1、概率密度及其性质 指数分布 均匀分布 正态分布与标准正态分布,4 连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布（第八讲）,一、连续型随机变量的概念与性质,1) 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有,则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数,简称密度函数.,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,前两个条件是概率密度的充分必要条件,即,若不计高阶无穷小，有,4连续型随机变量的概率密度
2、,第二章 随机变量及其分布,注 意,连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机 变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！,连续型随机变量的一个重要特点：,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,连续型随机变量的分布函数是连续的!,说 明, 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,此公式非常重要！,例1:设离散型随机变量X的分布函数为,求:(1)a,b的值,(2)X的密度函数,解:(1)由于连续型随机变量的的分布函数为连续型随机函数,因此
3、有,因此有,(2),连续型随机变量的密度函数在某些点上的取值并不会影响整个随机变量的分布。,例 2,设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解： 由密度函数的性质,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 3(同书上P51例2.26),某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.,解：设 A= 某元件在使用的前 150 小时内需要更换,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 3（续）,检验 5 个元件的使用寿
4、命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验 设 Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时 的元 件数，,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,故所求概率为,例 4,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 4（续）,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 4（续）,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 4（续）,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,二、一些常用的连续型随机变量,记作 X U a , b,说 明, 类似地，我们可以定义,4连续型随机
5、变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,均匀分布的概率背景,X,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,均匀分布的分布函数,a,b,x,F (x),0,1,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 5,设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率 解：设该乘客于7时 X 分到达此站,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 5（续）,令：B= 候车时间不超过5分钟 ,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 6,4连续型随机变量
6、的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 6（续）,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,2)指 数 分 布,如果随机变量 X 的密度函数为,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,指数分布的分布函数,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,指数分布是关于寿命和随机服务系统中等候时间一类随机变量的概率模型.,例 7,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 7（续）,令：B= 等待时间为1020分钟 ,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,指数分布具有无记忆性:即,3)正 态 分 布,x,f (x),0,4连续型随机变
7、量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,标准正态分布,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,密度函数的验证,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,密度函数的验证(续),4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,密度函数的验证(续),4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,密度函数的验证(续),4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,密度函数的验证(续),4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,密度函数的验证(续),4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,正态分布密度函数的图形性质,x,f (x)
8、,0,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,正态分布密度函数的图形性质（续）,3连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,x,f (x),0,正态分布密度函数的图形性质（续）,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,x,f (x),0,正态分布密度函数的图形性质（续）,x,f (x),0,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,正态分布的重要性,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下 情形加以说明：, 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之 一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布 的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的
9、影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则 该随机指标一定服从或近似服从正态分布, 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的, 正态分布可以作为许多分布的近似分布,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,标准正态分布的计算：,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,标准正态分布的计算（续）,x,0,x,-x,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,一般正态分布的计算,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,一般正态分布的计算（续）,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,该公式给出了一般正态分布分布函数值的求法,例 8,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例9,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例10:,解:,例11:设某城市成年男子的身高 .问(1)应如何设计公共汽车的车门的高度,使男子与车门顶碰撞的机会小于0.01,(2)若车门高为180.5cm,求100个成年男子与车门顶碰撞的人数不多于2个的概率.,解(1)由题 设公共汽车的顶高设计为h,要求h满足,(2),
