1、经典例题透析类型一：复数的有关概念例 1已知复数 ，试求实数 a 分别取什么值时，2276(56)(1azaiaRz 分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.思路点拨：根据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的 a 值.解析：（1）当 z 为实数时，有 ，2560a16aa或当 时，z 为实数.（2）当 z 为虚数时，有 ，25601a1616aa且 且当 a（，1）（1，1）（1，6）（6，+）时，z 为虚数.（3）当 z 为纯虚数时，有250761a16aa且不存在实数 a 使 z 为纯虚数.总结升华：由于 aR，所以复数 z
2、 的实部与虚部分为 与 .2761a256a求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；求解第（3）小题时，既要考虑实数为 0（当然也要考虑分母不为 0） ，还需虚部不为0，两者缺一不可.举一反三：【变式 1】设复数 z=a+bi（a、bR），则 z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）Aa=0 Ba=0 且 b0 Ca0 且 b=0 Da0 且 b0【答案】A；由纯虚数概念可知：a=0 且 b0 是复数 z=a+bi（a、bR）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况
3、，应选择 A.【变式 2】若复数 是纯虚数，则实数 的值为（ ）2(3)(1aaiA.1 B.2 C.1 或 2 D.-1【答案】B； 是纯虚数， 且 ，即()(i230a1a.2a【变式 3】如果复数 是实数，则实数 m=（ ）2()1miiA1 B1 C D 2【答案】B； 【变式 4】求当实数 取何值时，复数 分别是：22()(3)zmmi（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.【答案】（1）当 即 或 时，复数 为实数；20m12z（2）当 即 且 时，复数 为虚数；3m（3）当 即 时，复数 为纯虚数.0221z类型二：复数的代数形式的四则运算例 2. 计算：（1） ； (2)()
4、niN8(1)i(3) ; (4)21iii432解析：(1) ， ， ，2i32ii421i同理可得：当 时，41()nkN414()kkiii当 时， ，42()nkN4221kii当 时，333当 时， ，()k44()kkii11243ni Nik（ ， ）（ ， ）（ ， ）（ ， ） ()n(2) 8()i24()()16iii(3) 11i22)()4345iiii(4) i432)(43ii27()ii2851.i总结升华：熟练运用常见结论：1） 的“周期性” （ ）ninN2） 2()i3） 2)abab举一反三：【变式 1】计算：（1）(56i)+(2i)(3+4i)（2）
5、 ()34(2)ii（3） 210（4） ； 3322()ii【答案】（1）(56i)+(2i)(3+4i)=(52)+(61)i(3+4i)=(37i)(3+4i)=(33)+(74)i=11i.（2） (1)34(2)1)(247iiii（3） 210051621 （4）33222()()()()2()4iiiiiii 214i【变式 2】复数 ( )1iA. B. C. D.444ii【答案】A； 2 214ii【变式 3】复数 等于( )13-iA. i B. -i C. D. i3-i【答案】A； ，故选 A1-3-(3)ii【变式 4】复数 等于( )1iA.8 B.8 C.8i
6、D.8i【答案】D； .333()()(28iiii类型三：复数相等的充要条件例 3、已知 x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x1)+(3y)i=yi，求 x、y.思路点拨：因 xR，y 是纯虚数，所以可设 y=bi（bR 且 b0） ，代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：y 是纯虚数，可设 y=bi（bR，且 b0） ，则(2x1)+(3y)i(2x1)+(3bi )i（2x1+b）+3i，yi =bii=（b1）i由(2x1)+(3y)i=yi 得（2x1+b）+3i=（b1）i，由复数相等的充要条件得 ，4210332bxbx ， .32x4yi总结升华：
7、1. 复数定义：“形如 （ ）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成zabi,R这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法.2复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数 a+bi 与c+di（a，b，c，dR）相等的充要条件是 a=c 且 b=d，可得到两个实数等式.3.注意左式中的 3y 并非是(2x1)+(3y)i 的虚部，同样，在右边的 yi 中 y 也并非是实部.举一反三：【变式 1】设 x、y 为实数，且 5_1-21-3xyxyii， 则【答案】由 得51-23i()()(13)0i即 5x(1+i
8、)+2y(1+2i)=5(1+3i)，即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0，故 5-0-1415xyxy,解 得【变式 2】若 zC 且(3+z)i=1(i 为虚数单位)，则 z=_.【答案】设 z=a+bi(a,bR)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1 由复数相等的充要条件得 b=-1 且 a=-3，即 z=-3-i.【变式 3】设复数 满足 ，则 （ ）z12izA B C D2ii2i【答案】 ，故选 C.()ii类型四：共轭复数例 4：求证：复数 z 为实数的充要条件是 z思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析：设 （a，bR） ，则biabi充分
9、性： -0;zi zR必要性： ,0Rz综上，复数 z 为实数的充要条件为举一反三：【变式 1】 ，复数 与复数 的共轭复数相等，求,xyR(32)5xyi(2)18yix，y.【答案】 (2)18()ii3218-218-3)5-5xyxyixyi【变式 2】若复数 z 同时满足 ， （i 为虚数单位） ，则 z=_.ziz【答案】1+i【变式 3】已知复数 z=1+i，求实数 a、b 使 .22()zaz【答案】z=1+i， ，2()()zi2()()4azi4aia、b 都是实数，由 得22()zbaz2,4().a两式相加，整理得 a2+6a+8=0解得 a1=2，a 2=4，对应得
10、b1=1，b 2=2.所求实数为 a=2，b=1 或 a=4，b=2.类型五：复数的模的概念例 5、已知数 z 满足 z+|z|=2+8i，求复数 z.法一：设 z=a+bi（a，bR），则 ，2|zab代入方程得 .28bii ，解得2815bz=15+8i法二：原式可化为：z=2|z|+8i，|z|R，2|z|是 z 的实部.于是 ，即|z| 2=684|z|+|z| 2，2|(|)8z|z|=17，代入 z=2-|z|+8i得 z=15+8i.举一反三：【变式】已知 z=1+i，a，b 为实数.（1）若 ，求 ；234z|（2）若 ，求 a，b 的值.21i【答案】（1） 2()3()4
11、ii2341ii |（2）22(1)()1zabiiab()(2)ibabai ()i 21ab类型六：复数的几何意义例 6、已知复数 （mR）在复平面上对应的点为22(3)(43)zmmiZ，求实数 m 取什么值时，点 Z（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.思路点拨：根据点 Z 的位置确定复数 z 实部与虚部取值情况.解析：（1）点 Z 在实轴上，即复数 z 为实数，由 2-4301m或当 时，点 Z 在实轴上.1m或（2）点 Z 在虚轴上，即复数 z 为纯虚数或 0，故 30-3或当 时，点 Z 在虚轴上.-1或3）点 Z 在第一象限，即复数 z 的实部虚部均大于 0由 ，解
12、得 m1 或 m32304m当 m1 或 m3 时，点 Z 在第一象限.终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：【变式 1】在复平面内，复数 对应的点位于（ ）sin2cozA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】 ， ， ，故相应的点在第四象限，选 D.2si0cs【变式 2】已知复数 ( )，若 所对应的点在第四象2(35)1zmimRz限，求 的取值范围.m【答案】 2()(zi ，解得 .0)1(532 1 的取值范围为 .m(,)【变式 3】已知 是复数， 和 均为实数，且复数 对应的点在第一z2ziiz2()zai象限，求实数 的取值范围.a【答案】设 ( )， ，zxyi,R()zixyi由题意得 ，2，11()(2)(4)55zixixii 由题意得 ，4 2zi ，2()(1)8()aai根据已知条件有 ，解得 ，40()26a实数 的取值范围是 .a,6a【变式 4】已知复数 z 对应的点在第一象限的角平分线上，求复数 在复平面1z上对应的点的轨迹方程.【答案】设 z=a+ai（a0）则 111()()2ziaiia令 ，消 a 得 x2y 2=2（ ）.21xy
