极限经典例题

1、求极限的常用方法典型例题掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有(1) 利用极限的四则运算法则；(2) 利用两个重要极限；(3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量） ；(4) 利用连续函数的定义。例 求下列极限：（1） （2）xx3sin9lim0 1)sin(lm21x（3） （4）x10)2(li 2)si(colixx（5） eli0x解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即xx3sin9lim0= )si(3in9)i(li0xx= i1li3sinl00xx= 216（2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即)1(sinlm1)sin(l121 xxxliil11xx2（。

2、导数及其应用（1）P 在曲线 上移动，在点 P 处的切线的倾斜 角 为 ， 则 的取 值范围是_（2）直线 是曲线 的一条切线,则实数 的值为_（3）已知函数 （ 为常数）图象上 处的切线与 的夹角为 ，则 点的横坐标为_（4）曲线 在点 处的切线方程是_（5）已知函数 ，又导函数 的图象与 轴交于 。求 的值；求过点 的曲线 的切线方程（6）已知函数 的导数为 ，则 _（7）函数 的导数为_（8）若对任意 ， ，则 是_（9）函数 ，其中 为实数，当 时，的单调性是_（10）设 函数 在 上单调函数，则实数 的取值范围_（11）已知函数 为常数）在区间 上单调。

3、1、一个圆柱形蓄水池，直径 10 米，深 2 米。（1） 这个蓄水池的占地面积是多少？（2） 在池的一周及池底抹上水泥，抹水泥的面积是多少？（3）一共需要挖出多少立方米的土？2、做十节长 2 米，直径 8 厘米的圆柱形铁皮烟囱，需要铁皮多少平方米？3.压路机的滚筒是圆柱体，它的长是 2 米，滚筒横截面的半径是 0.6 米。如果每分转动 12 周，（1）1 小时可以压多大的路面？（2）压路机前进了多少米？4、把两个底面直径都是 4 厘米、长都是 3 分米圆柱形钢材焊接成一个大的圆柱形钢材，焊接成的圆柱形钢材的表面积比原来两个小圆柱形钢材的表。

4、Matlab 参考试题主文件 main.mclear;while 1fprintf(请输入你要调用的文件的序号.n);fprintf(0:退出程序n );fprintf(1: :绘制n);fprintf(2:一组数据n);fprintf(3:设计一个n)fprintf(4:编写 m 程序n)a=input( );while (a4|a70Hz 的频率，计算功率谱，显示滤波前后的原始数据波形以及频谱。function t3()fid=fopen(testdat.txt,r);signal,number=fscanf(fid,%f,501);fclose(fid);t=0:0.002:1;b,a=butter(8,0.2,high);signal_y=filter(b,a,signal);subplot(2,1,1);plot(t,s。

5、1一、知识点梳理复习（一）热机1、定义：将燃料燃烧时释放的内能转化为机械能的机器统称为热机。2、内能的两种应用：一是利用内能来加热物体，如：烧水做饭；二是利用内能来做功，如：水开了，水壶内的水蒸气将壶盖顶起来，这一过程中，是水蒸气的内能转化为壶盖的机械能。其中利用内能来加热物体是能量的转移过程，而利用内能来做功是能量的转化过程。3、热机的种类热机是把内能转化为机械能的机器。热机的种类很多。例如蒸汽机、内燃机、汽轮机、喷气发动机等。尽管它们构造不同，但它们有一个共同的特点就是：把内能转化为机械能。初中。

6、经典例题透析类型一：复数的有关概念例 1已知复数 ，试求实数 a 分别取什么值时，2276(56)(1azaiaRz 分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.思路点拨：根据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的 a 值.解析：（1）当 z 为实数时，有 ，2560a16aa或当 时，z 为实数.（2）当 z 为虚数时，有 ，25601a1616aa且 且当 a（，1）（1，1）（1，6）（6，+）时，z 为虚数.（3）当 z 为纯虚数时，有250761a16aa且不存在实数 a 使 z 为纯虚数.总结升华：由于 aR，所以复数 z 的实部与虚。

7、如何正确认识液体压强公式 gh静止液体内部压强的特点是： 液体内部向各个方向都有压强； 压强随深度的增加而增大； 在同一深度，液体向各个方向的压强都相等； 液体的压强还跟液体的密度有关。液体内部的压强之所以有以上特点，是因为液体受到重力且具有流动性。正是由于液体受到重力作用，因此在液体内部就存在着由于本身重力而引起的压强。推理和实验都可得出，液体内部的压强公式为 。gh公式 的物理意义：gh 是液体的压强公式，由公式可知，液体内部的压强只与液体的密度、gh液体深度有关，而与所取的面积、液体的体积、液体的总重无关。

8、（一）计算1已知矩形的对角线长为 1，两条相邻边之和为 m，求矩形的面积解析：依题设画出示意图，由矩形性质：又 由 有 评述 1 矩形作为特殊的平行四边形其最特殊之处在于 4 个内角均为 90，稍加连结，则会出现 Rt ，借助勾股定理，矩形中只要知道一些条件、面积、边长等皆可计算评述 2 此处兼顾考查了整式运算技巧，这里算法误区是没有考虑整体计算 ，而去解方程组2在矩形 ABCD 中，AE BD 于 E，CF BD 于 F，BE=1 ，EF=2，求矩形面积解析：依题设画出图形，对照图形确认题设条件似乎计算面积的条件不具备，怎么办？深入挖矩形性质，矩形。

9、Chap1 数列的极限1. 设 及 ,用 语言, 证明: . 证 01,2nx limnxaNlimnxa, . (1) 当a时, 那么 , 下证 .li0nxli0nx, 则存在 , 当 时, .0N2n, 此即 .nxnx. (2) lim当 时, , 存在 , 当 时, .0a0Nnnxa.nnnxax.limn综上两方面 ,即证 .2. 已知 , 用 语言, 证明: .linxaN3limnxa证 (1) 当 时, 那么 , , 存在 , 当 时, ;0li0nx0Nn2nx, 此即 .3nx33lina(2) 当 时 , 因为a.222 223 3333 3104nnnxa令 , , 则对 ,存在 , 当 时,有234Mlimna0Nn.nxa而 3223nxa1nxaM.3limn3. (算术平均收敛公式) 设 .令 , 求证: .limnxa12nnxx。

10、 WORD 格式.可编辑 技术资料分享 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例 1 123limxx解：原式= 。43)213)(lim)23)(li 11 xxx注：本题也可以用洛比达法则。例 2 )(limnn解：原式= 。23121lim12(li nnn 分 子 分 母 同 除 以例 3 解：原式 。nn32)1(lim 1)32(li3nn上 下 同 除 以WORD 格式.可编辑 技术资料分享 3两个重要极限（1） 1sinlm0x（2） ； exx0)(li exx)1(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 例如： ， ， ；等等。13sinlm0xx exx210)(li exx3)1(li利用两个重要极限求极限例 。

11、11定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：； 5)13(lim2x（2）在后面求极限时， （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2极限运算法则定理 1 已知 ， 都存在，极限值分别为 A，B，则下面)(limxf)(lixg极限都存在，且有（1） Af)(（2） BAxgf)(li（3）)0,)(lim成 立此 时 需 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。2. 利用。

12、18.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例 1 123limxx解：原式= 。43)213)(lim)23)(li 11 xxx注：本题也可以用洛比达法则。例 2 )12(limnn解：原式= 。23121lim(li nnn 分 子 分 母 同 除 以2例 3 解：原式 。nn32)1(lim 1)32(lim3nn上 下 同 除 以3两个重要极限（1） 1sinlm0x（2） ； exx10)(li exx)1(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 例如： ， ， ；等等。13sinlm0xx exx210)(li exx3)1(lim利用两个重要极限求极限例 5 解：原式= 。203cos1limxx 61)2(sinlm32sinl 200 xxxx注：。

13、1求极限的各种方法1约去零因子求极限例 1：求极限 1lim4x【说明】 表明 无限接近，但 ，所以 这一零因子可以约去。与 1xx【解】 =46)(li1)()(li 2121 xxx2分子分母同除求极限例 2：求极限 13lim2x【说明】 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】 3li13li12xxx【注】(1) 一般分子分母同除 的最高次方；(2) nmbaxbanmmnnx 0li13分子(母) 有理化求极限例 3：求极限 )13(li22xx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 13)(lim)(lim222222 xxx013li22x例 4：求极限 30sintalixx【解】 xxx。

14、1极限计算方法总结高等数学是理工科院校最重要的基础课之一，极限是高等数学的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到高等数学后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1定义：（各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述） 。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如： ；)。

15、数列极限中的典型例题,2014.4.30,一. 不定式求极限( , ),斯铎兹定理1( 型） 设数列 趋于零，数列 单调减趋于零，则当 lim +1 +1 存在或为+时, lim 也存在或为+，且lim = lim +1 +1,方法：罗比塔法则(LHospital)(连续情形) 斯铎兹定理(Stolz)(离散情形),斯铎兹定理2( 型） 设数列 单调增加且 lim =+.如果 lim +1 +1 存在或为+时， lim 也存在或为+，且lim = lim +1 。

16、第 1-7节 数列极限的例题 和习题 下面的例题和习题都是数列极限理论中的著名习题，初学者能够完全读懂其中例题的证明是不容易的，能够独立完成后面那些习题就更不容易 .因此，你可以先粗读一下 (因为不管你读懂多少，都暂时不会影响到你学习微积分 )，有兴趣的读者等有空时或假期中再去细读它 .读一读它，你会在做题方法上受到严格的训练 . 称一个数列 ),2,1( nxn 为 无穷小量 ，即 lim 0nn x ，用“ N ”说法，就是它满足条件： 任意给定正数 ，都有对应的正整数 )(NN ，当 Nn 时， |nx . 称一个数列 ),2,1( nxn 为 无穷大量 ，即 limnn 。

17、三、数列的极限观察数列 当 时的变化趋势. )1(n问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定?nx通过上面演示实验的观察:当 无限增大时, 无限接近于 1. nnn1)(问题: “无限接近 ”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 1nxn1)(给定 由 只要 时, 有,0,00,10nx给定 只要 时, 有11,1nx给定 只要 时, 有,n给定 只要 时, 有 成立. 0)(Nnx定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正整数 , 使得对于N时的一切 , 不等式 都成立, 那末就称常数 是数列 的极限, 或者称Nnnxan anx数列 收敛于 , 记为a或,limxn).(nn如。

18、例题 1在数列a n中，a 1=1，当 n2 时，a n，S n， 成等比数列。（1）求 a2，a 3，a 4；（2）猜想 an 的表达式并用数学归纳法证明；（3）求 ；（4） （思考题）不使用猜想 an 的表达式并用数学归纳法证明的方法直接求 an。1解析：a n，S n， 成等比数列， （n2） （*）（1）把 a1=1，S 2=a1+a2=1+a2 代入（*）式得：把 a1=1， ， 代入（*）得： 。同理可得：由此可以推出：（2） （i）当 n=1，2，3，4 时，由（*）知猜想成立。（ii）假设 n=k（k2）时， 成立。故 或 （舍去）由 得即 n=k+1 时，命题也成立。由（i） （ii）可知， 对一切nN 。