1、第 1 页（共 21 页）2016 年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1 （4 分） （2016 上海）设 xR，则不等式|x 3|1 的解集为 2 （4 分） （2016 上海）设 z= ，其中 i 为虚数单位，则 Imz= 3 （4 分） （2016 上海）已知平行直线 l1：2x+y1=0，l 2：2x+y+1=0，则 l1，l 2 的距离 4 （4 分） （2016 上海）某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.
2、69，1.77，则这组数据的中位数是 （米） 5 （4 分） （2016 上海）已知点（3，9）在函数 f（x）=1+a x 的图象上，则 f（x）的反函数 f1（x）= 6 （4 分） （2016 上海）在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 的边长为 3，BD 1 与底面所成角的大小为 arctan ，则该正四棱柱的高等于 7 （4 分） （2016 上海）方程 3sinx=1+cos2x 在区间0，2 上的解为 8 （4 分） （2016 上海）在（ ） n 的二项式中，所有的二项式系数之和为 256，则常数项等于 9 （4 分） （2016 上海）已知 ABC 的三边
3、长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 10 （4 分） （2016 上海）设 a0，b0，若关于 x，y 的方程组 无解，则 a+b 的取值范围为 11 （4 分） （2016 上海）无穷数列a n由 k 个不同的数组成，S n 为a n的前 n 项和，若对任意 nN*，S n2，3，则 k 的最大值为 12 （4 分） （2016 上海）在平面直角坐标系中，已知 A（1，0） ，B（0，1） ，P 是曲线 y=上一个动点，则 的取值范围是 13 （4 分） （2016 上海）设 a，bR，c 0，2） ，若对于任意实数 x 都有 2sin（3x ）=asin（bx+c） ，则满足
4、条件的有序实数组（ a，b，c）的组数为 14 （4 分） （2016 上海）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 A1A2A8 的中心，A 1（1，0）任取不同的两点 Ai，A j，点 P 满足 + + = ，则点 P 落在第一象限的概率是 第 2 页（共 21 页）二、选择题（54=20 分）15 （5 分） （2016 上海）设 aR，则“a1”是“a 21”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件16 （5 分） （2016 上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（ ）A=6+5cos B=6+5sin C=65cos D =
5、65sin17 （5 分） （2016 上海）已知无穷等比数列a n的公比为 q，前 n 项和为 Sn，且=S，下列条件中，使得 2SnS（nN *）恒成立的是（ ）Aa 10，0.6q0.7 Ba 10，0.7q0.6Ca 1 0，0.7 q0.8 Da 10，0.8q0.718 （5 分） （2016 上海）设 f（x） 、g（x） 、h（x）是定义域为 R 的三个函数，对于命题：f（x）+g （x） 、f（x）+h（ x） 、g（x）+h（x）均为增函数，则 f（x） 、g（x） 、h（x）中至少有一个增函数；若 f（x）+g（x） 、f（x）+h （x ） 、g（x）+h（x）均是以
6、T 为周期的函数，则 f（x） 、g（x） 、 h（x）均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A和均为真命题 B和均为假命题C为真命题，为假命题 D 为假命题， 为真命题三、解答题（74 分）19 （12 分） （2016 上海）将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为 ，A 1B1 长为 ，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧（1）求三棱锥 CO1A1B1 的体积；（2）求异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小第 3 页（共 21 页）20 （14 分） （2016 上海）有一块正方形 EFGH，EH 所在直线
7、是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走于是，菜地分别为两个区域 S1 和 S2，其中 S1 中的蔬菜运到河边较近，S 2 中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为（1，0） ，如图（1）求菜地内的分界线 C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍，由此得到 S1 面积的经验值为 设M 是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 S1 面积的
8、“经验值”21 （14 分） （2016 上海）双曲线 x2 =1（b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，直线 l过 F2 且与双曲线交于 A，B 两点（1）直线 l 的倾斜角为 ， F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设 b= ，若 l 的斜率存在，且（ + ） =0，求 l 的斜率22 （16 分） （2016 上海）已知 aR，函数 f（x）=log 2（ +a） （1）当 a=5 时，解不等式 f（ x）0；（2）若关于 x 的方程 f（x） log2（a 4）x+2a5=0 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围（3）设 a0，若对任意 t ，1 ，函数 f（x
9、）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围23 （18 分） （2016 上海）若无穷数列a n满足：只要 ap=aq（p，qN *） ，必有 ap+1=aq+1，则称a n具有性质 P（1）若a n具有性质 P，且 a1=1，a 2=2，a 4=3，a 5=2，a 6+a7+a8=21，求 a3；第 4 页（共 21 页）（2）若无穷数列b n是等差数列，无穷数列c n是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b 5=c1=81，a n=bn+cn，判断a n是否具有性质 P，并说明理由；（3）设b n是无穷数列，已知 an+1=bn+sinan（nN *） ，求证
10、：“对任意 a1，a n都具有性质P”的充要条件为“b n是常数列 ”第 5 页（共 21 页）2016 年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1 （4 分） （2016 上海）设 xR，则不等式|x 3|1 的解集为 （2，4） 【分析】由含绝对值的性质得1x 31，由此能求出不等式 |x3|1 的解集【解答】解：xR ，不等式|x3| 1，1x31，解得 2x4不等式|x 3|1 的解集为（2，4） 故答案为：（2，4） 【点评】本题考查含绝对值不等
11、式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用2 （4 分） （2016 上海）设 z= ，其中 i 为虚数单位，则 Imz= 3 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数 z 的最简形式，由此能求出Imz【解答】解：Z= = = =23i，Imz=3故答案为：3【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用3 （4 分） （2016 上海）已知平行直线 l1：2x+y1=0，l 2：2x+y+1=0，则 l1，l 2 的距离 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可【解答】解：平行直线 l1：2x+y 1
12、=0，l 2：2x+y+1=0，则 l1，l 2 的距离： = 第 6 页（共 21 页）故答案为： 【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力4 （4 分） （2016 上海）某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76 （米） 【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数【解答】解：6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72， 1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，
13、1.80，位于中间的两个数值为 1.75，1.77，这组数据的中位数是： =1.76（米） 故答案为：1.76【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用5 （4 分） （2016 上海）已知点（3，9）在函数 f（x）=1+a x 的图象上，则 f（x）的反函数 f1（x）= log2（x1） （x 1） 【分析】由于点（3，9）在函数 f（x）=1+a x 的图象上，可得 9=1+a3，解得 a=2可得f（x）=1+2 x，由 1+2x=y，解得 x=log2（y1） ， （y1） 把 x 与 y 互换即可得出 f（x）的反函数 f1（x） 【解答】
14、解：点（3，9）在函数 f（x）=1+a x 的图象上， 9=1+a3，解得 a=2f（ x）=1+2 x，由 1+2x=y，解得 x=log2（y 1） ， （y1） 把 x 与 y 互换可得：f（x）的反函数 f1（x）=log 2（x1） 故答案为：log 2（x1） ， （x1） 【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （4 分） （2016 上海）在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 的边长为 3，BD 1 与底面所成角的大小为 arctan ，则该正四棱柱的高等于 2 【分析】根据正四棱柱 ABCDA1B
15、1C1D1 的侧棱 D1D底面 ABCD，判断D 1BD 为直线BD1 与底面 ABCD 所成的角，即可求出正四棱柱的高【解答】解：正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的侧棱 D1D底面 ABCD，第 7 页（共 21 页）D1BD 为直线 BD1 与底面 ABCD 所成的角，tanD1BD= ，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 的边长为 3，BD=3 ，正四棱柱的高=3 =2 ，故答案为：2 【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角7 （4 分） （2016 上海）方程 3sinx=1+cos2x 在区间0，
16、2 上的解为 或 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可【解答】解：方程 3sinx=1+cos2x，可得 3sinx=22sin2x，即 2sin2x+3sinx2=0可得 sinx=2， （舍去）sinx= ，x 0，2 解得 x= 或 故答案为： 或 【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力8 （4 分） （2016 上海）在（ ） n 的二项式中，所有的二项式系数之和为 256，则常数项等于 112 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于 2n=256，求得 n=8在展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开
17、式中的常数项【解答】解：在（ ） n 的二项式中，所有的二项式系数之和为 256，2n=256，解得 n=8，（ ） 8 中，T r+1= = ，第 8 页（共 21 页）当 =0，即 r=2 时，常数项为 T3=（ 2） 2 =112故答案为：112【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题9 （4 分） （2016 上海）已知 ABC 的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 【分析】可设ABC 的三边分别为 a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得 cosC，由同角的平方关系可得 sinC，再由正弦定理可
18、得该三角形的外接圆半径为 ，代入计算即可得到所求值【解答】解：可设ABC 的三边分别为 a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC= = = ，可得 sinC= = = ，可得该三角形的外接圆半径为 = = 故答案为： 【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题10 （4 分） （2016 上海）设 a0，b0，若关于 x，y 的方程组 无解，则 a+b 的取值范围为 （2，+） 【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立 a，b 的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可【解答】解：关于 x，y
19、的方程组 无解，直线 ax+y=1 与 x+by=1 平行，a0，b0， ，即 a1，b1，且 ab=1，则 b= ，则 a+b=a+ ，则设 f（a）=a+ ， （a0 且 a1） ，第 9 页（共 21 页）则函数的导数 f（a）=1 = ，当 0a1 时，f （a）= 0，此时函数为减函数，此时 f（a）f （1）=2，当 a1 时，f （a）= 0，此时函数为增函数，f（ a）f （1）=2，综上 f（a）2，即 a+b 的取值范围是（2，+） ，故答案为：（2，+） 【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键1
20、1 （4 分） （2016 上海）无穷数列a n由 k 个不同的数组成，S n 为a n的前 n 项和，若对任意 nN*，S n2，3，则 k 的最大值为 4 【分析】对任意 nN*，S n2，3 ，列举出 n=1，2，3，4 的情况，归纳可得 n4 后都为0 或 1 或1，则 k 的最大个数为 4【解答】解：对任意 nN*，S n2，3 ，可得当 n=1 时，a 1=S1=2 或 3；若 n=2，由 S22，3，可得数列的前两项为 2，0；或 2，1；或 3，0；或 3，1；若 n=3，由 S32，3，可得数列的前三项为 2，0，0；或 2，0，1；或 2，1，0；或 2，1，1；或 3，0
21、，0；或 3，0， 1；或 3，1，0；或 3，1，1；若 n=4，由 S32，3，可得数列的前四项为 2，0，0，0；或 2，0，0，1；或 2，0，1，0；或 2，0，1，1；或 2，1，0，0；或 2，1，0， 1；或 2，1，1，0 ；或 2，1， 1，1；或 3，0，0，0；或 3， 0，0，1；或 3，0，1，0 ；或 3，0， 1，1；或 3，1，0，0；或 3，1，0，1；或 3，1 ，1，0 ；或 3， 1，1 ，1；即有 n4 后一项都为 0 或 1 或1，则 k 的最大个数为 4，不同的四个数均为 2，0，1，1，或 3，0，1， 1故答案为：4【点评】本题考查数列与集合
22、的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题第 10 页（共 21 页）12 （4 分） （2016 上海）在平面直角坐标系中，已知 A（1，0） ，B（0，1） ，P 是曲线 y=上一个动点，则 的取值范围是 0，1+ 【分析】设 P（cos，sin） ， 0，则 =（1，1） ， =（cos，sin+1） ，由此能求出 的取值范围【解答】解：在平面直角坐标系中，A （1，0） ，B （0， 1） ，P 是曲线 y= 上一个动点，设 P（cos ， sin） ，0， =（1，1） ， =（cos，sin +1） ，=cos+sin+1= ， 的取值范围是0，1+ 故答案为：0，
23、1+ 【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用13 （4 分） （2016 上海）设 a，bR，c 0，2） ，若对于任意实数 x 都有 2sin（3x ）=asin（bx+c） ，则满足条件的有序实数组（ a，b，c）的组数为 4 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同【解答】解：对于任意实数 x 都有 2sin（3x ）=asin （ bx+c） ，必有 |a|=2，若 a=2，则方程等价为 sin（3x ）=sin（bx+c） ，则函数的周期相同，若 b=3，此时 C= ，若 b=3，则 C= ，若 a=2，则
24、方程等价为 sin（3x ）=sin （bx+c）=sin（bx c） ，若 b=3，则 C= ，若 b=3，则 C= ，第 11 页（共 21 页）综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3， ） ， （2，3， ） ， （2， 3， ） ，（2 ，3 ， ） ，共有 4 组，故答案为：4【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键14 （4 分） （2016 上海）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 A1A2A8 的中心，A 1（1，0）任取不同的两点 Ai，A j，点 P 满足 +
25、+ = ，则点 P 落在第一象限的概率是 【分析】利用组合数公式求出从正八边形 A1A2A8 的八个顶点中任取两个的事件总数，满足 + + = ，且点 P 落在第一象限，则需向量 + 的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案【解答】解：从正八边形 A1A2A8 的八个顶点中任取两个，基本事件总数为 满足 + + = ，且点 P 落在第一象限，对应的 Ai，A j，为：（A 4，A 7） ， （A 5，A 8） ， （A 5，A 6） ， （A 6，A 7） ， （A 5，A 7）共 5 种取法点 P 落在第一象限的概率是 ，故答案为： 【点评】本题考查平面向量的综合运
26、用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题二、选择题（54=20 分）15 （5 分） （2016 上海）设 aR，则“a1”是“a 21”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由 a21 得 a1 或 a1，第 12 页（共 21 页）即“a1”是“ a21” 的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础16 （5 分） （2016 上海）下列极坐标方程中，对应的曲线
27、为如图所示的是（ ）A=6+5cos B=6+5sin C=65cos D =65sin【分析】由图形可知： 时， 取得最大值，即可判断出结论【解答】解：由图形可知： 时， 取得最大值，只有 D 满足上述条件故选：D【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17 （5 分） （2016 上海）已知无穷等比数列a n的公比为 q，前 n 项和为 Sn，且=S，下列条件中，使得 2SnS（nN *）恒成立的是（ ）Aa 10，0.6q0.7 Ba 10，0.7q0.6Ca 1 0，0.7 q0.8 Da 10，0.8q0.7【分析】由已知推导
28、出 ，由此利用排除法能求出结果【解答】解： ，S= = ，1q1，2SnS， ，若 a10，则 ，故 A 与 C 不可能成立；若 a10，则 qn ，故 B 成立，D 不成立故选：B第 13 页（共 21 页）【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用18 （5 分） （2016 上海）设 f（x） 、g（x） 、h（x）是定义域为 R 的三个函数，对于命题：f（x）+g （x） 、f（x）+h（ x） 、g（x）+h（x）均为增函数，则 f（x） 、g（x） 、h（x）中至少有一个增函数；若 f（x）+g（x） 、f（x）+h （x ） 、g（x
29、）+h（x）均是以 T 为周期的函数，则 f（x） 、g（x） 、 h（x）均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A和均为真命题 B和均为假命题C为真命题，为假命题 D 为假命题， 为真命题【分析】不成立可举反例：f（x）= g（x）= ，h（x）= 由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T） ，f （x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T ） ，h（x）+g（x）=h （x+T）+g（x+T） ，可得：g（x）=g（x+T） ，h（x）=h（x+T ） ，f （x）=f（x+T） ，即可判断出真假【解答】解：不成立可举反例：f（x）= g（x）=，h（x）= f（
30、x）+g（ x）=f（x+T）+g（x+T） ，f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T） ，h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T） ，前两式作差可得：g（x）h（ x）=g（x+T ）h（x+T ） ，结合第三式可得： g（x）=g（x+T ） ，h（x）=h（x+T） ，同理可得：f（x）=f（x+T ） ，因此正确故选：D【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（74 分）19 （12 分） （2016 上海）将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为 ，A
31、1B1 长为 ，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧（1）求三棱锥 CO1A1B1 的体积；（2）求异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小第 14 页（共 21 页）【分析】 （1）连结 O1B1，推导出O 1A1B1 为正三角形，从而 = ，由此能求出三棱锥 CO1A1B1 的体积（2）设点 B1 在下底面圆周的射影为 B，连结 BB1，则 BB1AA1， BB1C 为直线 B1C 与AA1 所成角（或补角） ，由此能求出直线 B1C 与 AA1 所成角大小【解答】解：（1）连结 O1B1，则O 1A1B1=A1O1B1= ，O1A1B1 为正三角形， = ，= = （2）
32、设点 B1 在下底面圆周的射影为 B，连结 BB1，则 BB1AA1，BB1C 为直线 B1C 与 AA1 所成角（或补角） ，BB1=AA1=1，连结 BC、BO 、OC，AOB=A1O1B1= ， ， BOC= ，BOC 为正三角形，BC=BO=1，tan BB1C=45，直线 B1C 与 AA1 所成角大小为 45【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20 （14 分） （2016 上海）有一块正方形 EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走于是，菜地分别为两个区域 S1 和 S2
33、，其中 S1 中的蔬菜运到河边较近，S 2 中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为（1，0） ，如图第 15 页（共 21 页）（1）求菜地内的分界线 C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍，由此得到 S1 面积的经验值为 设M 是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 S1 面积的“经验值”【分析】 （1）设分界线上任意一点为（x，y）
34、，根据条件建立方程关系进行求解即可（2）设 M（x 0，y 0） ，则 y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形 FOMGH 的面积，进行比较即可【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y） ，由题意得|x+1|= ，得 y=2 ， （0x 1） ，（2）设 M（x 0，y 0） ，则 y0=1，x0= = ，设所表述的矩形面积为 S3，则 S3=2（ +1）=2 = ，设五边形 EMOGH 的面积为 S4，则 S4=S3SOMP+SMGN= 1+ = ，S1S3= = ，S 4S1= = ，五边形 EMOGH 的面积更接近 S1 的面积【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算
35、能力，综合性较强，难度较大第 16 页（共 21 页）21 （14 分） （2016 上海）双曲线 x2 =1（b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，直线 l过 F2 且与双曲线交于 A，B 两点（1）直线 l 的倾斜角为 ， F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设 b= ，若 l 的斜率存在，且（ + ） =0，求 l 的斜率【分析】 （1）利用直线的倾斜角，求出 AB，利用三角形是正三角形，求解 b，即可得到双曲线方程（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出 A、B 坐标，利用向量的数量积为 0，即可求值直线的斜率【解答】解：（1）双曲线 x2 =1（b0）的左、右焦点
36、分别为 F1，F 2，a=1，c 2=1+b2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 ，F 1AB 是等边三角形，可得：A（c，b 2） ，可得： ，3b4=4（a 2+b2） ，即 3b44b24=0，b0，解得 b2=2所求双曲线方程为：x 2 =1，其渐近线方程为 y= x（2）b= ，双曲线 x2 =1，可得 F1（2，0） ，F 2（2，0） 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，直线的斜率为：k= ，直线 l 的方程为：y=k （x 2） ，由题意可得： ，消去 y 可得：（3k 2）x 2+4k2x4k23=0，=36（1+k 2）
37、0，可得 x1+x2= ，第 17 页（共 21 页）则 y1+y2=k（x 1+x24）=k （ 4）= =（x 1+2，y 1） ，=（x 2+2，y 2） ，（ + ） =0 可得：（x 1+x2+4，y 1+y2） （x 1x2，y 1y2）=0，可得 x1+x2+4+（y 1+y2）k=0 ，得 +4+ k=0可得：k 2= ，解得 k= l 的斜率为： 【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用22 （16 分） （2016 上海）已知 aR，函数 f（x）=log 2（ +a） （1）当 a=5 时，解
38、不等式 f（ x）0；（2）若关于 x 的方程 f（x） log2（a 4）x+2a5=0 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围（3）设 a0，若对任意 t ，1 ，函数 f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围【分析】 （1）当 a=5 时，解导数不等式即可（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论 a 的取值范围进行求解即可（3）根据条件得到 f（t）f（t+1） 1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可【解答】解：（1）当 a=5 时，f（x）=log 2（ +5） ，由 f（x）0；得 log2（ +5）
39、0，即 +51，则 4，则 +4= 0，即 x0 或 x ，第 18 页（共 21 页）即不等式的解集为x|x0 或 x （2）由 f（x）log 2（a 4）x+2a5=0 得 log2（ +a）log 2（a 4）x+2a 5=0即 log2（ +a）=log 2（a 4）x+2a5，即 +a=（a 4）x+2a50，则（a4）x 2+（a 5）x1=0，即（x+1） （a 4）x1=0， ，当 a=4 时，方程的解为 x=1，代入，成立当 a=3 时，方程的解为 x=1，代入，成立当 a4 且 a3 时，方程的解为 x=1 或 x= ，若 x=1 是方程的解，则 +a=a10，即 a1，
40、若 x= 是方程的解，则 +a=2a40，即 a2，则要使方程有且仅有一个解，则 1a 2综上，若方程 f（x）log 2（a 4）x+2a5=0 的解集中恰好有一个元素，则 a 的取值范围是1a2，或 a=3 或 a=4（3）函数 f（x）在区间t， t+1上单调递减，由题意得 f（t）f（t+1） 1，即 log2（ +a）log 2（ +a） 1，即 +a2（ +a） ，即 a =设 1t=r，则 0r ，= = ，当 r=0 时， =0，当 0r 时， = ，第 19 页（共 21 页）y=r+ 在（0， ）上递减，r+ = ， = = ，实数 a 的取值范围是 a 【点评】本题主要考
41、查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，难度较大23 （18 分） （2016 上海）若无穷数列a n满足：只要 ap=aq（p，qN *） ，必有 ap+1=aq+1，则称a n具有性质 P（1）若a n具有性质 P，且 a1=1，a 2=2，a 4=3，a 5=2，a 6+a7+a8=21，求 a3；（2）若无穷数列b n是等差数列，无穷数列c n是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b 5=c1=81，a n=bn+cn，判断a n是否具有性质 P，并说明理由；（3）设b n是无穷数列，已知 an+1=bn+sinan（nN *
42、） ，求证：“对任意 a1，a n都具有性质P”的充要条件为“b n是常数列 ”【分析】 （1）利用已知条件通过 a2=a5=2，推出 a3=a6，a 4=a7，转化求解 a3 即可（2）设无穷数列b n的公差为：d，无穷数列c n的公比为 q，则 q0，利用条件求出，d与 q，求出 bn，c n 得到 an 的表达式，推出 a2a6，说明a n不具有性质 P（3）充分性：若b n是常数列，设 bn=C，通过 an+1=C+sinan，证明 ap+1=aq+1，得到a n具有性质 P必要性：若对于任意 a1，a n具有性质 P，得到 a2=b1+sina1，设函数 f（x）=x b1，g（x）
43、=sinx，说明 bn+1=bn，即可说明 bn是常数列【解答】解：（1）a 2=a5=2，a 3=a6，a4=a7=3， a5=a8=2，a 6=21a7a8=16，a 3=16（2）设无穷数列b n的公差为：d，无穷数列c n的公比为 q，则 q0，b5b1=4d=80，d=20， bn=20n19， =q4= ，q= ，c n=an=bn+cn=20n19+ a1=a5=82，而 a2=21+27=48，a 6=101 = a 1=a5，但是 a2a6，a n不具有性质 P（3）充分性：若b n是常数列，设 bn=C，则 an+1=C+sinan，若存在 p，q 使得 ap=aq，则 a
44、p+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1，第 20 页（共 21 页）故a n具有性质 P必要性：若对于任意 a1，a n具有性质 P，则 a2=b1+sina1，设函数 f（x）=x b1，g（x）=sinx，由 f（x） ，g（x）图象可得，对于任意的 b1，二者图象必有一个交点，一定能找到一个 a1，使得 a1b1=sina1，a2=b1+sina1=a1， an=an+1，故 bn+1=an+2sinan+1=an+1sinan=bn，bn是常数列【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大第 21 页（共 21 页）参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；qiss ；沂蒙松； ；双曲线；maths；sxs123 （排名不分先后）菁优网2016 年 6 月 12 日
