1、第二节 二重积分的坐标计算法一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分 的计算问题.讨论中,我们假定 ；假定积分区域 可用不等式 表示,其中 , 在 上连续.据二重积分的几何意义可知, 的值等于以 为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.在区间 上任意取定一个点 ,作平行于 面的平面 ,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为一般地,过区间 上任一点 且平行于 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为从而有(1)上述积分叫做先对 Y,后对 X 的二次积分,即先把 看作常数, 只看作 的函数,对
2、计算从 到 的定积分,然后把所得的结果( 它是 的函数 )再对 从 到 计算定积分.这个先对 , 后对 的二次积分也常记作在上述讨论中,假定了 ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在 上连续),公式(1)总是成立的.例如:计算 解: 类似地,如果积分区域 可以用下述不等式表示,且函数 , 在 上连续, 在 上连续,则(2)显然,(2)式是先对 ,后对 的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于 I 型(或 II 型)区域, 用平行于 轴( 轴 )的直线穿过区
3、域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为 I 型(或 II 型)区域的并集.2、积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二次积分限的方法 - 几何法.画出积分区域 的图形(假设的图形如下 )在 上任取一点 ,过 作平行于 轴的直线,该直线穿过区域 ,与区域 的边界有两个交点 与 ,这里的 、 就是将 ,看作常数而对 积分时的下限和上限；又因 是在区间 上任意取的,所以再将 看作变量而对 积分时,积分的下限为 、上限为 .例 1 计算 ,其中 是由 轴, 轴和抛物线 在第一象限内所围成的区域.类似地, 例 2 计算 , 其中 是由抛物线 及直线 所围成的区域.例 3 求由曲面 及 所围成的立体的体积.解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在 面上的投影区域消去变量 得一垂直于 面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在 面的投影区域就是该柱面在 面上所围成的区域2、列出体积计算的表达式3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算而 由 , 的对称性有 所求立体的体积为
