1、第二节 二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分fxydD(,)的计算问题.讨论中,我们假定 fxy(,)0；假定积分区域 可用不等式 abx12()表示,其中 1()x, 2在 ,上连续.据二重积分的几何意义可知,fxydD(,)的值等于以 D为底,以曲面zfxy()为顶的曲顶柱体 的体积.在区间 ,ab上任意取定一个点 x0,
2、作平行于 yoz面的平面 x0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 ()120为底,曲线zfxy(,)0为曲边的曲边梯形 ,其面积为Afxyd()012一般地,过区间 ,ab上任一点 且平行于 oz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 xfyd()(,)12利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 VAxafxydbab()(,)12从而有 dxyfdyxfbaxD )(21,),(1)上述积分叫做先对 Y,后对 X 的二次积分,即先把 看作常数, ),(yxf只看作 y的函数, 对 ),(f计算从 )(1到 2的定积分 ,然后把所得的结果( 它是 x的函数 )再对 x
3、从 到 b计算定积分.这个先对 , 后对 的二次积分也常记作fxydxfydDab(,)(,)12在上述讨论中,假定了 0),(f，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的)(yxf(在 上连续),公式(1)总是成立的.例如:计算 IxdDxyyD)(,)|,11022解: yd201201 )( 38)112xx类似地,如果积分区域 可以用下述不等式cydy,()()12表示,且函数 , 2在 ,cd上连续, fx,)在 D上连续,则fxfxydxDycc(,)()()1 12(2)显然,(2)式是先对 x,后对 y的二次积分.二
4、重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于 I 型(或 II 型)区域, 用平行于 y轴( x轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为 I 型(或 II 型)区域的并集.2、积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二次积分限的方法 - 几何法.画出积分区域 D的图形(假设的图形如下 )在 ,ba上任取一点 x,过 作平行于 y轴的直线,该直线穿过区域 D,与区域 D的边界有两个交点 )(1与 )(2x,这里的 )(1x、 2就是将
5、x,看作常数而对 y积分时的下限和上限；又因 是在区间 ,ab上任意取的,所以再将 看作变量而对 积分时,积分的下限为 、上限为 .例 1 计算32dD,其中 是由 x轴, y轴和抛物线 x12在第一象限内所围成的区域.类似地, Dyxy:,01xydyd32013201()22令 yttdtsincosin()!245024159163例 2 计算xdD, 其中 是由抛物线 yx及直线 y2所围成的区域.Dyxy:,122xdddy1245821y()例 3 求由曲面 zx及 zxy62所围成的立体的体积.解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在 o面上的投影区域消去变量 z得一垂直于 xo
6、y面的柱面 xy2,立体镶嵌在其中,立体在 xoy面的投影区域就是该柱面在 面上所围成的区域Dxy:22、列出体积计算的表达式Vxyd()()62()632xydD3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算VdxydDD6322而 由 x, y的对称性有 22dxdyxdD222440 20sinco1612()!4所求立体的体积为 V126二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有 fxydfDiiin(,)lm(,)01现研究这一和式极限在极坐标中的形式.用以极点 0为中心的一族同心圆 r常 数 以及从极点出发的一族射线常 数,将 D剖分成个小闭区域.除了包含边界
7、点的一些小闭区域外,小闭区域 i的面积可如下计算 iiiiiiiii rrr )2(1)(2122iiiiii 其中, ri表示相邻两圆弧半径的平均值.(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)在小区域 i上取点 ()ri,设该点直角坐标为 (,)i,据直角坐标与极坐标的关系有 iiiircos,sn于是 lim(,)lm(co,si)0101f frriinii ii即 fxydfdDD,(s,n)由于()也常记作xy, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式fxydfrrdDD(,)(cos,in)(1)(1)式称之
8、为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,r就是极坐标中的面积元素.(1)式的记忆方法: xrcosyindxyrdfxydxyD(,) frrrdD(cos,sin)2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.【情形一】积分区域 可表示成下述形式12()()r其中函数 1(), 2在 ,上连续.则 frrdfrrdD(cos,in)(cos,in)12【情形二】积分区域 为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式 10()( 即极点在积分区域的边界上 ).故 frrdfrrdD(cos,incos,in) 【情形三】积分区域 为下述形式显然,
9、这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域 D的内部 ),D可剖分成 1与 2,而 rr20 0:():,()故 则 frdfrd(cos,in(cos,in) 0由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域 D用极坐标变量 ,表示成如下形式,()()12r下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示.例 4 将下列区域用极坐标变量表示1、 xy2:2、 RyRx2,D3:A 先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围 ,；A 再过 内任一点 作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围 (),1
10、2.注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.利用此题结果可求出著名概率积分 Iedx20.而被积函数满足 02yxe,从而以下不等式 2212 DyxSDyx dedd成立，再利用例二的结果有 )1(4212 RDyxe,222yxed, RyRxRyxSyx dede 000 2222 200000 22222 RxRxRxRyRx eed于是不等式可改写成下述形式414142220RRxRede ()()故当 时有 2,即 Iedx20.3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含 ()xy2, 为实数 ).例 6 计算Idxdyxaaa0240()解此积分区域为 Dayx:,2区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为 Dra:,sin402Irdadrrad422 040i sinci()4024013小结 二重积分计算公式直角坐标系下 Dbaxdyfdxyf )(21,),(X型cy)(21,Y型极坐标系下 Ddrrfdrrf )(21 )sin,co)sin,co(作业 教材 P161 习题 2（I） （2） （3）3（1） （3）4（2） （4）
