnaa 知 ,1n nx x ,21 1nn ny y即 单调增加 , 单调减少, 且xny.114nxy所以 , 单调有界, 必定收敛 .由 ,知它们有相同的极限.即nxyn.11limlinnne10. 证明: 若 . 则数列 收敛.1ln2a na证 由上例知 , 两边取对数得 ,1e, 1lnln即有不等式 .1l则 1ln1lna,l01ln2na31l+l1l0即 单调减少有下界 , 所以 收敛.nana11. 设数列 满足: , , .证明: 数列 收敛, 并求x012x,3 nx.limn证 , , .01x123412x用数学归纳法可证 212,0,nn .1nn由式知 即 单调递增.10,x nx再由式知 , 收敛.设 , 则 .2nnlima1, 两边取极限有: .1nx2, 又 .2a0a, 即 .2alim2nx12. 设 , , , .证明: 数列 收敛, 并求其极01a1nnxa12,3 nx限.证 先用数学归纳法证明, 0nxaN当 时, 结论成立 , 归纳假设结论对 成立, 再证 时, 因为1n1,212nn nxa. 即式成立 .10nxa.2n单调递增, 且有上界. 存在. 设为 . 由,nxlimnxlinxb12nnxa两边取极限得 2ba由式及 单调递增, 显然 , 由式解得 .nx0ba.limna
