1、随机变量概念的引入,为全面研究随机试验的结果，,揭示随机现象的统,计规律性，,需将随机试验的结果数量化，,即将其,与实数对应起来.,1.,在有些随机试验中，,试验的结果本身就由数,量来表示.,例如，,在抛掷一颗骰子，,观察其出,现的点数的试验中，,试验的结果就可分别由数,1, 2, 3, 4, 5, 6,来表示；,又如，,在测度灯泡寿命的试验中，,每一个灯泡,实数.,随机变量概念的引入,实数.,2.,在另一些随机试验中，,试验结果看起来与,数量无关，,但可以指定一个数量来表示之.,例如，,在抛掷一枚硬币观察其出现的正面或反,面的试验中，,若规定“出现正面”对应数1，,现反面”对应数1，,则该试
2、验的每一种可能结,果，,都有唯一确定的实数与之对应；,又如，,在,将一枚硬币抛掷三次，,出现情况的试验中，,若我们关心的是出现正面,“出,随机变量概念的引入,出现情况的试验中，,若我们关心的是出现正面,的总次数，,而不在乎出现H、T的排列顺序，,都有,唯一确定的实数与之对应.,即,完,随机变量的定义,4,1、随机变量：对于随机试验的每一个可能结果w (样本点) ,都有唯一的实数X(w)与之对应，则称X(w)是一个随机变量，简记为R. V. X 注意： (1)随机变量X(w)实质是函数， X(w)取值是值 域 (2)实验结果是随机的， X(w)取值也是随机 (3)实验的各个结果的出现有一定概率，
3、 X(w)取值有一定概率,离散型,连续型,取值为有限个和至多可列个的随机变量.,可以取区间内一切值的随机变量.,、分类,随机变量的定义,随机变量与高等数学中函数的比较：,(1),它们都是实值函数，,但前者在试验前只知,道它可能取值的范围，,而不能预先肯定它将取,哪个值；,(2),因试验结果的出现具有一定的概率，,故前者,取每个值和每个确定范围内的值,率.,完,也有一定的概,例 1,在抛掷一枚硬币进行打赌时,若规定出现,正面时抛掷者赢 1元钱,出现反面时输 1元钱,则,其样本空间为,正面,反面,记赢钱数为随机变量,实值函数定义为,的,正面,反面,.,完,例2,在将一枚硬币抛掷三次,出现情况的试验
4、中,其样本空间,易见,故,为随机变量,例2,在将一枚硬币抛掷三次,出现情况的试验中,其样本空间,易见,故,为随机变量,类似地有,完,例3,在测试灯泡寿命的试验中,每一个灯泡的实,际使用寿命,若用,表示灯泡的寿命(小时),上的函数,即,是随机变量.,间,完,引入随机变量的意义,随机变量的引入，,使得随机试验中的各种事件,可通过随机变量的关系表达出来.,例如，,事件：,收到不少于20次呼叫,收到恰好为10次呼叫,由此可见，,随机事件这个概念实际上是包容在,随机变量这个更广的概念.,也可以说，,随机事件,是从静态的观点来研究随机现象，,而随机变量则,引入随机变量的意义,是从静态的观点来研究随机现象，
5、,而随机变量则,以动态的观点来研究之.,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事,件.,引入随机变量后，,对随机现象统计规律的研,究，,使人们可利用数学分析的方法对随机试验,结果进行广泛而深入的研究.,随机变量因其取值方式的不同，,离散型随机变量,连续型随机变量,后面将分别进行讲述.,完,通常分为两类：,1.,离散型随机变量及其概率分布,设离散型随机变量,的所有可能取值为,称,也称概率函数.,离散型随机变量及其概率分布,离散型随机变量,如果它全部可能的取值,只有有限个或可数无穷个，,型随机变量.,对每个取值,的一个事件，,为描述随机变量,还需要知道,这些事件发生的可能性（概率）.,定义,称,
6、离散型随机变量,定义,称,也称概率函数.,由概率的定义，,必然满足：,(1),(2),完,例1设某项试验的成功率是失败率的2倍，试用一个随机变量描述该项一次试验的结果,求分布列。,2/3,1/3,P,1,0,X,解:设X为一次试验的成功次数,15,由已知条件求随机变量分布列的例题,例、袋中有只同样大小的球，编号为、从中同时取出只球，以X表示取出的球的最大号码，求X的概率分布.,6/10,3/10,1/10,P,5,4,3,X,解:设X取出的球的最大号码,例3设一试验成功的概率为p(0p1),接连重复进行 试验,直到首次成功出现为止,求试验次数的概率分布.,解 设X表示试验次数,X取值为1,2,
7、.,n,.,PX=1=p, PX=2=(1-p)p, ., PX=n=(1-p)n-1p.,记 q=1-p, 则X的概率分布为:,几何分布,PX=n=qn-1p, (n=1,2,.),16,例4一袋中有5个新球，3个旧球。每次从中任取一个，有下述两种方式进行抽样，X表示直到取得新球为止所进行的抽样次数：（1）不放回地抽取；（2）有放回地抽取。求X的分布列。,几何分布,17,例5,某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9,求他两,解,可取 0, 1, 2 为值,且,于是,的概率分布可表示为,完,例6,试确定常数,解,依据概率分布的性质：,欲使上述函数为概率分布应有,从中解得,例6,试确定常数,欲使上
8、述函数为概率分布应有,从中解得,注:,这里用到了常见的幂级数展开式,完,解,关于分布律的说明,则可以求得所生成的任何事件概率，,一般地，若,是一个区间，,则,例如，,特别地，,关于分布律的说明,例如，,则,完,内容小结,2.,常用离散型分布,退化分布与两点分布,个点上均匀分布,二项分布,二项分布的泊松近似,几何分布,超几何分布,泊松分布,完,退化分布,定义,注：,在所有分布中，,最简单的分布是退化分布，,其之所以称为退化分布，,是因为其取值几乎是,确定的，,即这样的随机变量退化成了一个确定,的常数.,完,即,两点分布,定义,且其分布为,特别地，,的两点分布，,即,习惯上常,两点分布,习惯上常,
9、记,对于一个随机试验，,若它的样本,空间只包含两个元素，,即,变量,，,来描述这个随机试验的结果.,例如，,抛掷硬币,两点分布,，,来描述这个随机试验的结果.,例如，,抛掷硬币,试验，,检查产品的质量是否合格，,某工厂的电力,消耗是否超过负荷等.,完,个点上的均匀分布,定义,且取每一个值的可能性相同，,即,分布.,注：,可将古典概型与均匀分布联系起来.,在古,典概型中，,且,每个结果出现的可能性相同.,设,则,个点上的均匀分布,每个结果出现的可能性相同.,设,则,则,如，,设,表示投掷一枚骰子出现的点数，,其样本空间,令,且,完,二项分布,设每次试验中事件,发生的概率为,能取值为,且对每个,事
10、,件,的k次”，,根据伯努利型，有,(1),定义,给出，,二项分布,定义,给出，,记为,易见，,二项分布的图形特点,注：,(1)式化为,此时，,完,二项分布的图形特点,在图1和图2中，,分别给出了当,从图易,看出：,概率,先是随之增加直至达到最大值，,随后,二项分布的图形特点,二项概率,大值.,注：,完,单调减少.,可以证明，,一般的二项分布的图形也具有这一,性质，,二项概率,先是随之增加直至达到最大值，,随后,例7,已知 100 个产品中有 5 个次品,现从中有放回,地取 3 次,每次任取 1 个,求在所取的 3 个中恰有,2 个次品的概率.,解,因为这是有放回地取 3 次,因此这 3 次试
11、验的,条件完全相同且独立,它是伯努利试验,依题意,每次试验取到次品的概率为 0.05.,则,于是,所求概率为:,例7,已知 100 个产品中有 5 个次品,现从中有放回,地取 3 次,每次任取 1 个,求在所取的 3 个中恰有,2 个次品的概率.,解,于是,所求概率为:,注:,若将本例中的 “有放回” 改为 “无放回”,各次试验条件就不同了,那么,已不是伯努利概型,此时,只能用古典概型求解.,完,例8,某人进行射击,设每次射击的命中率为 0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.,解,将一次射击看成是一次试验.,设击中的次数为,则,的分布律为,于是所求概率为,例8,某人进行射击,设每
12、次射击的命中率为 0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.,解,将一次射击看成是一次试验.,的分布律为,于是所求概率为,完,例9,设有 80 台同类型设备,各台工作是相互独立,的,发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障,能由一个人处理.,考虑两种配备维修工人的方法,其一是由 4 人维护,每人负责 20 台;,其二是由 3人,共同维护 80 台.,试比较这两种方法在设备发生故,障时,解,按第一种方法.,以,记“第 1 人维护的 20 台,中同一时刻发生故障的台数”,以,表示,修”,则知 80台中发生故障不能及时维修的概率为,不能及时维修的概率的大小.,解,按第一种方法.,以,
13、记“第 1 人维护的 20 台,中同一时刻发生故障的台数”,以,表示,修”,则知 80台中发生故障不能及时维修的概率为,而,故有,解,即,按第二种方法.,的台数.,此时,故 80 台中发生故障,而不能及时维修的概率为,结果表明,在后一种情况尽管任务重了,维护约 27 台),但工作效率不仅没有降低,反而提,高了.,(每人平均,完,几何分布,在独立重复试验中，,显然,的可能取值是全体自然数，,且由伯努利定理,知其分布为,(1),几何数列,定义,几何分布具有以下列无记忆性：,(2),几何分布,几何分布具有以下列无记忆性：,(2),事实上，,而,同理,代入即证得(2)式.,几何分布,代入即证得(2)式
14、.,注：,所谓无记忆性，,意指几何分布对过去的,次失败的信息,进一步还可证明：,一个取自然数值的随机变,量，,若具有(2)式表达的无记忆性，,定服从几何分布，,故无记忆性是几何分布的,一个特性.,完,在后面的计算中被遗忘了.,例10,某射手连续向一目标射击,直到命中为止,知他每发命中的概率是,概率分布.,解,显然,可能取的值是,为计算,则,已,例10,某射手连续向一目标射击,直到命中为止,知他每发命中的概率是,概率分布.,解,则,已,完,超几何分布,引例,白球，,个黑球,从中不放回,球的数目，,(1),这里规定：,定义,超几何分布,定义,注：,在上述引例中，,若每次取球后是放回的，,则该问题服
15、从二项分布.,在实际应用，,很大，,时，,通常将不放回抽取近似当作有放回抽取问,题来处理，,故可用二项分布来近似超几何分布，,即,当,超几何分布,即,更进一步有：,且,有,注：,超几何分布常用于对一大批产品进行不放,回抽样检测.,完,分布列,X的含义：N个元素中，A类元素有N1个，n次无放回的抽样中A出现的次数,3与二项分布的关系,例设某种灯泡的使用寿命超过千小时的为一等品，一等品率为.，现随机地抽取个灯泡试求抽取的个灯泡中，至少有个一等品的概率,近似,49,泊松分布,定义,记为,或,泊松分布的图形,特征如右图所示.,注：,历史上，,泊松,分布是作为二,项分布的近似，,于1837年由法国数学家
16、泊松引入的.,泊松分布,项分布的近似，,于1837年由法国数学家泊松引入的.,注：,历史上，,泊松,分布是作为二,泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一.,实际问题中许多随机现象服从或近似泊松分布.,泊松分布产生的一般条件,完,泊松分布产生的一般条件,在自然界和现实生活中，,常遇到在随机时刻出,现的某种事件.,把在随机时刻相继出现的事件,所形成的序列称为随机事件流.,若随机事件流,具有平稳性、无后效性、普通性，,则称该事件,流为泊松事件流(泊松流).,这里，,平稳性在任意时间区间内，,的概率只依赖于区间长度而与区间端,点无关.,无后效性在不相重叠的时间段内，,事件的发,生相互独立.,泊松分布产
17、生的一般条件,无后效性在不相重叠的时间段内，,事件的发,生相互独立.,普通性,如果时间区间充分小，,事件出现两次,或两次以上的概率可忽略不计.,下列事件都可视为泊松流：,某电话交换台一定时间内收到的用户的呼叫数；,到某机场降落的飞机数；,某售票窗口接待的顾客数；,一纺锭在某一时段内发生断头的次数；,泊松分布产生的一般条件,到某机场降落的飞机数；,某售票窗口接待的顾客数；,一纺锭在某一时段内发生断头的次数；,对泊松流，,事件发,称为,泊松流的强度.,完,例11设随机变量X服从泊松分布，PX=1=PX=2， 求PX=4,例12设随机变量X服从泊松分布，且PX=0=1/2 求（） （） PX,55,
18、例13 假设每个粮仓内有老鼠的数目服从泊松分布。据统计资料，一个粮仓内有老鼠与无老鼠的概率相等，试求下列事件的概率： (1)一个粮仓内仅有一只老鼠的概率 (2)四个粮仓中,仅有一只老鼠的粮仓数目不超过一个的概率解:设X:一个粮仓内的老鼠数,XP (),56,例14,某一城市每天发生火灾的次数,服从参数,的泊松分布,求该城市一天内发生 3 次,或 3 次以上火灾的概率.,解,由概率的性质,得,完,二项分布的泊松近似,对二项分布,计,算其概率很麻烦.,例如，,要计算,故须寻求近似计算方法.,这里先介绍二项分布的,泊松近似，,在本章第四节中还将介绍二项分布的,的正态近似.,泊松定理,二项分布的泊松近
19、似,泊松定理,每次试验中发生的概率为,为常数),则有,注：,(i)：,必定很小.,因此，,泊松定理表明，,很小时有下列近似公式：,二项分布的泊松近似,很小时有下列近似公式：,实际计算中，,时近似效果变很好.,(ii),把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀,有事件，,此类事件如：,地震、火山爆发、特大洪,水、意外事故等，,则由泊松定理知，,重伯努利试,验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,完,例15,某公司生产一种产品 300 件,根据历史生产记,录知废品率为 0.01,问现在这 300 件产品经检验,品数大于 5 的概率是多少?,解,把每件产品的检验看作一次伯努利试验,它有,两个结果:
20、,正品,废品.,检验 300 件产,品,出的废品数,则,我们要计算,有,于是,得,对,废,就是作 300 次独立的伯努利试验.,解,我们要计算,有,于是,得,对,查泊松分布表,得,完,例16,一家商店采用科学管理,由该商店过去的销,售记录知道,某种商品每月的销售数,的泊松分布来描述,为了以 95%以上的把,握保证不脱销,问商店在月底至少应进该种商品,多少件?,解,设该商品每月的销售数为,的泊松分布.,设商店在月底应进该种商品,件,即,可以用参数,解,设该商品每月的销售数为,的泊松分布.,设商店在月底应进该种商品,件,即,查泊松分布表,得,完,例17：一汽车站，每天都有大量汽车通过，设每辆汽车在一天中某一段时间内发生事故的概率为0.0001。在某天该段时间内有1000辆汽车通过。求发生事故的次数X2的概率。,近似,0-1分布,二项分布,超几何分布,.泊松分布,正态分布,65,
