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2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案).pdf

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资源描述

1、2018 年全国高中数学联合竞赛一试 ( A 卷) 1. 设集合 = 1, 2, 3, , 99, = 2| , = |2 ,则 BC中元素个数为 分析: 由题意 = 2| = 1,2,99, = 2| = 1,2,99,则 BC = 2|2 b 0),左右焦点分别为 1, 2,椭圆 C 的弦 ST 与 UV分别平行于 x轴和 y轴,且相交于点 P,已知线段 PU、PS、 PV、 PT 的长分别为 1、 2、 3、 6,则 P12的面积为 分析: 不妨设点 P 在第一象限, 令 P(0,0) 则: 0 = | = = 42 = 2 0 = | = 21 = 1 故点 P 的 坐 标 为P(2,

2、 1) 易得 S(4,1),U(2,2),从而可求得 2 = 20,2 = 5, 则 2 = 15, 所以 12 = 12|12|0 = 15 5. 设 ()是定义在 R 上 以 2 为周期的偶函数,在区间0, 1上严格递减 ,且满足 () = 1,(2) = 2,则不等式组 1 2 1 () 2的解集为 分析: 由题意,可作草图如下: 由图结合对称性得: 1 = 2,2 = 2 4+2(2 6) = 82 所以,由函数单调性,不等式 1 () 2在 1, 2内的解集为 2, 82 6. 设复数 满足 |=1,使得关于 的方程 z2 +2 +2 = 0有实根,则这样的复数 的和为 分析: 令

3、= +,则 = (2 +2 = 1) 则 ( +)2 +2( ) +2 = 0, 整理得: (2 +2 +2)+(2 2) = 0 故 2 +2 +2 = 0(1)2 2 = 0 (2) 由 (2)得: = 0或 = 2, (舍去 = 0) 由 2 +2 = 1 及 (1)式,得: = 0时, = 1, = 2时, a = 14, = 154 所以 = 1或 = 14 154 ,故结果为 -32. 7. 设 为 ABC 的外心,若 = +2 ,则 的值为 分析: 由 = +2 得: 2 = = 记 OB=4,则 AC=2 则 cosAOB = cosCAO =14 在 AOB中, 2 = 16

4、+16216 14 = 24 在 AOC中, cosAOC = 16+164216 = 78 cosBOC = cos(AOC+AOB) = 14 故 2 = 16+16+216 14 = 40 cosBAC = 2+222 = 4+244086 = 64 sinBAC = 104 8. 设整数数列 1,2, 10 满足 10 = 31,2 +8 =25,且 +1 1+,2+, = 1,2,9,则这样的数列的个数为 分析: 由 +1 1+,2+,得 +1 = 1或 2, 不妨令 = +1 ,( = 1,2,9), 且 = 或 2, 由 2 +8 = 25得 5 2 = 8 5 即: 2 +3

5、+4 = 5 +6 +7 不妨令 2, 3, 4中 1 的个数记为 k, 则显然 5, 6, 7中 1 的个数也为 k, 故 2, 3, 4, 5, 6, 7的取法数共有: 30 30 +31 31 +32 32 +33 33 = 20, 而 8, 9无限制条件,可任意 取 1 或 2,故有21 21 = 4种, 又 10 = 31,且 1为整数, 则 21 = 10 1 = 1 +2 +9必为偶数, 故 1取值必为定值(因为 2, , 9已确定) 所以数列 的个数为 204 = 80 即数列 1,2, 10个数为 80. 9. 已知定义在 R+上的函数 ()为 () = |3 1|,0 9,

6、设 ,是三个互不相同的 实数,满足 () = () = (),求 的取值范围 . 分析: 如图,不妨令 ,则由 () = () 得: (3 1)+(3 1) = 0,则 = 9 显然 9 16, 所以 = 9 81,144) 10. 已知实数列 1,2,3,满足:对任意正整数 n,有(2 ) = 1,其中 表示数列有前 n 项和 . 证明: ( 1) 对任意正整数 n,有 2; ( 2) 对任意正整数 n,有 +1 1. 分析: (1)显然 1 = 1 21,当 2时, 由 (2 ) = 1,得 2 12 = 1( 2) 所以 2 = ,得 = 故当 2 时 , = 1 + 1 2 (2) 与

7、 +1异号时结论显然成立, 当 与 +1同号时: 由 (1)得 = , 不妨得: = 1 +1 = +1 +1 = (1)(+1) = 11 1+1+ 11 1+1 = 1 11. 在平面直角坐标系 xoy 中,设 AB 是抛物线 2 = 4的过点 F(1,0)的弦, AOB 的外接圆交抛物线于点 P(不同于点 O, A, B),若 PF 平分 ,求 |PF|的所有可能值 . 分析: 令 A(1,1),B(2,2),P(3,3) 因为 AB 过焦点,不妨令 AB: = +1 由 = +12 = 4 得: 2 4my4 = 0 故 1 +2 = 4, 12 = 4 因为 P、 A、 O、 B 四

8、点共圆,可令圆方程为: 2 +2 + + = 0, 由 2 +2 + + = 02 = 4 , 则: 1164 +(1+ 4)2 + = 0 因为抛物 线与圆有四个交点,则有 316+(1+4) + =116( 1)( 2) ( 3) 由待定系数法可得: 3 = (1 +2) 因为 PF 平分 , 则 | = | = 12即: 116(1232)2+(13)2 116(2232)2+(23)2= 12整理得: (12 22)(14 +1222+24 192) = 0 显然 14 +1222+24 192 = 0 (12 +22) 2 = 208,得 12 +22 = 413 从而 3 2 = (1 +2) 2 = 4138 所以 |= 3 +1 = 143 2 +1 = 131

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