1、11 利用直角坐标系计算1.1 积分区域为 X 型或 Y 型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决在直角坐标系下，被积分函数在积分区域 上连续时，若 为 型区域（如图 1） ，即 ，(,)fxyDx12(,)(),Dxyxaxb其中 在 上连续，则有12(),ab； （1）21()(,),bxaDfydfyd若 为 型区域（如图 2） ，即 ，其中 在 上连续，Dy12,(),xc12(),y,cd则有 21()(,),dycDfxyfxd 1 （2）例 1 计算 ，其中 是由 ，2Dydxx，及yx 所围成 1分析 积分区域如图 3 所示，为 型区域x1
2、D=,2,xyyx确定了积分区域然后可以利用公式（1）进 行求解解 积分区域为 型区域x 1D=,2,xyyx则 221xDyydxd3211x2513dx2214766x1.2 积分区域非 X 型或 Y 型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并 不是简单的 型或x型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，y 这是可以将复杂的积分区域划分为若干 型或 型区域，然后利用公式xy123(,)(,)(,)(,)DDDDfdfdfxydfxyd（3 ）yy=xxy=1D2D1xO211 2图 3图 1 o2图 42进行计算，例 2 计算二重积分 ，其中 为直线 及 所围
3、成的区域Dd2,yxy3x分析：积分区域 如图 5 所示，区域 既 不是 型区域也不x是 型区域，但是将可 划分为y 12,01,23xDyyxx均为 型区域，进而通过公式（3）和（1）可进x 行计算解 划分为D，1,01,2xxyy 2,13,2Dxyyx则12DDdd122301xxdydy120123xxdd2201344xx1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算例 3 计算二重积分 ，其中 为区2DyxdD
4、域 ，1x02y分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能 直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难 发现当我们把积分区域划分为 ， 两部分后，21xyD2201yxD 被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得解 区域 如图 6 可分为 ，其中2，12xy201yxD由公式（3）则OyxD1D2图 6yxOx=2yy=2xx+y=3图 531 222DDDyxdyxdxyd2212053xx 2 利用变量变换法计算定理 1 设 在有界区域 上可积，变换 ， ，将 平面按段光滑封(,)fxy :,Txuv,yuv,闭曲线所围成的区域 一对一地映成 平
5、面上的区域 ，函数 ， 在 内分别具有一阶,xyDx连续偏导数且它们的雅克比行列式 ， 则,0Juv,uv（4）(,),DfxydfxyJduv（4）式叫做二重积分的变量变换公式，2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算例 4 求 ，其中 是由 所围曲线（图 7）xyDed0,1xyx分析 由于被积函数含有 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做e替换 ： 在变换 作用下区域 的原像 如图 8 所示，根据二重积分的变量变换公T,.uxyvTD式，
6、积分计算就简单了解 做变换 12:xuvTy1,02Juv所以 12xyuvDeded 102uvdeDyxO 图 7 图 8vuO41102ved42.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有 且,ufxyvgxy，则把 平面上的积分区域 对应到 平面上简单的矩形区域 ，然后根据二重,munvxyDuv积分的变量变换公式（4）进行计算例 5 求抛物线 和直线 所围区域 的面积 22,mn,yxD分析 的面积 实际是计算二重积分 ，其被积函数很简单，但是积分区域DDdx dxy却比较复杂，观察积分区域不难发现 ； ，如果设 ，则有22
7、,ynx,2,yuvx，,munv解 的面积DDdxy作变换，2:uxvTy,mn4,.uJv所以 2344=6nmDddxyuvu 例 6 求 所围区域23Dxy 2:1,3,3yx分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换 T： ，它把 平面上的区域 对2,yuxvxyD应到 平面上的矩形区域 uv解 令52:uxyTv在变换 作用下，区域 的原像TD， ,13,uvv1,03Juv所以233Dxdydvvu31dvu2ln2.3 利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有 、 或 形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比2fxyxfyf较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐
8、标变换，cos:inxrTy0,2这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立） ，其雅可比行列式为 .r（1）如果原点 ，且 平面上射线 常数与积分区域 的边界至多交于两点，则 必可表0DxyD示为， 12rr则有（5）21, cos,inrDfxydfrd类似地，若 平面上的圆 常数与积分区域 的边界至多交于两点，则 必可表示为xyrD，12rr12r那么（6）2211, cos,inrrDfxydfrd（2）如果原点 为积分区域 的内点， 的边界的极坐标方程为 ，则 可表示成O r6yxD1图 8，0r0则有（7）20
9、, cos,inrDfxydfrd（3）如果原点 在积分区域 的边界上，则 为O，r那么（8）0, cos,inrDfxydfrd例 7 计算 ，其中 为圆域：21Ixy21xy分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为 ，且原点为 的内点，故可采用极坐2()f D标变换 ，可以达到简化被积函数的目的cos,0:in2xrrTy解 作变换，cos,01:in2xrrTy则有 21DdIxy2120dr2200r例 8 计算二重积分 ，其中 是由直线 ，以及曲线 所围成Dydx,xy2xy的平面区域分析 首先根据题意，画出积分区域，由于 积分区域 与D一起围成规则图形正方形，且 为半圆区域，1
10、D1 根据极坐标变换简化被积函数解 积分区域如图 15 所示， 为正方形1D 区域， 为半圆区1域，则有7，11DDydxyxdy而，1204Dyxy又 1:02sin,r故原式 12sin0Dydxrd428sin3d281coss342.4 利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换： cos,0:in2xarrTyb并且雅可比行列式 ,Juvabr同样有（9）,cos,inDfxydfarbard例 9 计算 ，其中21DIcab 2,01,0xxya分析 根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换，可以达到简化积分区域和被积函数的目的co
11、s,0:in2xarrTyb解 作广义极坐标变换，cos,01:in2xarrTyb,Juvabr由（9）知821DxyIcdab1220crabd12206abcdrc3 某些特殊函数的计算3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分 和 ，那D 1D2么有如果 在 上各点处的值与其在 上各对称点处的值互为相反数，那么,fxy1 2D,0fxyd如果 在 上各点处的值与其在 上各对称点处的值恒相等，那么,fxy1D2312,DDfxydfxyfxyd例 10 计算 ，其中 为双曲线 及 所围成区域2Dxyd201分析
12、首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到 为 的偶函数，另一方面2,fxyx关于 轴对称，且 在 在 上各点处的值与其在 上各对称点处的值恒相等，然后再化为y,f12 2累次积分计算解 积分区域如图 11 所示： 为 在第一象限内的部分， 关于 轴对称，又 为DDy2,fxy的偶函数，由对称性有x122DDxydxyd宜选择先对 后对 的积分次序故原式 122DDxydxyd210yxd31205210413.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，
13、最后再由性质加以讨论xyOD1D2119被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号例 11 求 ，其中 为 围成的区域24DxydxD29xy分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得的两部分，在两部分上分别积分后，再相加22400xyxy及解 为去绝对值号，将 分成若干个子区域，即21:4Dxy2:9Dxy在 内 1D224xyxy在 内 2 4故原式 2Dxydx，1 22 244Dyxydx利用极坐标计算有 1 22 208Dxydr2 232 201544d故原式 25418例 12 求 ,其中,Dfxyd,0,xyef其 他 D由 和 所围成,0xyabba .0ba分析 首先划出积分区域,将区域 分解为如图D所示三个区域,根据被积函数的形式,分别计算出每个积分区域上的 积分,再利用二重积分对区域的可加性再相加即得.解 如图 12,并由 表达式可得 .,fxy123在 上有 ,则1D,0f.1,0DfxydD1D2xyaa+bD312a10因而 23xyxyDDIeded0 0abxabxyydee
