1、Zy2019年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.已知正实数a满足aa = (9a)8a;则loga3a的值为.解:aa = (9a)8a ) a = 8aloga (9a) ) loga (9a) = loga9 + 1 = 18;2loga3 = 78;loga3 = 716;loga3a = loga3 + 1 = 916:2.若实数集合f1;2;3;xg的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和,则x的值为.3.平面直角坐标系中, !e是单位向量,向量 !a满足 !a !e = 2;且j !aj2 5j !a +t !e j
2、对任意实数t成立,则j !aj的取值范围是.4.设A;B为椭圆 的长轴顶点,E;F为 的两个焦点,jABj = 4;jAFj = 2 +p3;P为 上一点,满足jPEj jPFj = 2;则PEF的面积为.解:不妨设椭圆 a b;则jABj = 2a = 4;jAFj = 2 +c = 2 +p3;得a = 2;c = p3;b = pa2 c2 = 1;: x24 +y2 = 1;jPEj+jPFj = 2a = 4;jPEj jPFj = 2;jEFj = 2c = 2p3;jPEj2 +jPFj2 = (jPEj+jPFj)2 2jPEj jPFj = jEFj2 )EPF = 2;则S
3、PEF = 12 jPEj jPFj = 1:5.在1;2;3; ;10中随机选出一个数a,在 1; 2; 3; ; 10中随机选出一个数b,则a2+b被3整除的概率为.解: 37100:6.对任意闭区间I,用MI表示函数y = sinx在I上的最大值,若正数a满足M0;a = 2Ma;2a;则a的值为.解:设0 0;f (x) = 14 2(x+ 1)px 12px(x+ 1)2x =18xpx(x+ 1) 3 1x= 0 ) x = 13;x 20; 13;f (x) #;x 213;+1;f (x) “) r = f(x)min = f13=(13 + 1)24 1p3 =4p39 :1
4、1.（本小题满分20分）称一个复数数列fzng为“有趣的”,若jz1j = 1;且对任意正整数n,均有4zn+12+2znzn+1+zn2 = 0;求最大的常数C,使得对一切有趣的数列fzng及任意正整数m,均有jz1 +z2 + +zmj C:LATEX第II页2019年9月8号Zy2019年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、（本题满分40分）如图1,在锐角ABC中,M是BC边的中点,点P在ABC内,使得AP平分BAC:直线MP与ABP,ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D;E.证明:若DE = MP;则BC = 2BP:图1解:作ME = MF;连接BF;BD;CE;图2则有B
5、DP = BAP = CAP = CEP = CEM;因为BM = CM;EM = MF;有平行四边形BECF,BF CE且BF=CE;有F = CEM = BDP ) BF = BD;因为DE = MP ) DE + EP = MP + EP ) DP = EM = MF;DP = MF ) DP + PM = MF + PM ) DM =PF )BDM = BPF;故BP = BM = 12BC ) BC = 2BP:二、（本题满分40分）设整数a1;a2; ;a2019满足1 = a1 a2 a2019 = 99;记f = (a12 +a22 + +a20192) (a1a3 +a2a4
6、 +a3a5 + +a2017a2019);求f的最小值f0;并确定使f = f0成立的数组(a1;a2; ;a2019)的个数.LATEX第III页2019年9月8号Zy三、（本题满分50分）设m为整数,jmj 2;整数数列a1;a2; 满足:a1;a2不全为零,且对任意正整数n,均有an+2 = an+1 man:证明:若存在整数r;s(r s 2)使得ar = as = a1;则r s jmj:四、（本题满分50分）设V是空间中2019个点构成的集合,其中任意四点不共面,某些点之间连有线段,记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n,满足条件:若E中至少有n个元素,则E一定含有908个二元子集,其中每个二元子集中的两条线段有公共端点,且任意两个二元子集的交为空集.LATEX第IV页2019年9月8号
