1、曲顶柱体体积：,二重积分的计算,1. X型区域,特点:用平行于 y 轴且穿过 D 内部的直线与 D 的边界相交不多于两点。,特点：平行于 x 轴且穿过 D 内部的直线与 D 的边界相交不多于两点。,2. Y 型区域,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,解,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,解,曲面围成的立体如图.,极坐标下重积分的计算,（2）极坐标与直角坐标的关系,（3）曲线的极坐标表示,圆：x2+y22y =
2、 0,r2cos2 + r2sin22rsin = 0,r2 = 2rsin 该圆的极坐标方程为 r = 2sin,a, = c,r = a,r = 2sin,o,M(x,y),x,y,平面上给定点 M(x, y),M,( r, ) 点M的极坐标（r为常数，02）,（1）极坐标,以圆族 r = ri , 及射线族 = i （ i = 1，2，n）分割D,解,解,解,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,定理2,变换:,是一一对应的 ,二重积分的变量变换公式,则,证 根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形, 其顶点为,通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,同理得,当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,故其面积近似为,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如, 直角坐标转化为极坐标时,广义极坐标变换,例 计算,其中D 是 x = 0, y = 0,x + y = 1 所围区域.,解,则,令,例 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线,所围区域 D 的面积.,解,令,
