1、2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 2002 年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1 （ 4 分） （ 2002上海）若 zC 且（ 3+z） i=1（ i 为虚数单位） ，则 z= _ 2 （ 4 分） （ 2002上海）已知向量 与 的夹角为 120，且 |=2， |=5，则（ 2 ） = _ 3 （ 4 分） （ 2002上海）方程 log3（ 1 23x） =2x+1 的解 x= _ 4 （ 4 分） （ 2002上海）若正四棱锥的底面边长为 cm，体积为 4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 _ 5 （ 4
2、分） （ 2002上海）在二项式（ 1+3x）n和（ 2x+5）n的展开式中，各项系数之和分别记为 an、 bn、 n 是正整数，则 = _ 6 （ 4 分） （ 2002上海）已知圆 x2+（ y 1）2=1 和圆外一点 p（ 2， 0） ，过点 P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 _ 7 （ 4 分） （ 2002上海）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判曰原来的 9 名增至14 名，但只任取其中 7 名裁判的评分作为有效分，若 14 名裁判中有 2 人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 _ （结果用数值表示） 8 （ 4 分） （ 2002上海）曲线
3、 （ t 为参数）的焦点坐标是 _ 9 （ 4 分） （ 2002上海）若 A、 B 两点的极坐标为 ， B（ 6， 0） ，则 AB 中点的极坐标是 _ （极角用反三角函数值表示） 10 （ 4 分） （ 2002上海）设函数 f（ x） = sin2x，若 f（ x+t）是偶函数，则 t 的一个可能值是 _ 11 （ 4 分） （ 2002上海）若数列 an中， a1=3，且 an+1=an2（ nN*） ，则数列的通项 an= _ 12 （ 4 分） （ 2002上海）已知函数 y=f（ x） （定义域为 D，值域为 A）有反函数 y=f1（ x） ，则方程 f（ x） =0 有解 x=
4、a，且 f（ x） x（ xD）的充要条件是 y=f1（ x）满足 _ 二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13 （ 4 分） （ 2002上海）如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ） 2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） A BC D14 （ 4 分） （ 2002上海）已知直线 l、 m，平面 a、 b，且 l a， mb，给出下列四个命题； （ 1）若 a b，则 l m （ 2）若 l m，则 a b （ 3）若 a b，则 l m （ 4）若 l m，则 a b 其中正确命题的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4
5、 个 15 （ 4 分） （ 2002上海）函数 y=x+sin|x|， x ， null的大致图象是（ ） A BCD 16 （ 4 分） （ 2002上海）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（）有一定的关系，图（ 1）表示某年 12 个月中每月的平均气温，图（ 2）表示某家庭在这年 12 个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ） A 气温最高时，用电量最多 B 气温最低时，用电量最少 C 当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加 D 当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加 三、解答题（共 6 小题，满分 86 分） 17 （ 12 分
6、） （ 2002上海）如图，在直棱柱 ABO ABO中， OO=4， OA=4， OB=3，AOB=90， D 是线段AB的中点， P 是侧棱 BB上的一点，若 OP BD，求 OP 与底面 AOB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 18 （ 12 分） （ 2002上海）已知点 A 和 B ，动点 C 与 A、 B 两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 y=x 2 交于 D、 E 两点，求线段 DE 的长 19 （ 14 分） （ 2002上海）已知函数 f（ x） =x2+2xtan 1， （ 1）当 时，求函数 f（ x）
7、的最大值与最小值； （ 2）求 的取值范围，使 y=f（ x）在区间 上是单调函数 20 （ 14 分） （ 2002上海）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范围（ 200， 400）（ 400， 500）（ 500， 700）（ 700， 900） 获得奖券的金额（元） 30 60 100 130 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为 400 元的商品，则消费金额为 320元，获得的优惠额为： 4000.2+30=110（元） ，设购买商品得到的优惠
8、率 = ，试问： （ 1）若购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （ 2）对于标价在 500， 800null（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于 的优惠率？ 21 （ 16 分） （ 2002上海）已知函数 f（ x） =abx的图象过点 A（ 4、）和 B（ 5， 1） （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）记 an=log2f（ n） 、 n 是正整数， Sn 是数列 an的前 n 项和，解关于 n 的不等式 anSn0； （ 3）对于（ 2）中的 an 与 Sn，整数 104是否为数列 anSn中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，
9、则说明理由 22 （ 18 分） （ 2002上海）规定 ，其中 xR， m 是正整数，且 Cx0=1，这是组合数Cnm（ n、 m 是正整数，且 mn）的一种推广 （ 1） 求 C 155的值； （ 2）组合数的两个性质： Cnm=Cnnm； Cnm+Cnm1=Cn+1m是否都能推广到 Cxm（ xR， m 是正整数）的情形？ 若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由 2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 2002 年上海市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1 （ 4 分） （ 2002上海）若 z
10、C 且（ 3+z） i=1（ i 为虚数单位） ，则 z= 3 i 考点 ： 复数代数形式的乘除运算 1825155 分析： 先将（ 3+z） i=1，化简直接解得 Z 的表达式，化简就可以了 解答： 解：因为（ 3+z） i=1，所以 故答案为： 3 i 点评： 本题是基础题目，有两种解法，一是解答方法，二是设 Z=a+bi 代入方程，利用复数相等，求得 z 2 （ 4 分） （ 2002上海）已知向量 与 的夹角为 120，且 |=2， |=5，则（ 2 ） = 13 考点 ： 平面向量数量积的运算 1825155 分析： 根据向量 与 的夹角为 120，且 |=2， |=5可得： （ 2
11、 ） =22 =2，得到答案 解答： 解： 向量 与 的夹角为 120，且 |=2， |=5 （ 2 ） =22 =2 故答案为： 13 点评： 本题主要考查向量数量积的运算法则属基础题 3 （ 4 分） （ 2002上海）方程 log3（ 1 23x） =2x+1 的解 x= 1 考点 ： 对数的运算性质 1825155 专题 ： 计算题 分析： 由 log3（ 1 23x） =2x+1，知 1 23x=32x+1，故 3（ 3x）2+23x 1=0，由此能够求出方程的解 解答： 解： log3（ 1 23x） =2x+1， 1 23x=32x+1， 3（ 3x）2+23x 1=0， ，或
12、3x= 1（舍） 故答案为： 1 点评： 本题考查对数的运算性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答 4 （ 4 分） （ 2002上海）若正四棱锥的底面边长为 cm，体积为 4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 30 考点 ： 二面角的平面角及求法 1825155 专题 ： 计算题 分析： 求出正四棱锥的底面面积，利用体积求出正四棱锥的高，找出侧面与底面所成的二面角，然后求出它的大小 2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 解答： 解：作出几何体的图形， SO 底面 ABCD，连接 BC 的中点 EO，则SEO 就是侧面与底面所成的二面角的平面角 底面面积为： ，所以 SO=
13、=1， 所以 tanSEO= = = ，SEO=30 故答案为： 30 点评： 本题是基础题，考查二面角的平面角的求法，本题的关键是求出正四棱锥的高，找出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力 5 （ 4 分） （ 2002上海）在二项式（ 1+3x）n和（ 2x+5）n的展开式中，各项系数之和分别记为 an、 bn、 n 是正整数，则 = 考点 ： 数列的极限；二项式定理 1825155 专题 ： 计算题 分析： 先求出各项系数之和 an、 bn，代入所求极限表达式，再由极限运算法则可求 解答： 解：由题可知：二项式（ 1+3x）n和（ 2x+5）n的展开式中，分别令 x=1 即可得 a
14、n=4n、 bn=7n， 将 an=4n、 bn=7n，代入 =， 故答案为： 点评： 本题有两点注意： （ 1）用特殊值求二项式展开式各项系数和，高考中常在填空中出现 （ 2）分式极限求解法则要熟练掌握 6 （ 4 分） （ 2002上海）已知圆 x2+（ y 1）2=1 和圆外一点 p（ 2， 0） ，过点 P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 考点 ： 两直线的夹角与到角问题；直线与圆的位置关系 1825155 专题 ： 计算题 分析： 由题意知，过点 P 作圆的切线，其中一条切线是 x 轴，另一条切线设为 l，点斜式设出直线 l 的方程，由圆心（ 0， 1）到直线 l 的距离等于半
15、径，求出直线 l 的斜率 k， k 值即为所求 解答： 解：由题意知，过点 P 作圆的切线，其中一条切线是 x 轴，另一条切线设为 l，设直线 l 的方程为 y 0=k（ x+2） ，即 kx y+2k=0，由圆心（ 0， 1）到直线 l 的距离等于半径 1 2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 可得 =1， k=0（舍去）或 k= ， 故两切线夹角的正切值即直线 l 的斜率 ， 故答案为 点评： 本题考查求圆的切线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，以及求两直线的夹角的方法 7 （ 4 分） （ 2002上海）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判曰原来的 9
16、 名增至14 名，但只任取其中 7 名裁判的评分作为有效分，若 14 名裁判中有 2 人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 （结果用数值表示） 考点 ： 等可能事件的概率 1825155 专题 ： 计算题 分析： 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 14 名裁判中选出 7 个，共有 C147种结果，满足条件的事件是选出的 7 个人中没有受贿裁判，共有 C127，根据等可能事件的概率公式得到结果 解答： 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是从 14 名裁判中选出 7 个，共有 C147种结果 满足条件的事件是选出的 7 个人中没有受贿裁判，共有
17、C127 有效分中没有受贿裁判评分的概率 P= = ， 故答案为： 点评： 本题考查等可能事件的概率公式，考查利用概率知识解决实际问题，是一个基础题，解决这种题目的关键是弄清题意，特别是本题的满足条件的事件数的做法 8 （ 4 分） （ 2002上海）曲线 （ t 为参数）的焦点坐标是 （ 0.1） 考点 ： 抛物线的简单性质 1825155 专题 ： 计算题 分析： 先通过消去参数把参数方程转化为普通方程，进而利用换元法，先令 Y=y 1， X=x+1，在抛物线的标准方程下求得焦点的横坐标和纵坐标，再转化会来，求得焦点的坐标 解答： 解：消去曲线参数方程中的参数 t 得（ y 1）2=4（
18、x+1） ， 令 Y=y 1， X=x+1 则抛物线方程得 Y2=4X 其焦点坐标为（ 1， 0） 即，x=0， y=1 焦点坐标（ 0， 1） 2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 故答案为： （ 0， 1） 点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质，参数方程问题考查了学生对基础知识的综合把握 9 （ 4 分） （ 2002上海）若 A、 B 两点的极坐标为 ， B（ 6， 0） ，则 AB 中点的极坐标是 （极角用反三角函数值表示） 考点 ： 极坐标刻画点的位置 1825155 专题 ： 计算题 分析： 先求出 A 的直角坐标，再求 A、 B 的中点坐标，然后求出极径和极角，即可得到
19、结果 解答： 解： A 的直角坐标为： （ 2， 2 ） ，所以 AB 的中点坐标为： （ 4， ）所以极径为： ；极角为： ，tan= 所以 =arctan ； AB 中点的极坐标是： 故答案为： 点评： 本题是基础题，考查极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力，注意极角的求法 10 （ 4 分） （ 2002上海）设函数 f（ x） = sin2x，若 f（ x+t）是偶函数，则 t 的一个可能值是 考点 ： 正弦函数的奇偶性 1825155 专题 ： 开放型 分析： 由函数的解析式求出 f（ x+t）的解析式，根据题意和余弦函数的奇偶性，利用诱导公式求出 t 的所有取值的集合，再求出其中一
20、个值即可 解答： 解： f（ x） = sin2x， f（ x+t） = sin2（ x+t） = sin（ 2x+2t） ， f（ x+t）是偶函数， 2t= ， （ kz） ，即 t= ， （ kz） ， 则 t 的一个可能值是 故答案为： 点评： 本题考查了余弦函数的奇偶性的应用，先由根据题意对函数解析式进行化简后，再诱导公式和函数的奇偶性求出解集，在解集中任取一个值即可，本题是一个开放性的题目只要答案符合题意就可以 11 （ 4 分） （ 2002上海）若数列 an中， a1=3，且 an+1=an2（ nN*） ，则数列的通项 an= 32n1 考点 ： 数列递推式 1825155
21、专题 ： 计算题 分析： 由递推公式 an+1=an2多次运用迭代可求出数列 an=an 12=an 24=a12n1解答： 解：因为 a1=3 多次运用迭代，可得 an=an 12=an 24=a12n1=32n1， 故答案为： 32n1点评： 本题主要考查利用迭代法求数列的通项公式，迭代中要注意规律，灵活运用公式，熟练变形是解题的关键2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 12 （ 4 分） （ 2002上海）已知函数 y=f（ x） （定义域为 D，值域为 A）有反函数 y=f1（ x） ，则方程 f（ x） =0 有解 x=a，且 f（ x） x（ xD）的充要条件是 y=f1（
22、 x）满足 f1（ 0） =a，且 f1（ x） x（ xA） /y=f1（ x）的图象在直线 y=x 的下方，且与 y 轴的交点为（ 0，a） 考点 ： 反函数；必要条件、充分条件与充要条件的判断 1825155 专题 ： 综合题 分析： 利用函数与反函数图象关于直线 y=x 对称，由 f（ a） =0 可得 f1（ 0） =a；由 f（ x） x（ xD）可得 f1（ x） x， xA 解答： 解：因为函数与反函数图象关于直线 y=x 对称， f（ x） =0 有解 x=a，故 f1（ 0） =a f（ x） x（ xD） ， f1（ x） x， xA 即 y=f1（ x）的图象在直线 y
23、=x 的下方，且与 y 轴交与点（ 0， a） ， 故答案为： f1（ 0） =a， f1（ x） x， xA或 y=f1（ x）的图象在直线 y=x 的下方，且与 y 轴交与点（ 0， a） 点评： 本题考查函数与反函数的图象间的关系，反函数的定义 二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13 （ 4 分） （ 2002上海）如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ） A BC D考点 ： 复数的基本概念；元素与集合关系的判断 1825155 专题 ： 数形结合 分析： 由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界） ，且复数对应点的纵坐标大于或等于 解答
24、： 解：由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界） ， 且复数对应点的纵坐标大于或等于 ， 故有 |z|1， Imz ， 故选 D 点评： 本题考查复数的有关概念，复数与其对应点间的关系，体现了数形结合的数学思想 14 （ 4 分） （ 2002上海）已知直线 l、 m，平面 a、 b，且 l a， mb，给出下列四个命题； （ 1）若 a b，则 l m （ 2）若 l m，则 a b （ 3）若 a b，则 l m （ 4）若 l m，则 a b 其中正确命题的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 考点 ： 平面与平
25、面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系 1825155 专题 ： 综合题 分析： （ 1）由垂直于平行平面中的一个则垂直另一个判断 （ 2）由直线与平面的位置关系判断 （ 3）由线面垂直的性质定理判断 （ 4）由平行线中的一条垂直该平面，则另一条也垂直这个平面判断 解答： 解： （ 1）若 a b， l a 则 l b，又 mb l m故不正确 （ 2）若 l m， l a，则直线 m 与平面 a，可能平行，相交或在平面内，故不正确 （ 3）若 a b， mb， ma 或 m a，又 l a， l m，故不正确 （ 4）若 l m， mb， l b， a b正确 故选 A 点评： 本
26、题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题 15 （ 4 分） （ 2002上海）函数 y=x+sin|x|， x ， null的大致图象是（ ） A BCD 考点 ： 函数的图象；正弦函数的图象 1825155 专题 ： 作图题；分类讨论 分析： 本题考查的是函数的图象问题在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答 解答： 解：由题意可知： ， 当 0x 时， y=x+sinx， y=1+cosx0，又 y=cosx 在 0， null上为减函数，所以函数 y=x+sinx
27、 在 0， null上为增函数且增速越来越小； 当 x 0 时， y=x sinx， y=1 cosx0，又 y=cosx 在 ， 0）上为增函数，所以函数 y=x sinx在 0， null上为增函数且增速越来越小； 又函数 y=x+sin|x|， x ， null，恒过（ ， ）和（ ， ）两点，所以 C 选项对应的图象符合 故选 C 点评： 本题考查的是函数的图象问题在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化的思想值得同学们体会和反思 16 （ 4 分） （ 2002上海）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（）有一定的关系，图（ 1）表示某年 12 个月中每月的平均
28、气温，图（ 2）表示某家庭在这年 12 个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ） 2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） A 气温最高时，用电量最多 B 气温最低时，用电量最少 C 当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加 D 当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加 考点 ： 分布的意义和作用 1825155 专题 ： 图表型 分析： 根据所给的两个图，可以看出在气温比较低的 1， 2 月份，用电量很高，到 4， 5 月份，气温适中，这时用电量最少，到 7， 8 月份，气温是一年中最高的时候， 8 月份，气温和用电量都达到最高值，得
29、到结论 解答： 解：根据所给的两个图，可以看出在气温比较低的 1， 2 月份，用电量很高， 到 4， 5 月份，气温适中，这时用电量最少， 到 7， 8 月份，气温是一年中最高的时候，这时，用电量最大， 8 月份，气温和用电量都达到最高值， 即当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加， 故选 C 点评： 本题考查读图的作用，考查分布的意义，是一个比较简单的题目，类似的问题在高考题目中出现过，注意观察图形的变化特点 三、解答题（共 6 小题，满分 86 分） 17 （ 12 分） （ 2002上海）如图，在直棱柱 ABO ABO中， OO=4， OA=4， OB=3，AOB=90， D 是线段
30、AB的中点， P 是侧棱 BB上的一点，若 OP BD，求 OP 与底面 AOB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 考点 ： 直线与平面所成的角 1825155 专题 ： 计算题 分析： 如图，以 O 点为原点建立空间直角坐标系求出 B， D设 P（ 3， 0， z） ，推出， 利用 . 说明POB 是 OP 与底面 AOB 所成的角，然后求出， 解答： 解：如图，以 O 点为原点建立空间直角坐标系 由题意，有 B（ 3， 0， 0） ， 设 P（ 3， 0， z） ，则 ， BD OP， . 2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） BB 平面 AOB， POB 是 OP 与底面
31、AOB 所成的角 . ， 点评： 本题是基础题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角的求法，空间想象能力，计算能力，常考题型 18 （ 12 分） （ 2002上海）已知点 A 和 B ，动点 C 与 A、 B 两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 y=x 2 交于 D、 E 两点，求线段 DE 的长 考点 ： 双曲线的应用 1825155 专题 ： 计算题 分析： 根据题意，动点 C 与 A、 B 两点的距离之差的绝对值为 2，则点 C 的轨迹为双曲线，结合双曲线的定义，可得点 C 的轨迹方程，联立直线与双曲线的方程，化简可得 x2+4x 6=0，设 D（ x
32、1， y1） 、 E（ x2， y2） ，由根与系数的关系可得 x1+x2= 4， x1x2= 6，结合弦长公式计算可得答案 解答： 解：设点 C（ x， y） ，则 |CA| |CB|=2 根据双曲线的定义，可知点 C 的轨迹是双曲线 由 2a=2，得a2=1， b2=2 故点 C 的轨迹方程是 由 ，得 x2+4x 6=0 0， 直线与双曲线有两个交点 设 D（ x1， y1） 、 E（ x2， y2） ，则 x1+x2= 4， x1x2= 6 故 点评： 本题考查双曲线的应用，涉及弦长公式，是一道典型的解析几何的题目，平时注意加强这方面的训练 19 （ 14 分） （ 2002上海）已知
33、函数 f（ x） =x2+2xtan 1， （ 1）当 时，求函数 f（ x）的最大值与最小值； （ 2）求 的取值范围，使 y=f（ x）在区间 上是单调函数 2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 考点 ： 函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质；正切函数的单调性 1825155 专题 ： 计算题 分析： （ 1）将 的值代入，通过配方求出二次函数的对称轴，求出二次函数的最小值 （ 2）通过配方求出二次函数的对称轴，据二次函数的单调性与对称轴的关系，列出不等式，通过解三角不等式求出 解答： 解： （ 1）当 时， ， ， 时， f（ x）的最小值为 x= 1 时， f（ x）的最大
34、值为 （ 2）函数 f（ x） =（ x+tan）2 1 tan2 图象的对称轴为 x= tan y=f（ x）在区间 上是单调函数 tan 1 或 tan ， 即 tan1 或 tan， 因此 的取值范围是 点评： 本题考查二次函数的最值的求法、考查二次函数的单调性：在对称轴处分成两个单调区间 20 （ 14 分） （ 2002上海）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范围（ 200， 400）（ 400， 500）（ 500， 700）（ 700， 900） 获得奖券的金额（元）
35、30 60 100 130 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为 400 元的商品，则消费金额为 320元，获得的优惠额为： 4000.2+30=110（元） ，设购买商品得到的优惠率 = ，试问： （ 1）若购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （ 2）对于标价在 500， 800null（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于 的优惠率？ 考点 ： 不等式的综合 1825155 专题 ： 应用题 分析： 本题考查的是不等式的应用问题在解答时： （ 1）直接根据购买商品得到的优惠率 = ，即可获得问题的解答； （ 2）由
36、于标价在 500， 800null（元）内的商品，其消费金额满足： 4000.8x640，所以要结合消费金额（元）的范围进行讨论，然后解不等式组即可获得问题的解答 解答： 解： （ 1）由题意可知： 故购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是 33% （ 2）设商品的标价为 x 元 则 500x800，消费额： 4000.8x640 由已知得（） 或 （） 2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 不等式组（）无解，不等式组（）的解为 625x750 因此，当顾客购买标价在 625， 750null元内的商品时， 可得到不小于 的优惠率 点评： 本题考查的是不等式的应用问题在
37、解答的过程当中充分体现了应用题要仔细审题的特点，同时分类讨论的思想在问题解答过程中也得到了淋漓尽致的体现 21 （ 16 分） （ 2002上海）已知函数 f（ x） =abx的图象过点 A（ 4、）和 B（ 5， 1） （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）记 an=log2f（ n） 、 n 是正整数， Sn 是数列 an的前 n 项和，解关于 n 的不等式 anSn0； （ 3）对于（ 2）中的 an 与 Sn，整数 104是否为数列 anSn中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由 考点 ： 数列与函数的综合；函数解析式的求解及常用方法 1825155 专题 ： 计算
38、题；转化思想 分析： （ 1）由点 A（ 4、）和 B（ 5， 1）在图象上，则有 ， 1=ab5，从而求得 a， b得到函数解析式 （ 2）由题意 再由前 n 项和公式求得，从而由 anSn0，建立关于 n 的不等式（ n 5） （ n 9） 0 可得结果 （ 3）结合（ 2）来论证 104最近的项，能不能找到相应的 n 和它对它即可 解答： 解： （ 1）由 ， 1=ab5，得 b=4， 故 （ 2）由题意 ， anSn=2n（ n 5） （ n 9） 由 anSn0，得（ n 5） （ n 9） 0，即 5n9 故 n=5， 6， 7， 8， 9 （ 3） a1S1=64， a2S2=8
39、4， a3S3=72， a4S4=40 当 5n9 时， anSn0 当 10n22 时， anSna22S22=9724 104 当 n23 时， anSna23S23=11592 104 因此， 104不是数列 anSn中的项 点评： 本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了数列的通项和前 n 项和公式，及构造数列研究数列的规律等问题，属于难题 22 （ 18 分） （ 2002上海）规定 ，其中 xR， m 是正整数，且 Cx0=1，这是组合数Cnm（ n、 m 是正整数，且 mn）的一种推广 （ 1） 求 C 155的值； （ 2）组合数的两个性质： Cnm=Cnnm； Cnm+C
40、nm1=Cn+1m是否都能推广到 Cxm（ xR， m 是正整数）的情形？ 2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由 考点 ： 组合及组合数公式 1825155 专题 ： 计算题；证明题；新定义 分析： （ 1）根据所给的组合数公式，写出 C 155的值，这里与平常所做的题目不同的是组合数的下标是一个负数，在本题的新定义下，按照一般组合数的公式来用 （ 2） Cnm=Cnnm不能推广到 Cxm的情形，举出两个反例 ， 无意义； Cnm+Cnm1=Cn+1m能推广到 Cxm的情形，可以利用组合数的公式来证明，证明的方法同没有推广之情相
41、同 解答： 解： （ 1） C 155= 11628； （ 2） Cnm=Cnnm不能推广到 Cxm的情形， 例如 ， 无意义； Cnm+Cnm1=Cn+1m能推广到 Cxm的情形， Cxm+Cxm1= =Cx+1m 点评： 本题考查组合数公式，不是在一般的情况下应用组合数公式，而是对于组合数公式推广使用，是一个中档题，题目解起来容易出错这种题目对于学生帮助不大 2003 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 2003 年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1 （ 4 分） （ 2003上海）函数 的最小正周期 T= _ 2 （ 4 分） （
42、 2003上海）若 x= 是方程 2cos（ x+） =1 的解，其中 （ 0， 2） ，则 = _ 3 （ 4 分） （ 2003上海）在等差数列 an中， a5=3， a6= 2，则 a4+a5+a10= _ 4 （ 4 分） （ 2003上海）在极坐标系中，定点 A ，点 B 在直线 cos+sin=0 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的极坐标是 _ 5 （ 4 分） （ 2003上海）在正四棱锥 P ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为 60，则异面直线 PA 与 BC所成角的大小等于 _ （结果用反三角函数值表示） 6 （ 4 分） （ 2003上海）设集合 A=x|x
43、| 4， B=x|x2 4x+3 0，则集合 x|xA 且 xAB= _ 7 （ 4 分） （ 2003上海） ABC 中，若 sinA： sinB： sinC=2： 3： 4，则 cos2C= _ 8 （ 4 分） （ 2003上海）若首项为 a1，公比为 q 的等比数列 an的前 n 项和总小于这个数列的各项和，则首项 a1，公比 q 的一组取值可以是（ a1， q） = _ 9 （ 4 分） （ 2003上海）某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、 4 个法国人和 5 个中国人组成现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 _ （结果用分数表示） 10 （ 4
44、 分） （ 2003上海）方程 x3+lgx=18 的根 x _ （结果精确到 0.1） 11 （ 4 分） （ 2003上海）已知点 ，其中 n 的为正整数设 Sn 表示 ABC 外接圆的面积，则 = _ 12 （ 4 分） （ 2003上海）给出问题： F1、 F2 是双曲线 =1 的焦点，点 P 在双曲线上若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9，求点 P 到焦点 F2 的距离某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，由 |PF1| |PF2|=8，即 |9|PF2|=8，得 |PF2|=1 或 17 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下
45、面空格内 _ 二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13 （ 4 分） （ 2003上海）下列函数中，既为偶函数又在（ 0， ）上单调递增的是（ ） A y=tg|x| B y=cos（ x） CD 2003 年上海市高考数学试卷及解析（理科） 14 （ 4 分） （ 2003上海）在下列条件中，可判断平面 与 平行的是（ ） A 、 都垂直于平面 r B 内存在不共线的三点到 的距离相等 C l ， m 是 内两条直线，且 l ， m D l ， m 是两条异面直线，且 l ， m ， l ， m 15 （ 4 分） （ 2003上海） a1、 b1、 c1、 a2、 b2、 c2 均为非零实数，不等式 a1x2+b1x+c1 0 和 a2x2+b2x+c2 0 的解集分别为集合 M 和 N，那么 “”是 “M=N”的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 16 （ 4 分） （ 2003上海） f（ x）是定义在区间 c， cnull上的奇函数，其图象如图所示：令 g（ x） =af（ x） +b，则下列关于函数 g（ x）的叙述正确的是（ ） A 若 a 0，则函数 g（ x）的图象关于原点对称 B 若 a= 1， 2 b 0，则方程 g（ x） =0 有大于 2 的实
