1、2019/9/4,概率论与数理统计,1,第3章 随 机 向 量,3.1 随机向量的联合分布 3.2 边缘分布与随机变量的独立性 3.3 两个随机变量的函数的分布,2019/9/4,概率论与数理统计,2,第3章 随 机 向 量,在有些随机现象中，随机试验的结果不能只用一个随机变量来描述。例如考察射手打靶命中点的位置用到两个随机变量的值来描述命中点的位置；在研究分子运动的速度时，就需要用三个随机变量来刻画速度的三个分量；考察人体健康状况，需要考虑到身高、体重、视力、听力、肺活量、血压等，就要用到更多的随机变量。一般地，把n个随机变量 构成的n元数组叫n维随机向量 。,2019/9/4,概率论与数理
2、统计,3,3.1 随机向量的联合分布,对于二维随机向量(X，Y)，把它当成两个一维随机变量和Y分别研究是不够的，因为X和Y常常不是相互割裂的，而是相互关联的，例如人的身高X和体重Y，两者是关联的。把(X，Y)当成一个整体来研究，则不仅能研究每个分量的性质，还可以考察两个随机变量之间的关系。,2019/9/4,概率论与数理统计,4,3.1.1 联合分布函数,定义 设 是二维随机向量， 是任意实数，则称二元函数 为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数。,2019/9/4,概率论与数理统计,5,联合分布函数的性质,性质1 是变量x或y的不减函数，即对于任意固定的y，当 时， ；对于任意固定的，当 时
3、， 性质2， 且对于任意固定的y，对于任意固定的x， ， 。,2019/9/4,概率论与数理统计,6,联合分布函数的性质,2019/9/4,概率论与数理统计,7,联合分布函数的性质,性质3 关于x右连续，关于也y右连续； 性质4 对于任意 ， ， ，有关于前三条性质，可类同于一维随机变量分布函数的性质去解释。对于第4条性质，不等式的左边就是概率，所以显然成立。,2019/9/4,概率论与数理统计,8,3.1.2 二维离散型随机向量及其联合分布列,如果二维随机向量(X,Y)只能取有限对或者无穷可列对值，则称(X,Y)是离散型随机向量。并称 为二维离散型随机向量(X,Y)的联合分布列或联合概率分布
4、。由概率的性质可知,2019/9/4,概率论与数理统计,9,3.1.3 二维连续型随机向量及其联合密度函数,定义 设 是二维随机向量的分布函数，如果存在一个非负函数f(x,y) ，使对任意实数x,y都有则称为(x,y)二维连续型随机向量，并称函数f(x,y)为(x,y)的联合概率密度函数，简称为联合密度函数。,2019/9/4,概率论与数理统计,10,联合密度函数的基本性质,由定义知道联合密度函数具有以下基本性质： 性质1 性质2 性质3 若f(x,y)在点(x,y)连续，则有性质4 点(x,y)落入区域D中的概率为,2019/9/4,概率论与数理统计,11,联合密度函数的基本性质,例 设随机
5、向量的联合概率密度函数为(1) 求常数K； (2) 计算概率,2019/9/4,概率论与数理统计,12,联合密度函数的基本性质,解 (1) 由密度函数的性质知故有由此求得 K=3 。 (2) 因为f(x,y)在矩形区域 之外恒为零，若记D表示矩形区域中满足 的那部分区域，如下图所示，则,2019/9/4,概率论与数理统计,13,联合密度函数的基本性质,2019/9/4,概率论与数理统计,14,平面区域上的均匀分布,下面介绍两个常用的二维连续型随机向量的分布。 (1) 平面区域上的均匀分布 设D为有界的平面闭区域，其面积为S。若随机向量(X,Y)的概率密度函数为则称(X,Y)服从平面区域D上的均
6、匀分布。,2019/9/4,概率论与数理统计,15,二维正态分布,(2) 二维正态分布 如果二维随机向量(X,Y)的概率密度为其中 都是常数,则称(X,Y)服从二维正态分布,2019/9/4,概率论与数理统计,16,3.2 边缘分布与随机变量的独立性,3.2.1 边缘分布 二维随机向量具有联合分布函数 ，而其分量X和Y都是随机变量，它们也有各自的分布函数，称为二维随机向量关于X的边缘分布函数，而称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数。边缘分布函数可由联合分布函数完全确定。,2019/9/4,概率论与数理统计,17,3.2.1 边缘分布,1离散型随机向量的边缘分布列由二维离散型随机向量(X,Y)的联
7、合分布列 可以完全确定其两个分量和的边缘分布列。,2019/9/4,概率论与数理统计,18,3.2.1 边缘分布,2连续型随机向量的边缘密度函数 设二维连续型随机向量(X,Y)的联合密度函数分别为f(x,y),则(x,y)关于x和y的边缘密度函数分别为对于连续型随机向量，也可由其边缘密度函数出发确定边缘分布函数。,2019/9/4,概率论与数理统计,19,3.2.2 随机变量的独立性,定义 设(X,Y)是二维随机向量，若对任意实数x,y有即 则称随机变量X与Y是相互独立的(简称X与Y独立)。,2019/9/4,概率论与数理统计,20,3.2.2 随机变量的独立性,定理1 设(X,Y)是二维连续
8、型随机向量，则X与Y相互独立的充分必要条件是对任意的实数X,Y有：即X与Y独立的充要条件是联合密度函数等于边缘密度函数之积。,2019/9/4,概率论与数理统计,21,3.2.2 随机变量的独立性,定理2 设(X,Y)是二维离散型随机向量，则X与Y相互独立的充分必要条件是对的所有可能的取值x,y都有,2019/9/4,概率论与数理统计,22,3.3 两个随机变量的函数的分布,在第2章2.5节中，讨论了一个随机变量的函数的分布问题，即已知X的分布，求X的函数 的分布。本节将讨论两个随机变量(二维随机向量)的函数的分布。但只就几个具体的函数举例说明讨论方法。,2019/9/4,概率论与数理统计,2
9、3,连续型情形的举例,1. Z=X+Y的分布 设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，求Z=X+Y的密度函数。 先求Z的分布函数 。 记D表示平面区域 ，如下图所示。,2019/9/4,概率论与数理统计,24,连续型情形的举例,Z的分布函数关于Z求导，则得Z=X+Y的密度函数,2019/9/4,概率论与数理统计,25,连续型情形的举例,2X与Y独立时 和 的分布 设X与Y相互独立，其分布函数分别为 令则的分布函数为 而的分布函数为,2019/9/4,概率论与数理统计,26,连续型情形的举例,当X,Y为连续型变量时，求导则可求得函数概率密度函数。,2019/9/4,概率论与数理统计,27,连续型情形的举例,3一般函数Z=g(x,y)的分布 对连续型随机向量(x,y)，若其联合密度为f(x,y)，则Z=g(x,y)的分布函数为,
