1、- 1 -2.1 随机变量为了定量地研究随机现象的统计规律性，需要随机现象的结果量化表示，随机变量概念的引入可使我们对随机现象的研究有了统一而有力的工具，而不是孤立地讨论个别事件及其概率。关于随机变量及其概率分布的研究就成为了概率论的中心内容。一 随机变量的概念上一章中曾经提过“用来表示随机现象结果的变量称为随机变量” 。那么如何表示随机现象的结果呢？一方面我们希望试验的结果量化表示；另一方面对于一个具体的试验，我们所关注的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量是由试验的结果决定的即是试验结果的函数。例如，在抛一枚硬币试验中，那么样本空间为 正面朝上，反面朝上 ，我们可将试验结果
2、用数量表示，比如用 1 表示结果“正面朝上” ，用 0 表示结果“反面朝上” 。这就引入一个随机变量：上X,1又如，考虑试验：将一颗骰子抛两次，我们关注于两次点数之和，如用 表示两次点数之和，那么 是定义在样本空间X上的函数6,21,:)(jiX再如，从一批产品中抽检 件，我们往往关注于这其中有多少件次n品，而不关心哪件是次品哪件是正品。如用 表示次品件数，那么X是一个随机变量。它就是要研究的对象。X- 2 -由此可见，随机变量其实就是定义在样本空间上的函数，之所以称为“随机变量” ，一方面,它的取值随机会（即试验结果）而定；另一方面随机变量总伴随一个分布（用以刻划他取值的概率规律） ，这也我
3、们要讨论的中心内容。下面给出随机变量的定义定义 定义在样本空间上的实值函数 称为随机变量。常用大)(X写字母 等表示。ZYX,随机变量依其可能取的值的全体的性质可区分为两大类。一类叫离散型随机变量，其特征是它的所有可能取的值只有有限个或可列个。不属于离散型随机变量的我们叫做非离散型随机变量，在这类随机变量中最常用的一类是连续型随机变量。在引入了随机变量后，我们可用随机变量情况表示随机事件。比如，在一颗骰子抛两次的试验，事件“两次点数之和为 6”， “两次点数之和至少为 6”可分别表示为 和 。6X一般地，若 是某些实数组成的集合，则 表示如下事件BBX)(:X注：细心的同学至此可能会觉察出一些
4、问题。在给定了样本空间及事件域 后， 作为样本空间的子集未必属于事件域，F)(:BX即 未必是事件。在有了随机变量后，结果)(:BX ,(xX（ 是任意实数）常常是我们要关注的事件，为求其概率，x首先必须 。因此随机变量的严格定义如下。定义 设F)(:为概率空间， 为定义在样本空间上的实值函数，若),PF（)(X对任意实数 ，都有x- 3 -FxX)(:则称 为随机变量，简记为 。由此定义可以看出样本空间上X的实值函数并不都是随机变量。这些都是理论上的要求，但在实际问题中，我们可把“随机会取值的变量”叫做随机变量。二 随机变量的分布函数。有了随机变量后，随机事件可用随机变量表示，如果知道了随机
5、变量取各种值的概率，那么我们可求出所关注的事件的概率。比如设表示掷两次骰子的点数之和，如知道了 取各个可能值的概率，那X X不仅能求出诸如事件“两次点数之和至少为 6”的概率，还对这一随机试验的统计规律性完全掌握了。由此可见，研究随机变量，不只是看它能取哪些值，更重要的是它取各种值的概率规律如何。即要研究它的概率分布。下面的概念“分布函数”就是用以刻划随机变量的概率分布的一个工具。定义 设 是一个随机变量，对任意实数 ，称函数Xx)()xPxF为随机变量 的分布函数。由此定义，在给定任一实数 ，分布函数值 等于随机变量 的x)(xFX取值落入无穷区间 上的概率。因此也有叫做“累积分布函数”,(
6、的。分布函数是一个定义在 上的实值的函数，有其特定的性质，),(下面列举分布函数的的三条基本性质。定理 任一分布函数 具有如下三条基本性质：)(xF- 4 -（1） 单调性 是定义在 上的单调不减函数，即对)(xF),(任意实数 ，有 。2121xF（2） 有界性 对任意实数 ，有 。并且1)(0， 。0)(lim)(xFx lim)(xx（3） 右连续性 是右连续函数，即对任意实数 ，有x。)(0(x以上三条基本性质是分布函数必须具备的，反过来，任一满足以上三条基本性质的函数一定可以是某随机变量的分布函数。因此这三条基本性质是判别一个函数是否是分布函数的充要条件。例 下列函数中，哪些是分布函
7、数？（1） 0,1)(xeF（2） ,1)(2x（3） F)(2（4） 0,1,)(xex有了分布函数 后，就可以很方便地求出有关随机变量 的各)(F X件事件的概率，比如，对任意实数 ，有ba，)()(abXaP，1F，)0()(，abXaP- 5 -，)0(1)(bFXP等等。由此可见，分布函数确实刻画了随机变量取值的概率分布规律。例 设随机变量 的分布函数为X0,21)(xBeAxF（1） 求 的值以及 的取值范围；（2） 若 为连续函数，求 ， 。)(xF)1(XP)1|(三 离散型随机变量。对于离散型随机变量，常用分布列来刻画其概率分布情况。定义 设 是离散型随机变量，其所有可能取值
8、为 ，X ,21ix则称 ,21,)(ipxPi为 的分布列。X分布列常用如下的表格表示： 1x2ixP pip分布列的基本性质。（1） 非负性 ，0i ,21i（2） 正则性 。1ip例 掷两颗骰子， 表示两颗骰子的点数之和，X（1）求 的分布列；- 6 -（2）求点数之和至少为 8 的概率.例 将 2 个球随机地放入 3 个盒子中， 表示某指定的盒子中球的个X数，求 的分布列及分布函数。X从上面例题可以看出离散型随机变量的分布函数的特点：离散型随机变量 的分布函数是阶梯型函数，在 的每个可能值 有一个上升Xix的台阶，台阶的高度正是概率 。这一特点反过来也对，iipxP)(即一个阶梯型的分
9、布函数一定是一个离散型随机变量的分布函数，并且可以确定该离散型随机变量的分布列。例 的分布函数为X2,10,.)(xbaF且 ，求 的分布列。3.0)(XPX四 连续型随机变量及其概率密度。如果一个随机变量的全部可能取值不仅是无穷多，而且充满一个区间，这样的随机变量的概率分布不能用分布列的形式表示（当然可以用分布函数来刻画其概率分布） 。比如考虑称量一物体重量时的误差 ，那么 是个与离散型随机变量有本质区别的随机变量，它的取X值可以认为充满一个区间甚至充满 ，对这样的随机变量，我们),(往往不关注它取一个特定值的概率（假设称量是“无限精细” ， “误差恰好与 丝毫不差”虽原则上不能排除，但可能
10、性极微小以至只1568.0能为 0） ，而关注误差在一定范围内的概率。联想到许多学科中有关“密度”的概念（如物理学中的质量分布密度的概念） ，如果测量误- 7 -差落在一个区间内的概率等于某个非负函数在此区间上的积分，那么这个函数可刻画了随机变量的概率分布。这个函数称为概率密度，这样的随机变量叫做连续型随机变量。于是引入下面定义。定义 设随机变量 的分布函数为 ，如果存在一个非负可积函X)(xF数 ，使得对任意实数 ，有)(xpxxdtF)(则称 为连续型随机变量，称 为 的概率密度函数，简称概率密X)(xpX度或分布密度或密度。连续型随机变量的密度函数 具有以下二条基本性质：)(x（1） 非
11、负性 ，0)(xp（2） 正则性 。1d若一个函数 满足上述二条基本性质，则它一定可以是某连续)(x型随机变量的密度函数。因此这二条基本性质是判别一个函数是否是密度函数的充要条件。比如 elsxxp,0,2in)(是密度函数。而 elsxxp,0,in)(不是密度函数。一个连续型随机变量 一定伴随着一个概率密度 ，并且 的X)(xpX分布函数在任一 处的函数值 等于概率密度 在无穷),(x)(xF区间 上的积分。由此可看出连续型随机变量 有以下特点。,(X- 8 -（1） 的取值充满一个区间或多个区间的并甚至整个实数域X。),(（2） 的分布函数 是 上的连续函数。)(xF),由这一特点可知，
12、连续型随机变量 取任何一个值（或可数个值）X的概率均为零，即对任意 ，有),(x0)(xXP这一特点说明了一个事实：不可能事件的概率为零，但概率为零的事件未必是不可能事件。（3） 对于任意的实数 （ 可以是 ， 可以是 ） ， 落入区babX间 的概率等于其密度函数在此区间上的积分，即,(babadxpXP)()可见，概率 等于以区间 为底，以曲线 为,ba)(xpy曲边的曲边梯形的面积。结合（2） ，可知 )(bXaP)(ba)(bXaP)(baadxp)(可见对于连续型随机变量，在求其落入某区间的概率时，不必区分区间的开、闭。且都等于密度函数在该区间上的积分。考虑 落入点 的一个邻域 内概
13、率Xx)2,(x2),2(xdpP在 在点 连续，且 很小时，有)(xp)(2,xpxX即- 9 -)(/)2,(xpxXP可见，密度函数在点 处的函数值 并不表示 取 的概率)(Xx（事实上 ） ，而是刻画了概率在点 处分布的“密)(x0)(x集程度” ，这也是为什么叫做密度的原因。（4） 由微积分的知识可知，若 在点 连续，则)(xp)(xFp至于在 不可导的点处，密度函数值可任给。这说明密度函数可由分布函数确定。例 设连续型随机变量 的分布函数为X0,0)(2xBeAxF（1）求 的值以及 的取值；（2）求 的概率密度函数X（3）求 ， 。)1(P)1|(例 随机变量 的概率密度为elsxcxp,0,2)2()（1） 求 ；（2） 求 的分布函数；X（3） 若对 进行 3 次独立观察，则事件 至少发生 2 次的概2X率是多少？
