1、数列极限中的典型例题,2014.4.30,一. 不定式求极限( , ),斯铎兹定理1( 型） 设数列 趋于零，数列 单调减趋于零，则当 lim +1 +1 存在或为+时, lim 也存在或为+，且lim = lim +1 +1,方法：罗比塔法则(LHospital)(连续情形) 斯铎兹定理(Stolz)(离散情形),斯铎兹定理2( 型） 设数列 单调增加且 lim =+.如果 lim +1 +1 存在或为+时， lim 也存在或为+，且lim = lim +1 +1 ,例1 设 (,), + = ( ),=,证明 =1.,0 +1 = 1 1, =1,2,证明 由 1 (0,1)及 2 = 1
2、 (1 1 ),知 2 0,1 。用数学归纳法可以证明 0,1 ,=1,2,.于是,lim =0,所以数列 单调减且有下界，因此 lim =存在。在递推公式 + = ( )两边令取极限得，=(1),所以,取 = 1 , =1,2,则,例2 设 =, = ,=,证明 =1.,lim = lim = lim +1 +1 = lim (1 )=1.,lim =+，且 +1 ,=1,2,.利用斯铎兹定理2，有.,利用斯铎兹定理2，有,证明 由 0 得 1 , 和 lim = lim 1 ，所以 =0.,lim 2 = lim 1 2 = lim +1 1 +1 2 1 2,= lim = 2 2 2
3、2 = lim 0 2 2 2 2 =3 (罗比塔法则),因此， lim 3 =1 .,例3 设级数 = 收敛, 为单调增加的正数列,且 =+, 证明 + + =0,证明 令 = + + ， =1,2,，及 lim =.则, 1 = 1 ， = 1 ,=1,2,，,于是,其中， = 1 1 2 + 2 2 3 + 1 1 . 由 lim =及斯铎兹定理2有,lim = lim +1 +1 = lim ( +1 ) +1 =,= 1 1 2 + 2 2 3 + 1 1 + = + , 1 1 + 2 2 + = 1 1 + 2 ( 2 1 )+ ( 1 ) ,lim 1 1 + 2 2 + =
4、lim + =0.,所以,例4 设给定数列 使得数列 = + + ,=, 是收敛的,如果 , 证明数列 收敛,并求极限 .,证明 由于 p |q|，所以, +0, 0.记 lim =. 做数列 和 如下:, = + , = , =1,2,在记= , 则得 +1 = + , =1,2,。因为 lim =0, +1 = + = +( 1 + 1 ),= + 1 + 2 2 + 1 1 + 1,= ( 1 ) + 1 ( 1 ) 1 + 1 1 1 + 1 ( 1 ) ,| +1 | | | | 1 | + | 1 | 1 1 + | 1 | 1 |+ | 1 | | 1 | ,由斯铎兹定理lim
5、| | | 1 | + | 1 | 1 1 + | 1 | 1 |+ | 1 | | 1 | = lim | +1 | | 1 | +1 | 1 | +1 | 1 | =0,于是,所以lim = + lim = + .,二. 利用递推关系求极限,例5 设()满足: (1) +, ; (2) , , , . 设 , , 定义序列 : + = =, 证明 = 存在,且= .,如果存在 0 , , 0 , ,且 0 0 ,使得 0 = 0 , 0 = 0 则由条件(2) 知,证明 首先由条件(2)知，()在,上连续，并且至少存在一点,使得 =.,下面证明满足上式的是唯一的。, 0 0 = 0 0 0
6、 0 0 0 矛盾。所以满足 =的 是唯一的。,因为, +1 = () , =1,2,于是 +1 2 1 | 1 |,而01,所以lim =.,例6 设, =, 定义 = = ( ) =, 求 .,证明 首先证明对一切,ln( )有意义。,当=1时， S 1 =0,从而 ln 1 = 2 有意义。设对=1,2,ln( )均有意义，由于对0, 不等式ln1恒成立，因此有 +1 = ln 1, =2,3,.,由此得，S +1 1, =2,3, .,从而得，ln(S +1 ) ln +1 =0, =2,3, .,由此可知对一切, ln(S )有意义，并且 ln(S )0， =3,4,.所以数列 单调
7、不减且有上界，所以 lim 存在，设 lim =。,由 +1 = +ln(S )两边取极限有， =+ln(),因此得，lim =1,例7 证明：从每个收敛的序列中，都可以选出一个子列，使得其各项为一个绝对收敛级数的部分和序列。,三. 利用数列的构造和性质求极限,证明：设数列 收敛, 且 lim =。依次取 满足 1 2 ,+ 1 2 , =2,3, 及 1 2 ,则 1 + =2 ( 1 ) 即为满足的级数。这是因为,| 1 | | + | 1 1 2 + 1 2 1 = 3 2 1 2 1 .,例8 设 = , =! ,=,.证明：数列 与 收敛。,证明 显然， , =1,2,.下面证明这两
8、个数列均单调。因为 +1 = +1 1 12 +1 (1),及 +1 = (1+ 1 ) + 1 2 1= + 1 2 ln 1+ 1 1 (2),当 1时，我们有 1+ 1 =2(+ 1 3 3 + 1 5 5 +),于是有,ln 1+ 1 = ln 1+ 1 2+1 1 1 2+1 =2( 1 2+1 + 1 3 ( 1 2+1 ) 3 + 1 5 ( 1 2+1 ) 5 +),上式两边同乘以(+ 1 2 )得：,1(+ 1 2 )ln 1+ 1 =1+ 1 3 ( 1 2+1 ) 2 + 1 5 ( 1 2+1 ) 4 +,1+ 1 3 ( 1 2+1 ) 2 + 1 3 ( 1 2+1
9、 ) 4 +=1+ 1 12 +1 (3),由(2)和(3)可得： +1 = + 1 2 ln 1+ 1 10,因此，数列 单调递减。,由(1)和(3)可得： +1 = +1 1 12 +1 = + 1 2 ln 1+ 1 1 1 12 +1 0,即数列 单调递增。因此数列 与 收敛，显然它们有相同的极限。,作业,1. 设 = +1 ,=1,2,数列 满足： (1) 1 =0; (2) +1 0 +1 = ,=1,2,. 求极限 lim .,2. 设()满足: (1) +, ; (2) , , , . 设 1 , , 定义序列 :, +1 = 1 2 + =1,2, 证明 lim = 存在,且= .,3. 设 = 1 2 =0 ,求 lim .,
