1、第八章 APOS学习理论,第一节 APOS理论概述,美国学者杜宾斯基(E.Dubinsky)提出的APOS理论, 是以建构主义为基础的数学学习理论，它的核心是引导学生在社会线索中学习数学知识，分析数学问题情景，从而建构他们自己的数学思想。根据上述想法，杜宾斯基成功地帮助大学生们学习了一系列与微积分，离散数学，抽象代数等学科分支有关的概念， 如群，子群，陪集，商群，等等。,杜宾斯基认为：1.数学教学的目的是什么？一个人是不可能直接学习到数学概念的，更确 切地说,人们透过心智结构（mental structure） 使所学的数学概念产生意义.如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心 智结构，那么他
2、几乎自然就学到了这个概念.反之，如果他无法建立起适当的心智结构，那 么他学习数学概念几乎是不可能的。教学的目的：如何帮助学生建立适当的心智结构。,一、APOS理论的涵义,2. 理论的出发点与基本假设理论的出发点：任何一个数学教育理论应该致力于“学生是如 何学习的”以及“什么样的教学计划可以帮助这种学 习的理解”，而不仅仅是陈述一些事实. 理论的基本假设：数学知识是个体在解决所感知到的数学问题的 过程中获得的.在此过程中，个体依序建构了心理 活动（actions）、过程（processes）和对象 （object），最终组织成用以理解问题情境的图式 结构（schemas）.,3.APOS理论的来
3、源POS理论是一种建构主义学习理论，该理论 集中于对特定学习内容数学概念学习过程的 研究，它指出学生数学概念学习过程是建构的， 并表明建构的顺序层次。强调在学习数学概念中 首先处理的数学问题要具有社会现实背景，并要 求学生开展各种各样的数学活动，活动中学生在 已有的知识和经验基础上通过思维运算和反省抽 象，对概念所具有的直观背景和形式定义进行必 要的综合，从而达到建构数学概念的目的。,APOS理论起源于作者试图对皮亚杰的数学学习的“自反抽象”理论进行拓展的一种尝试. 所谓“自反”，就是返身、反思，自己作了实 践性活动，然后“脱身”出来，作为一个“旁观者” 来看待自己刚才做了些什么，将自己所做的
4、活动 过程作为思考的对象，并归结出某个结论，这就 是“自反抽象”.,皮亚杰认为，数学抽象活动的基本性质是一种“自反抽象”。它与通常所谓的“经验抽象”有着重要的区别。所谓的“经验抽象”即是以真实的事物或现 象作为直接的原型，也即是由一类物质对象中 抽象出共同的特性.“自反抽象”却并非是关于物质对象的，而 只是涉及到了人类施加于物质对象之上的活动, 或者说，这即是对人类自身活动进行反思的直 接结果.,皮亚杰的这一观点表明了数学学习的一个重要特点数学抽象活动的间接性。数学抽象未必是以真实事物或现象为原型的 直接抽象，而也可以是以已经得到建构的数学对 象为原型的间接抽象，也即是在更高的层次上去 对已有
5、的东西重新进行建构。APOS理论指明了这种建构的途径和方式。无论是“经验抽象” ，还是“自反抽象” ， 必须在经过操作、过程、对象、图式等阶段后才 能完成数学对象、数学思维的建构和提升.,二、 APOS理论的理论模型,1. 四阶段模型杜宾斯基认为，学生学习数学概念就是要 建构心智结构，这一建构过程要经历以下4个阶段 （以函数概念为例）：第一阶段操作(或活动)（action）阶段这里的活动是指个体通过一步一步的外显性 （或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象.,数学教学是数学活动的教学，操作运算行为是数学认知的基础性行为。学生与数学家一样， 要亲自投入，通过实际经验来获得知识，虽然这 种实践性与
6、物理、化学、生物等实验科学的观察 试验行为所不同，但数学活动仍需实际操作演算和头脑中的心理操作思想实验，没有物理操作和心理的操作，数学概念将成为无源之水，无本之木.,大部分数学概念的形成都经历了一个反省抽 象的活动。而要形成反省，被反省的基础，就是 操作活动。所谓操作是指个体对于感知到的对象进行转 换，这个对象实质上是一种外部刺激。例如，理解函数概念需要进行活动或操作。在有现实背景的问题中建立一种函数关系y=2x, 要求个体计算出在一个给定点的函数值，如：通过这种操作，学生获得函数的操作意义.,第二阶段过程(process)阶段当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后，物 理操作就可以内化为一种叫
7、做“过程(process)” 的心理操作，有了这一“程序”，个体就可以想象 之前的活动，而不必通过外部刺激；他可以在脑 中实施这一程序而不需要具体操作；他甚至还可 以对这一程序进行逆转以及与其它程序进行组合.,例如，一旦学生认识到所谓函数只不过是给定 一个不同的数就会得出相应的不同值，而不必再进行具体的运算时，他就已经完成了这种过程模式的建构。把上述操作活动综合成函数过程，一般地有 x2x；其它各种函数也可以概括为一般的对应 过程：xf(x).想象为输入输出的“函数机”概念在过程阶段表现为一系列的步骤，有操 作性，相对直观，容易仿效学习；学生可以从过程入手经操作来体会概念中所包含的具体关系.,
8、第三阶段对象(object)阶段当个体能把这个“过程”作为一个整体进行操作和转换的时候，这个过程就变成了他的一种心理“对象(object)”. 这时,个体可以操控对象去实施各种相关的数学运算。需要的时候，也可以具体再现对象所包含的过程步骤.例如，将函数的对应过程压缩为一个“整体”，形成函数的“对象”这一心理结构，从而可以实现函数的复合、微分、积分这些运算，进一步可发展出函数空间、算子这些更抽象的数学概念.,所以，作为对象的概念，在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用：它既操作别的对象，又被高层次的运算来操作。当概念进入对象状态时，便呈现一种静态结构关系，成为一个“实体”，易于整体把握性
9、质，这时一个完整的理解才真正成型。,第四阶段图式(scheme)阶段个体对活动、过程、对象以及他原有的相关方面的图式进行相应的整合、精致就会产生出新的图式结构(scheme) ,从而可运用于问题解决情境.一个数学概念的“图式”是由相应的活动、过 程、对象以及相关的图式所组成的认知框架。其 作用和特点就是决定某些刺激是否属于这个图 式，从而就会作出不同的反应。,良好的函数概念图式：“函数是两个非空数集之间的一种对应关系；在一个集合中任意取定一个数，总可以在另一个集合里找到唯一确定的数与它对应；前面的集合叫定义域，那些被唯一确定的所有数组成了叫做值域的集合；函数概念的关键是由谁唯一确定了谁；函数概
10、念与函数所用的符号没有什么关系，就像人的名字一样；”这一心理图式含有具体的函数实例（解析式、图像、表格、映射图）、抽象的对应过程、定义的言语编码，以及与其它概念的联系（方程、曲线、不等式、代数式等）。,APOS理论的四阶段模型,2.APOS循环,杜宾斯基认为，活动、过程、对象也可以看作是数学知识的三种状态，而图式则是由这三种知识构成的一种认知结构.虽然这四者具有等级结构，但个体对某一数学概念的理解并不只是线性的，而是循环的。,例如，函数概念的学习。学习者一开始的活动是，视函数为一个公 式，它含有一些可以运算和赋值的字母变量.随后，视函数为“函数机”可以输入、 输出的机器，于是得到了初步的“程序
11、”，即过程.但一遇到更为复杂的函数表达式时，往往 又回到了“活动”阶段，进一步完善了函数“程序”.如此反复，经过多次循环后，才最终形成明 确而完整的函数“对象”,A P O S 循环图,活动的内化是数学课堂的一种“日常活动”.例如，为了考察二次函数在某个区间上的单 调性，学生先具体比较一些函数值的大小，这属于离散状态的“活动”阶段.这些“活动”经过多次重复后，慢慢就内化为一种心理结构“程序”，其功能就是实行相应的“活动”.,在活动阶段，学生只能单个地计算函数值，比较大小；在程序（过程）阶段，学生可以同时 考虑多个函数值的大小关系及变化趋势.在学生多 次运用“程序”后，一旦他们对整个区间上的函数
12、 值随自变量变化的趋势有了整体的认识，上述“程 序”就已经被“压缩(encapsulation)”为一个“对 象”.只有当个体主动地反复运用“程序”去实施相 应的“活动”时，“压缩”才可能出现.在数学活动中，“解压缩(de-encapsulation)” 的过程也同样重要.,运用压缩和解压缩的过程去实施某个“活动”是数学思维的一个特点.例如，在两个函数 f 和g 相加得到一个新的函 数 f + g 的过程中，必须把原来的两个函数和结果 函数都看作是“对象”.但在实际变换或者讨论函数 的性质时，又必须先将它们“解压缩”为原先的“程 序”而分别操作，然后形成新的“程序”.在新的“程 序”中，将涉及
13、其它更多的数学概念，如新函数的 定义域与原先两个函数的定义域之间的关系.这样，围绕这一“对象”形成了一个关联的认知结构“图式”,APOS理论指出，数学对象、图式的形成是 一种渐进的建构过程。一个数学概念由“过程”到“对象”的建立有时是既困难又漫长的（如函数概念），“过程”到“对象”的抽象需要经过多次的反复，循序渐进，螺旋上升，直至学生真正理解。“对象”的建立要注意它的简练文字形式、符号表示，使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象.,APOS理论揭示出，数学学习中图式的形成往往并非是一种自觉的行为，而是一个不知不觉 的渐进的建构过程。在整个环节中，相应的操 作为图式的形成提供了必要的基础。经
14、过提炼 和拓展，图式的形成要经历三个阶段：单个图式、多个图式、图式的迁移。,单个图式阶段的特点就是只是注意离散的操 作、过程和对象，而把具有类似性质的其它知 识点隔离开来.多个图式阶段就是注意了各个图式中蕴涵的 知识点之间的关系和衔接，这时个体就能把这 些知识点组成一个整体.到了迁移阶段，个体才能彻底搞清楚在上一 个阶段中提到的相关知识点之间的相互关系， 并建构出这些知识点之间的内部结构，形成一 个大的图式.,三、 APOS理论的特征（1）真实反映了数学概念的心智建构过程APOS理论集中于对特定学习内容数学概念学习过程的研究，对数学概念所特有的思维形式“过程和对象的双重性”做出了切实分析。对数
15、学学习过程中学生的思维活动做出深入的研究，正确揭示数学学习活动的特殊性，提出学生学习概念要经过“活动”、“过程”、“对象”和“图式”4个阶段。反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动.,“活动阶段”是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受概念的直观背景和概念间的关系。“过程阶段”是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质。“对象阶段”是通过前面的抽象，认识到了概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动。,“图式阶段”的形成要经过长期的学
16、习活动来完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式。（2）APOS理论揭示了数学概念学习的本质， 是具有数学学科特色的学习理论. （3）APOS理论是建构主义学习理论在数学学习中的一种具体模式.（4）为数学教学提供理论工具.,第二节 APOS理论典型案例,一、函数概念 1. 活动阶段理解函数需要进行活动或操作。例如，在有现实背景的问题中建立函数关系yX2，需要用具体的数字构造对应：24；39；416；525；通过操作，理解函数的意义。 2. 过程阶段把上述操作活动综合成为一个函数过程。一般地有xx2；其它的
17、各种函数也可以概括为一般的对应过程：xf(x)。,3. 对象阶段然后可以把函数过程上升为一个独立的对象来处理,比如，函数的加减乘除、复合运算等。在表达式f(x)土g(x)中，函数f(x)和g(x)均作为整体对象出现。 4.图式阶段此时的函数概念，以一种综合的心理图式而存在于脑海中，在数学知识体系中占有特定的地位。这一心理图式含有具体的函数实例、抽象的过程、完整的定义，乃至和其它概念的区别和联系(方程、曲线、图像等等)。,二、代数式概念代数式(字母表示数)概念一直是学生学习代数过程中的难点，很多学生学过后只能记住代数式的形式特征，不能理解字母表示数的意义。代数式的本质是把方法性的算术的运算(过程
18、上的运算)上升到了结构性的式的运算(对象上的运算)，这其中要经历从算术到代数观点的改变。首先要设计具体的在算术上的方法性的运算活动，使代数概念的建立经历必要的“过程”阶段，从而能建立“对象”的代数式。,1.通过运算活动，理解具体的代数式。问题1：一列火车保持一定的速度行驶，每小时行驶90千米，请将这列火车行驶的路程与时间的关系填在表1中：,问题2：随着梯形个数的增加，由若干个梯形组成的图形的周长也在变化，观察图形并填写表2：,表2 梯形个数与周长变化,2. 过程阶段，体验代数式形成过程。 教师提出以下问题： (1) 用字母符号代表“口”如90t，与具体的数有什么样的关系? (2) 把各具体字母
19、表示的式子作为一个整体，具有什么样的特征和意义? (需经反复体验、反思、抽象代数式特征：一种运算关系；字母表示一类数，如t和90t)。这一阶段还包括列代数式和对代数式求值，如可计算下题，让学生进一步体会代数式形成过程。,3. 对象阶段，对代数式的形式化表述(以下简略说明)。这一阶段包括建立代数式形式定义、对代数式的化简、合并同类项、因式分解及解方程等运算。学生在进行运算中应意识到运算的对象是形式化的代数式而不是数, 代数式本身体现了一种运算关系，而不只是运算过程。 这一阶段，学生必须理解字母(不定元)的意义，识别代数式。,4. 图式阶段，建立综合的心理图式。通过以上三个阶段的教学，学生在头脑中
20、应该建立起如下的代数式的心理表征：具体的实例(直观的)、运算过程、字母表示一类数的数学思想、代数式的定义, 并能加以运用。例如, 化简代数式,(2x26x十5)2(2x26x十4)2 = (2x26x十5) 十(2x26x十4)(2x26x十5) 十(2x26x十4) = (4x212x十9) = (2x3)2,需将每一个括号内的式子看成一个具体的对象-代数式，运用平方差与平方和公式进行化简。可以看出，学生在对象阶段代数式概念的建立要经历一段时间才能完成。此外，在以后学习方程、整式、分式、函数等内容时不断对代数式的概念进行完善，找到它在数学整体中的地位，从而建立完整的心理图式。,三、有理数加法
21、法则 1. 运算操作（活动） 计算一个足球队在一场足球比赛时的胜负可能结果的各种不同情形：（3）（2） 5； （一2）（一1）3；（3）（一2）（1）； （一3）（2）1；（3） 0 3； （其中每个和式中的两个有理数是上、下半场中的得分数）。,2. 综合分析（过程）把以上算式作为整体综合进行特征分析：同号相加、异号相加、一个数与零相加等的过程和结果对照总结规律，理解运算意义。 3. 形成对象把各种规律综合在一起成为一完整的有理数加法法则，并产生有理数和的模式：有理数十有理数 = （1）符号（2）数值 这一阶段还包括按照有理数和的模式及具体的运算律进行任意的有理数和的运算和代数式求值的运算等。
22、,4. 形成图式有理数加法法则以一种综合的心理图式建立在学生的头脑中，其中有具体的足球比赛的实例、有抽象的操作过程、有完整的运算律和形成的模式。而且通过以后的学习获得和其他概念、规则的区别与联系（有理数和、差、积的组合关系，多项式的和、差、积关系等）。,四、解一元一次方程 1. 活动阶段为了求未知数，通过已知数和条件列出方程，然后用代数式的四则运算求出未知数。学生学习解具体的方程：2X = 5；3X2 = 5X3，理解具体的方程的意义。 2. 过程阶段从整体上体验一元一次方程的特征，把握解方程的一般性步骤，会解一般的 axb = 0；axb cxd之类的方程, 综合分析解方程的思想方法。,3. 对象阶段把解一元一次方程作为单独的对象来掌握, 区别于一元二次方程。 在解二元一次联立方程时，能够识别是由两个一元一次方程所组成。此时解一元一次方程是一个单独的结构性的对象。 4. 图式阶段学生的头脑中建立起一元一次方程的综合图式：一元一次方程与一次函数的关系，由方程表示的函数的图像等。,
