1、第 3 节 图形的相似及位似基础过关一、精心选一选1(2014凉山州)如果两个相似多边形面积的比为 15，则它们的相似比为( D )A125 B15 C12.5 D1 52(2014玉林)ABC 与ABC是位似图形，且ABC 与ABC 的相似比是12，已知ABC 的面积是 3，则ABC 的面积是( D )A3 B6 C9 D123(2014河北)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为 3，4，5 的三角形按图的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新
2、矩形与原矩形不相似对于两人的观点，下列说法正确的是( A )A两人都对 B两人都不对C甲对，乙不对 D甲不对，乙对4(2014武汉)如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A(6，6) ，B(8，2)，以原点 O为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为( 12A )A(3，3) B(4，3) C(3，1) D(4 ，1)5(2014宁波)如图，梯形 ABCD 中，ADBC，B ACD90，AB2， DC 3，则ABC 与 DCA 的面积比为( C )A23 B25 C49 D. 2 36(2013上海)如图，在ABC 中，点 D，E ，F 分别
3、是 AB，AC，BC 上的点，DEBC ，EF AB，且 ADDB35，那么 CFCB 等于( A )A58 B38 C35 D257(2014南通)如图，ABC 中，ABAC18，BC12，正方形 DEFG 的顶点E，F 在 ABC 内，顶点 D，G 分别在 AB，AC 上，AD AG ，DG6，则点 F 到 BC 的距离为( D )A1 B2C12 6 D6 62 28(2014泸州)如图，在直角梯形 ABCD 中，DCAB，DAB90，ACBC ，ACBC ，ABC 的平分线分别交 AD，AC 于点 E，F ，则 的值是( C )BFEFA. 1 B22 2C. 1 D.2 2二、细心填
4、一填9(2014邵阳)如图，在ABCD 中，F 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延长线相交于点 E， BPDF，且与 AD 相交于点 P，请从图中找出一组相似的三角形：_答案不唯一，如：ABP AED_,第 9 题图) ,第 10 题图)10(2014娄底)如图，小明用长为 3 m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB12 m，则旗杆 AB 的高为_9_m.11(2013乌鲁木齐)如图，ABGHCD，点 H 在 BC 上，AC 与 BD 交于点G，AB 2，CD3，则 GH 的长为_ _65,第 11 题图) ,第 12 题图)1
5、2(2013黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是_ _BEEC 3313如图，已知 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PAPB，若 S1 表示 PA 为一边的正方形的面积，S 2 表示长是 AB，宽为 PB 的矩形的面积， 则 S1_S 2.(填“” “”或“”),第 13 题图) ,第 14 题图)14(2013泰州)如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 的坐标分别为(3 ，0)，(2，3)，ABO是ABO 关于 A 的位似图形，且 O的坐标为( 1，0)，则点 B的坐标为_( ， 4) _5315(2014遵义)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五
6、里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自九章算术 ，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙 AB 长 9 里 ，南边城墙 AD 长 7 里，东门点 E，南门点 F 分别是AB，AD 的中点，EGAB， FHAD，EG15 里，HG 经过 A 点，则 FH_1.05_里三、用心做一做16(2013南宁)如图，ABC 三个定点坐标分别为 A( 1，3) ，B(1，1)，C(3，2) (1)请画出ABC 关于 y 轴对称的 A 1B1C1；(2)以原点 O 为位似中心 ，将 A 1B1C1 放大为原来的 2 倍 ，得到A 2B2C2，请在第三象限内画出A 2B2C2，并求出 SA 1B1C1
7、SA 2B2C2 的值解：(1)图略 (2) 图略，S A 1B1C1S A 2B2C21417(2013陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度如图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立时身高 AM 与其影子长 AE 正好相等；接着李明沿 AC 方向继续向前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段AB，并测得 AB1.25 m已知李明直立时的身高为 1.75 m，求路灯的高度 CD 的长(精确到 0.1 m)解：设 CD 长为 x m，AM EC，CDEC，BNEC ，EAMA，MACD，BNCD，ECCDx，ABNACD， ，即 ，解得
8、x6.1256.1，路灯高 CDBNCD ABAC 1.75x 1.25x 1.75约为 6.1 m18(2013广东)如图，矩形 ABCD 中，以对角线 BD 为一边构造一个矩形 BDEF，使得另一边 EF 过原矩形的顶点 C.(1)设 RtCBD 的面积为 S1，Rt BFC 的面积为 S2，Rt DCE 的面积为 S3, 则S1_S 2 S3；(用“”“”或“”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明解：(2)BCF DBCCDE；选BCFCDE，证明：在矩形 ABCD 中，BCD90且点 C 在边 EF 上，BCF DCE90 ，在矩形 BDEF 中，FE 90 ，
9、在 Rt BCF 中，CBF BCF 90 ，CBFDCE，BCFCDE19(2013莆田)定义：如图，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC2BCAB，则称点 C为线段 AB 的黄金分割点如图，ABC 中，AB AC 1，A36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D.(1)求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点；(2)求出线段 AD 的长解：(1)A 36，AB AC，ABCACB72 ，BD 平分ABC，CBDABD36，BDC72，AD BD，BCBD，ABCBDC， ， 即 ，AD 2ACCD，点 D 是线段 AC 的黄金分BDAB CDBC ADAC CDAD割点(2)点 D 是线
10、段 AC 的黄金分割点，AD AC5 12 5 1220(2013泰安)如图，四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ADCACB90，E 为 AB 的中点(1)求证：AC 2 ABAD；(2)求证：CEAD ；(3)若 AD4，AB 6，求 的值ACAF解：(1)由ABCACD 得 AC2ABAD (2)E 点为 RtABC 斜边 AB 的中点，EC ABAE，ECAEAC，可得DACECA，CEAD (3) 由 CEAD12得ECFDAF， ，EC AB3， ，即 ， ECAD CFAF 12 CFAF 34 AC AFAF 34 ACAF 7421(2014自贡)阅读理解：如图，在四边形
11、 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 不与 A，B 重合)，分别连接ED，EC ，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的“相似点” ；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的 “强相似点” 解决问题：(1)如图，AB DEC 45，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由；(2)如图，在矩形 ABCD 中 ，A ，B，C ，D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图中画出矩形 ABCD
12、的边 AB 上的强相似点；(3)如图，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处，若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 与 BC 的数量关系解：(1)A B DEC 45，AED ADE135，AED CEB135，ADECEB，ADE BEC，点 E 是四边形ABCD 的边 AB 上的相似点 (2)如图，点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点(3)点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，AEMBCEECM， BCE ECMAEM. 由折叠可知ECMDCM，ECMDCM，CE CD，BCE B
13、CD30，BE CE AB.在13 12 12Rt BCE 中，tanBCE tan30 ， BEBC 33 ABBC 233挑战技能22(2013东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3，4 及 x，那么 x 的值( B )A只有 1 个 B可以有 2 个C可以有 3 个 D有无数个23(2014泰州)如图，A，B，C，D 依次为一条直线上 4 个点，BC2，BCE 为等边三角形，O 过 A，D，E 三点，且AOD120.设 ABx，CDy，则 y 与 x 的函数关系式为_y (x0)_4x24(2014咸宁)如图，在ABC 中，ABAC
14、10，点 D 是边 BC 上一动点(不与B，C 重合) ，ADEB ，DE 交 AC 于点 E，且 cos .下列结论：ADE45ACD；当 BD6 时，ABD 与DCE 全等；DCE 为直角三角形时，BD 为 8 或 ；2520CE6.4.其中正确的是 _.(把你认为正确结论的序号都填上)25(2014玉林)如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上的任一点，连接 AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90得到线段 MN，在 CD 边上取点 P 使 CPBM，连接NP， BP.(1)求证：四边形 BMNP 是平行四边形；(2)线段 MN 与 CD 交于点 Q，连接 AQ，若MC
15、Q AMQ ，则 BM 与 MC 存在怎样的数量关系？请说明理由解：(1)在正方形 ABCD 中， ABBC ，ABC C ，由 SAS 可证ABMBCP，AMBP，BAMCBP，BAMAMB90，CBPAMB 90， AMBP，将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90得到线段MN， AM MN，且 AM MN，MNBP ，BPMN ，四边形 BMNP 是平行四边形 (2)BMMC. 理由如下： BAMAMB90，AMBCMQ90，BAM CMQ，又 ABMC 90，ABM MCQ， ，ABMC AMMQMCQAMQ，AMQ ABM， ， ，BM MCABBMAMMQ ABMC ABBM26(2
16、014黄石)AD 是ABC 的中线，将 BC 边所在直线绕点 D 顺时针旋转 角，交边 AB 于点 M， 交射线 AC 于点 N，设 AMxAB，ANyAC(x，y0)(1)如图，当ABC 为等边三角形且 30时证明： AMNDMA；(2)如图，证明： 2.1x 1y解：(1)在AMD 中，MAD 30，ADM60，AMD90，在AMN中，AMN90，MAN60，AMNDMA(2)作 CFAB 交 MN 于点 F，则CFNAMN， ，又可证CFDNCNA CFAMBMD，BMCF， ， ，xy2xAN ACAN BMAMAB AMAM yAC ACyAC AB xABxABy， 21x 1y2
17、7(2014武汉)如图，RtABC 中，ACB90，AC 6 cm，BC 8 cm，动点 P从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒(0 t 2) ，连接 PQ.(1)若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值；(2)连接 AQ，CP，若 AQCP，求 t 的值解：(1)当BPQBAC 时， ，BP5t ，QC4t，AB10 cm，BC8 BPBA BQBCcm， ，t1； 当BPQ BCA 时，5t10 8 4t8 ， ，t ，t1 或 时，BPQ 与ABC 相似 (2) 过 P 作BPBC BQBA 5t8 8 4t10 3241 3241PM BC 于点 M，设 AQ，CP 交于点 N，则有PB5t， PM 3t，MC 8 4t，NACNCA 90，PCMNCA 90，NAC PCM 且ACQPMC90，ACQ CMP， ， ，解得 tACCM CQMP 68 4t 4t3t 78
