1、2018 年全国高中数学联合竞赛一试试题 （ A 卷） 一 、 填空 题 ：本 大 题共 8 小题 ， 毎小 题 8 分， 满分 64 分 1 设集合 1,2,3,.,99 A ， 2 | B x x A ， | 2 C x x A ， 则BC 的元 素 个数 为 _ _ _ _ _ _ _ 2 设点 P 到平面 的距离为 3 ， 点 O 在平 面 上， 使得 直 线与 所 成角 不 小于 30且不大于 60 ，则这样的点 O 所构 成的 区域 的 面积 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 将 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 随机 排 成一 行 ，记为 a ， b ， c
2、， d ， e ， f ， 则abc def 是偶 数 的 概 率 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 在平面直角坐标系中 ， 椭圆 22 22 1( 0) xy C a b ab ： 的左 右 焦点 分 别为 1 F ， 2 F 椭圆 C 的弦 S T 与 U V 分别平行于 x 轴与 y 轴 ，且 相 交于 P ， 己知 线 段 PU ，PS ，PV ，PT 的长 分 别为 1 ， 2 ， 3 ， 6 ，则 PF 1 F 2 的 面 积为 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5 设 () fx 是定义在 R 上的 以 2 为周 期的 偶 函数 ， 在区 间 0 , 1 上严 格
3、递 减 ，且 满 足 () 1 f ， (2 ) 1 f ，则不等式组 12 1 ( ) 2 x fx 的解集为_ _ _ _ _ _ _ 6 设复数 z 满足 1 z ，使 得 关于 x 的 方程 2 2 2 0 zx zx 有 实裉 ， 则这 样 的复 数 z 的和为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 7 设 O 为 A B C 的外心 ， 若 2 AO AB AC ， 则sin BAC 的值为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 8 设整数数列 1 2 10 , , , a a a 满足 10 1 1 3 5 3 , 2 a a a a a ，且 1 1 ,2 i i i a a a
4、， i =l ， 2 ， ， 9 ， 则 这样的数列的个数为 _ 二 、 解答题 ：本大 题共 3 小题 ， 满分 56 分 解答 应写 出 文字 说 明、 证 明过 程 或演 算 步骤 9 （ 本题满分 16 分 ）己知 定义 在 及 R + 上的 函 数 f x 为 3 | log 1|,0 0 = 4 , 9 xx f x x x ， 设 a, b,c 是三 个互不相同的实数， 满足 ( ) ( ) ( ) f a f b f c ， 求 a b c 的取 值 范围 10 （本题满分 20 分） 己 知数 列 1 2 3 , a a a 满足 ： 对 任意 正 整数 n，有 21 n n
5、n S a a ， 其中 n S 表示数列的前 n 项和 。 证 明： （1 ）对任意正整数 n , 有 2 n an ； （2 ）对任意正整数 n, 有 +1 1 nn aa 11 （本题满分 20 分 ） 在平 面直 角 坐标 系 x O y 中， 设 AB 是抛物线 2 4 yx 的过点 F （ 1 , 0 ） 的 弦， A OB 的外接圆交抛物线于点 P （ 不同 于点 O ， A ， B ） 若 PF 平分 APB 求 PF 的所有 可能值 2018 年全国高中数学联合竞赛加试试题 （ A 卷） 一、 （ 本题满分 40 分 ） 设 n 是 正整 数 ， 12 , , , n a a
6、 a ， 12 , , , n b b b ， A ， B 均为 正实 数， 满 足 ii ab ， ii aA ， 1, 2, , in ，且 12 12 n n bb b B aa a A 证明： 12 12 ( +1)( +1) ( 1) +1 ( +1)( +1) ( 1) +1 n n b b b B a a a A 二、 （本题满分 40 分 ） 如图 ， A B C 为锐 角三 角 形 ， AB AC ， M 为边 BC 的中点 ， 点 D 和 E 分 别为 A B C 的外接圆上弧 B AC 和弧 B C 的中点 ， F 为 A B C 内切 圆 在 AB 边上 的切 点 ，
7、G 为 AE 与 B C 的交点， N 在线段 E F 上，满足 N B A B 证明：若 B N = EM 则 D F FG （ 答 题时 请 将 图 画在答卷纸上 ） 三、 （本题满分 50 分 ） 设 n ， k ， m 是正 整 数， 满足 2 k ，且 21 k n m n k 设 A 是 1,2, , m 的 n 元子集 证明：区间 0, 1 n k 中的 每 个整 数 均可 表 示为aa ， 其中 , a a A 四、 （本题满分 50 分 ）数列 n a 定义 如下 ： 1 a 是任 意 正整 数 ，对 整 数 1 n ， 1 n a 是与 i a 互素， 且不等于 12 ,
8、, , n a a a 的最小正整数 证明 ： 每个 正 整数 均 在数 列 n a 中出现 2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷） 参考答案及评分标准 说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档：其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题 4 分为 一 个档次，第 10、 11小题5分为 一 个档次，不得增加其他中间档次 一、填空题：本六题共8小题 ， 每小题8分 ， 满分64分 1. 设织合 A= I, 2,
9、 3、 ,99 B=2xjxE A , C=xl2x斗 ， 则B门C的元 素个数为 答案：24. 11 3 991 解： 由条件知， snc= 2, 4, G ， ， 19S n j -, I ,-. 2， ， 2, 4,6 ， ， 48 , 12 2 2 I 故B门C的元素个数为24. 2.设点P到平丽的距离为-13 ，点 Q 在平丽上 ， 使得直线 PQ与。所成 角不小于 30 且不大于 60 。 则这样的点 Q所构成的区域的面积为 答案：如 解：设们在平面。上的射影为。白条件知， 立 tanL OQP 丘 I OQ I 3 即 OQ E I, 3 ， 放所求的区域面积为 1r. 3 2
10、-1r I 2 = 81r . 3. 将 I, 2, 3, 4. 5, 6 随机排成 一 行 ， i己为 a,b,c, d, e,f ，则。 be d吃f ；是偶数的 概率为 答案： 主 10 解： 先考虑。 bc+def ：为奇数的 俏况，此时 abc、 d吃f 一 奇 一 间，若 abc 为奇敛 ， 则。 ， b, c 为l, 3, 5 的排列， 避而 d e,f 为 2,4 ,6 的排列 ， 这样有3！ 31=36种情 况， 由对称性可知 ， 使 abc+def 为奇数的情况数为 36 2 =72 种 从而abc+d，电 f 为偶 72 72 9 数的概率为I一 I 一一一 6 720
11、JO 4在 平面直角坐标系 xO y 中 ， 椭圆C：毛 t=l(abO） 的左 、 右焦点 。 4 b 分别是F；、凡，椭l2ll c 的弦ST 与UV 分别 ￥ 行于 x 剿l与y轴 ， 且相交子点P. 己 知线段PU,PS PV、PT 的长分另lj为L2. 3. 6 ， 则 MF., 凡的朋积为 答案： -Jl5. 解： 由对称性 ， 不妨设 P（，飞 ， ， )p）在第 一 象限，则由条件知 Xp =-(I P T I 扣I) =2, Y P = -(IPVI -IPUI) =I, 即P(2, J). 进而自 Xp=IPU I = I,IPSl=2得 U(2, 2), S(4, I)
12、， 代入梢囚C的方程知 l l l l , , 4-:-+4-,- = 16-:-+ -c- = l，解待。 2 =20 b =5. b 血 b 从 而 s6PF,F, = 1 I矶 l IYP I 汇F ) l p = JIS. 5. 设（x）是定义在E R上的以 2 为周期的偶函数， 在区间O, 1）上严格边减， 11 x 2 且满足！（的I, /(2 肯） 2， 则不等式组 1 - - 的解集为 11 三 （ x ） 三 2 答案肯 2、 8-2肯 解：由 f(x） 为f间组数及在O. J上严格递减知， ！（ ）在 1, O上严格递增 ， 再结合 f(x） 以2 为周期可知 ， I, 2
13、是 ！（ ） 的严格递增区间 注意到 f（ 肯 2）！（肯）I 、 （8- 2肯）J(-2宵） （2宵）= 2 所以 I f(x）三 2 钟 ！（宵 2）三（x）（ 8-2 叶 ， 而I 2 8- 2r. 2 ， 故原不等式组成立当且仅当xE肯 2, 8-2 肯 6.设复数z满足l= I =I ， 使得关于，y 的方程 x + 2:x+2 =0有实根 ， 则这样 的复数z的和为 答案： f 解：设： =a+bi(a,bER.a 十以 1) . 将j京方程改为 （ bi)x 十2（。 bi)x+2=0， 分离实部与部后等价于 ax +2ax+2 = 0， b 2 -2bx=0. 辛 !rb= O
14、， 则。 I，但当 a=I时 ， 无实数解 ， 从而 7 叶 ， 此时存在实 数 ！土-/3 满足、，故 1满足条件 着bzO ， 贝I囱知xO. 2，但显然 x=O不满足， 故只能是x=2 ， 代 ./1 _,.J/1: 入隅。 丁 进而 b 子 ， 相应有 , -1+.Jisi -1-.Jisi 3 综上， 满足条件的所有复数 z. 和为 1 一一一一一 一一一一一 2 7.设。为D.ABC 的外心，若 A0=AB+2AC，则 sinLBAC的值为 一一一一一 伞II r, 答案： 子 解：不失 一 般性 ， 设 t:,.ABC的外接凶半径 R=2. 白条件知 ， 故AC 工 BO=I.
15、2 2AC= AO-AB= BO, 取 AC的中点M ， 则 OA!J_ AC，结合知 O.M J_ BO ， 且B与A位于直线 AI/C l OM 的同侧 于是cosBOC= cos (90 lv!OC) = -sin LMOC = 一 1!:.BOC 中 ， 由余弦定理得 BCOB 2 斗 OC 2 -20B-OCcost:.BOC 在毛 ， BC J飞白 ： 进而在 ！：. AB C c户，国 iE！安定理布s in .L 归C 一 二二 2R 4 8. 设整数数列a., a 2 , , a,0满足。 ” 3a., a 2 + a 8 = 2a s ， 且 。 ， l+a,.2+a，、i
16、 = l. 2、 ，9 则这样的数列的个数为 答案：80. 解：设句 a, ,-a， l, 2(i = 1, 2 ， ， 9 ）， 贝lj有 oc 4 2 a , = a 10 - a ， 乌b 2 句， b 主 飞与 as -a 2 = a s -as =bs +b 6 +b 1 . 用I表示b 2 . 句句 中值为2的项数由知， f 也是 马 、 马 ， b 7 中值为2的项敛， 其中I0.1. 2. 3.因此 b 2 , b 3 ， 鸟 的取法数为（C ) 2 + (C ） 2 （C ; ) 2 （C ! ) 2 = 20. 取定b 2 、 鸟 ， ， b 7 后， 任意指定 钱 ， 鸟
17、 的值，有2 2 =4种方式 最后囱知，应 !fJl b ， I. 2使得 纠 bz 十 b ， 为偶敛， 这样的鸟的取法是 JI在 一 的，并且确定了孩数 a 1 的值，进而数列鸟 ， b 2 ， 乌 唯 一 对应 一 个满足条件的 数列。 ， . a 2 . 。 纷J二可知，满足条件的数列的个数为20x4=80. 二、解答题：本大题共3 ,J、题， 满分56分 解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 9.（本题满分 16 分 己知定义 在ER 上的函数（ ）为 ll og 1 x -1 1 , 。 x 三 9, （ ： ） 1 4- -,/x , x9. 设。 b.c 是三个互不相同的实
18、数， 满足 （a)= /(b) = f(c） ，求。 be 的取值范围 解：不妨假设。 bc. 由于（x ）在（0 、 3 ） 上严格递减 ， 在 3 电 9 ） 上严格边增 ， 在9,+x） 上严格地减， 且 （ 3)=0 f(9) = l，故结合图像可知 a E (0 、 3 ） ， “（3. 9), cE (9. +oo), 并且 f(a) = / (b) = j(c） （0 , 1) . . . 4 分 自 f(a) = f(b） 得 l - log 3 a = log. 3 b -1 , 即 log 3 a+ log. 3 b = 2 ， 因此ab=3 2 =9. 于是 a b c
19、嚣 9c8 分 又。（ c)=4-k s._, -J； ， 故必有 孔 J;, s.+, = .J, 古丁， 此时 从而 。”.,r; 士占可. a.+1 = .Ji+i-.J; 。”。 ”1(,Jn ）（布百 r,:,) ( J;+i + ,Jn )( ;i 百 ,Jn)=I. 20 分 11 （本题满分20 分在平丽直角坐标系 x(ry 中，设AB 是抛物线 y =4 的 过点 F(I, 0） 的弦， t:4.0B的外接因交抛物线子点P（不同于点。 ， A. B ）.若 PF 平 分乙 4PB ， 求IPFI的所有可能值 解： 设 Al 丘. y, I. sl li. y, I. Pili
20、. Yi I ， 白条件知 y ,.y, ， ）引两不等且非等 I 4 I I 4 1 I 4 l 息 ， 设直线AB 的方程为 .， t y 十1， 与抛物线方程联立可得l-4ty-4 = 0，故 凡Y 2 =-4 注意到 t:4.0B的外接回过点。，可设该阔的方程为对 .JJ 1 +dx 1=0 ，与 .联 立衔， .i. + 11 主 ll 0. 该四次方程有 Y = Y, Y i Yr 。这四个不 16 l 4 J 说明： 2018年全国高中数学联合竞赛加试（A卷 参考答案及评分标准 1. 评阅试卷肘，请严格按照本评分标准的评分档次给分 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合
21、理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10分为 一 个档次，不得增加其他中间档次 、 （本题满分40分设n是正整数 ， a, a 2 ， ， 。 ， ，鸟， bz ， 岛， A,B 均为正 bb b B 实数，满足。，纠 ， a，主 A, ; = l. 2. . n , ii. 主 . . （纠I ）（乌 l)(b. +l) B+l 证明： 主 一一 (a 1 + l)(a 2 + I）（。” l) A+ l 。 ， a i a n A B b。 b_ B 证明：白条件知，点主主l i = l 2. 11 .记K， 则且立二三 1!$ 化 为 a, A a 1 a 2 a.
22、 A k,k 2 k .， 主 K. 要证明 .,.;. k，。l 元4+1 -;.f a, + I A+ l 对i = I, 2 ， ， n ，由于 k,:2:1 及O O. k ， 主 1 (i = I, 2. , n ） 时，有 ,!.k A+ I k.k K Al I I 白白$4一 ,.f A+ I A+ I 对n 进行归纳 当n = I时，结论显然成立 当11 = 2时， 由AO 、k , .k 2 主l可知 20 分 但二 主之L 丛 A ( k , ！ ）（ 干 1） 豆 o, A+I A+I A+! (A+!)“ - 因.tltn =2时结论成立 .3 0 分 设 n=m时给
23、 论成立 ， 贝I 当n=m+l时 ， 利用归纳假设知 ， m叫 L A 牛 l ( m kA +! k A 牛l kk k A 牛 l k J+I 日立了 ！日节了 ）寸了 豆 斗 刀 一 亏了 k k m .,A + I A+ I 最后 一 步是在中用k/ 2 “k ” 叶 注意l k/ 2 剖， k .， .， 呈 I ）分别代替k,.k 2 . 从而 n=m+I 时结论成立 自数学归纳法可知，对所有正整数n成立，故命题得i正 40 分二、（本题满分40分） 如阁， !:uiB C为锐角三角形， AB AC, A1为胆地 f一、， 气 的中点， 点 D 和 E分别为t:.ABC 的外接回
24、 BAC 和 BC 的中点， F 为 t:.ABC 的内 切困在 AB 边上的切点 ， G 为AE 与 BC的交点， N 在线段 EF 上， 满足 NB LAB. 证明： 着 BN =EA1，则 DF L FG. （答题时请将图画在答卷纸上） D E 证明： 由条件知， DE 为t:.ABC 外接圆的直径， DE .LBC 于 NI, AE L AD . 记I 为b.ABC 的内心， 则 I 在 AE 上， IF LAB 由 NB L AB 可知； LNBE ABE A BN = (180 。 ADE)-90 。 =90 。 L4DE 均 ！vl 日 . 10分 又根据内心的性质， 有 EBI
25、 EBC+L.CBJ EAC ABl EAB 乙ABl EJB , 从而 BE=El. 结合 BN= EN及知， t:.NBE 主g t:,.J,.;/El . 20分 D E 于是 1lfl BNE=90 。 BFE = l80 。 EFI ，故F I. 11 四点 、 共图 进而可知 AFAd =90 。 L.IFA1 =90 。 十 ！EM AG1vf， 从而A F, G,Jvl四 点共因 30分 再由 DAG D11G =90 。 知， A,G. i11. D 四点共圆，所以 A.F.G M.D 五 点央：留 从而 DFG DA G=90 。 ， ！ PDF lFG. 40分2k 三、
26、（本题满分 50 分设 n, k, 111是正整数， 满足 k 主 2 ，且n三 m _!_, = _!_(xq + r). 2k-1 2k-1 又x十 剖 ，故 n (k-I)x. 1肯 形 一 ：q 是奇数 ，则由 知， 2 f q, 2lq, 20分 综合，可知， x-1土！ 主 n 一（xq r） 主！ xq，从而 q_!i_(xq + r） ， 从而一二L土二 .！ r 二坠 ， 2k-l 2(2k-l) 2/i-l 2k-l 故 q 2(k-l）. 再由q是偶数可知 ， q$2k-4 ， 于是 11主 x f +r $ (k-2）川 （k-l)x, 与矛盾 综上可知 ， 反证法假设
27、不成立，结论获iil:. 50分四、（本题满分 50 分） 数列 。 ” 定义如下： a ， 是任意正整数 ， 对整数n呈 l， (I n！ 是与 艺 a； 互素 ， 且不等于 a, . . . a n 的最小正整数 证明：每个正整数均在数 列 a n 中出现 证明：显然 a, =l或 a 2 = 1. 下面考虑整数 m I ， 设m 有k个不同2菜因子， 我 们对k归纳证明m在。 ” 中出现记S ., =a， 气 ， ，.， ?: 1. k =I 时， m是紊数方怒 ， 设 JJ1 = p ， 其中 0 p 是紊数假设m不在J 中出现由于 aJ 各项互不相同， 因此存在正整数 N ， 当 n
28、?: N 时，都有 a p a . 着 对某个11?:N, pfS ” ， 那么 p a 与S互絮 ， 又a,an 仨1习 无 一 项是f ， 故由数列 定义知 n+I $ P a ， 但是。” I p a ， 矛盾！ 因此对每个n?: N ，都有川 s. . 但由川s ， 及p jS 知川 a.叶 ， 从而 (l n+I与 孔 不互索 ， 这 与 a.刊的定义矛盾 10分 假设 k 呈 2， 且结论对 k-1 成立. i9: m 的标准 分 解，为 111 = p;pf p：. 假设m 不在 。 ” 中出现 ， 于是存在正整数 F ， 当n主N 时，都有 a. m. 取充分大的正 孩数 1，
29、 /J k -1 ，使得 lvf ee pf Pf-i 盟沪 我们证明 ， 对n ?: N ， 有。 肿 卢 .M. . 20分 对任意n主N ， 若S ， ，与 P i P2 Pk 互浆，则m与S ， 互絮，又m：在 a 1 , .a ， 小均 未出现 ， 而a n+1 m， 这与数列的定义矛盾 因此我们推出： 对任意”主N ， s ， 与 P i P 2 P 不互索 （） 悄形 1. 若存在，（！主i三 k-1） ， 使得 P i IS ” 因（a n ！ s.) = 1 ，故 Af a 时 ， 从而 a,1 *M （ 因 P, I Ad）. 30分 f斋形 2. 若对每个i(l三，三 k
30、-1） ，均有 P, f S ” 则由（ ） 知必有必Is .于是 P k fa ，时 ， 进而P* f S, + a ， .，Ell) P k f s +1 故白的知，存在日（I主、王k-1） ， 使得 几 1s ，再由 s. 1 =S. 。”令 i 及I油丽 的假设 P1 f S.(J豆i豆k-1） ， 可知 p 1 a 肿l 故 。”号卢 .M 40 分 因 此对n主N 礼， 均有。 ” .M ，而 Jvl max a ， 故JI！ 不在。” 中出现 ， 这与 “ 国目严 “ “ 归纳假设矛盾 因此，辈子 m 有k个不同黎因子， 则m 一 定在a.中出现 由数学归纳法知 ， 所有正接数均在 。”中出现 5 0 分
