1、2012 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷共 5 页. 150 分.考试时长 120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题。每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1已知集合 A=xR|3x+20 B=x R|（x+1）(x-3) 0 则 AB=A （- ，-1 ） B （-1，- 23） C （- ,3）D (3,+)【解析】和往年一样，依然的集合(交集) 运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因为 0|xxR，利用
2、二次不等式可得 1|xB或 3画出数轴易得： 3|故选 D【答案】D2设不等式组 20,yx，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（A） 4 （B） （C） 6 （D） 4【解析】题目中 20yx表示的区域如图正方形所示，而动点 D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此 421P，故选 D。【答案】D3设 a，bR。“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】当 0时，如果 0b同时等于零，此时 0bia是实数，不是纯虚数，因此不
3、是充分条件；而如果 ia已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a，因此想必要条件，故选 B。【答案】B4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】 0k， 1ks， 2ks， 2ks， 8s，循环结束，输出的 s 为 8，故选 C。【答案】5.如图. ACB=90，CDAB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E.则( )A. CECB=ADDB B. CECB=ADABC. ADAB=CD D.CEEB=CD 【解析】在 ACB中，ACB=90，CDAB 于点 D，所以 DBAC2,由切割线定理的 ED2,所以 CECB
4、=ADDB。【答案】A6.从 0，2 中选一个数字.从 1.3.5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24 B. 18 C. 12 D. 6【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3 种选择) ，之后十位(2 种选择)，最后百位(2 种选择)，共 12 种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位 (3 种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是 0，一种情况)，共 6 种，因此总共 12+6=18 种情况。【答案】B7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28
5、+6 5 B. 30+6 5 C. 56+ 12 5 D. 60+12 5【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10底S， 后 ， 10右S， 56左 ，因此该几何体表面积5630左右后底 SS，故选 B。【答案】B8.某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高。m 值为（ ）A.5 B.7 C.9 D.11【解析】由图可知 6,7,8,
6、9 这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选 C。【答案】C第二部分(非选择题共 110 分 )二.填空题共 6 小题。每小题 5 分。共 30 分.9直线 tyx(12为参数)与曲线 (sin3coyx为参数) 的交点个数为_。【解析】直线的普通方程 01，圆的普通方程为 92yx，可以直线圆相交，故有 2 个交点。【答案】210已知 na等差数列 nS为其前 n 项和。若 21a， 3aS，则 2=_。【解析】因为 11132132 dda ，所以 12d， nn 4)(2。【答案】 a， S4211在ABC 中，若 =2，b+c=7 ，cosB= 1，则 b=_。【解析】在ABC
7、 中，利用余弦定理 cbacbB4)(12cos cb4)(7，化简得： 0478b，与题目条件 7联立，可解得 .2,3a【答案】412在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60.则OAF 的面积为 【解析】由 y42可求得焦点坐标 F(1,0)，因为倾斜角为 60，所以直线的斜率为360tank，利用点斜式，直线方程为 3xy，将直线和曲线联立)32,1(42BAxy，因此 32121AOAFyS【答案】 313已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，
8、则 CBDE的值为_， DCE的最大值为_。【解析】根据平面向量的数量积公式 ACBcos|，由图可知，|cos|A，因此 1|2D，cos|CDEcos|E，而cs|就是向量 在 边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时 E 点与 B 点重合，射影为DC，所以长度为 1【答案】1，114.已知 )3)(2)(mxxf ， 2(xg，若同时满足条件： R， 0或 g； )4,(x, (xf)。则 m 的取值范围是_。 【解析】根据 02)(xg，可解得 1x。由于题目中第一个条件的限制 Rx，0)(xf或 成立的限制，导致 )(在 时必须是 0)(xf的。当 m时，不能做到 )(xf在 1时
9、 xf，所以舍掉。因此， 作为二次函数开口只能向下，故 m，且此时两个根为 m21， 3。为保证此条件成立，需要421321x，和大前提 0取交集结果为 04m；又由于条件2：要求 ),(， )(xgf0 的限制，可分析得出在 ),(x时， )(xf恒负，因此就需要在这个范围内 有得正数的可能，即 4应该比 21两根中小的那个大，当 )0,1(m时， 43，解得，交集为空，舍。当 m时，两个根同为42，舍。当 )1,(时， 2m，解得 ，综上所述 )2,4(【答案】 2,(（lbylfx）三、解答题公 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15 （本小题共 13 分）
10、已知函数 xxfsin2)co()。（1）求 的定义域及最小正周期；（2）求 )(xf的单调递增区间。解（1）： sin0()kZ得：函数 ()fx的定义域为 ,xkZ(cosin2)sico2sxfxi21)()14x得： )(xf的最小正周期为 2T；（2）函数 siny的单调递增区间为 ,()2kkZ则 32488kxx得： )(xf的单调递增区间为 3,)(,()88kkkZ16 （本小题共 14 分）如图 1，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且DEBC ，DE=2，将ADE 沿 DE 折起到A 1DE 的位置，使 A1CCD,如图
11、 2.(I)求证： A1C 平面 BCDE；(II)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；(III)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由解： （1） CDE， 1A平面 1，又 1A平面 ，E又 1CD，平面 B。（2）如图建系 xyz，则 20， ， ， 023A， ， ， 0B， ， ， 20E， ， 103A， ， , 1AE， ，设平面 B法向量为 nxyz， ，则 10nAE 320xy 32yx 2， ，又 103M， ，C， ，zyxA1 (0,0,23)D (-2,0,0) E (-2,2,0)B (0
12、,3,0)C (0,0,0)M 1342cos|4CMn， 与平面 1ABE所成角的大小 5。（3）设线段 上存在点 P，设 点坐标为 0a， ， ，则 03，则 1023Pa， ， ， 2D， ，设平面 A法向量为 11nxyz， ， ，则 11230ayzx 1162zaxy 16na， ， 。假设平面 1ADP与平面 1BE垂直，则 10， 320， 612a， ， a， 不存在线段 C上存在点 P，使平面 1ADP与平面 1BE垂直。17 （本小题共 13 分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民
13、生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100可回收物 30 240 30其他垃圾 20 20 60（）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（）试估计生活垃圾投放错误额概率；（）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为cba,其中 a0， cb=600。当数据 cba,的方差 2s最大时，写出 cba,的值（结论不要求证明） ，并求此时 2s的值。（注： )()()(1222 xxxns n ，其中 为数据 nx,21 的平均数）解
14、：（）由题意可知： 40=63。（）由题意可知： 2+1。（）由题意可知： 221(10)3sabc，因此有当 60a， b， 0c时，有280s18 （本小题共 13 分）已知函数 2()10fxa， 3()gxb.（1）若曲线 y与曲线 y在它们的交点 1,c处具有公共切线，求 a， b的值；（2）当 24ab时，求函数 ()fxg的单调区间，并求其在区间 ,1上的最大值.解：（）由 1c， 为公共切点可得：2()(0)fx，则 ()2fa， 1k，3gb，则 =3xb， 3，a又 (1)f， (1)g，b，即 a，代入 式可得： 3ab（2） 24a， 设 321()()4hxfgxx则
15、 221()34hxa，令 0，解得： 1a， 26；0a， 6，原函数在 2a， 单调递增，在 26a， 单调递减，在 6a， 上单调递增若 12a ，即 时，最大值为2(1)4ah；若 6，即 6a时，最大值为 1若 1a 时，即 时，最大值为 2ah综上所述：当 02a， 时，最大值为2(1)4a；当 ,时，最大值为 12ah19 （本小题共 14 分）已知曲线 22:58CmxymR.（1）若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围；（2）设 4，曲线 与 轴的交点为 A， B（点 位于点 的上方） ，直线ykx与曲线 C交于不同的两点 M， N，直线 1y与直线 M交于点 G，求证
16、： A， ，N三点共线.解：（1）原曲线方程可化简得：22185xym由题意可得：852082m，解得： 75（2）由已知直线代入椭圆方程化简得： 2(1)6240kxk，2=3()k，解得： 23k由韦达定理得： 216MNx， 21MNxk，设 (,4)Nxk， (,4)k， ()G，B方程为： 62Mxy，则 316Mx， ，316MAGxk， 2NAk，欲证 N， ， 三点共线，只需证 G， A共线即 3(2)6MNxkx成立，化简得： (3)6()MNNkxx将代入易知等式成立，则 ， ， 三点共线得证。 （lby lfx）20 （本小题共 13 分）设 A是由 mn个实数组成的 行
17、 n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零. 记 ,Smn为所有这样的数表组成的集合. 对于 ,ASmn，记 ()irA为A的第 i行各数之和（ 1i） ， ()jcA为 的第 j列各数之和（ 1j） ；记()k为 1r， 2()A， ， mr， 1， 2()c， ()nc中的最小值.（1）对如下数表 ，求 ()k的值；0.80. 0.3 1（2）设数表 2,AS形如求 ()kA的最大值；（3）给定正整数 t，对于所有的 2,1ASt，求 ()kA的最大值.解：（1）由题意可知 1.2r， .r， c， 20.7c， 31.8cA 0.7kA（2）先用反证法证明 k ：若
18、1k则 |1cAa， 0a同理可知 0b， b由题目所有数和为即 1ac b与题目条件矛盾 1kA 易知当 0ab时， 1kA存在 k的最大值为 1（3） A的最大值为 2t.首先构造满足 ()kt的 ,(1,2,.1)ijAajt：1,21,1,2,. .ttttaa，1 1 ca b 122,1, 2,1,22,1. .()t ttttaaaa.经计算知， A中每个元素的绝对值都小于 1，所有元素之和为 0，且121|()|tr， 212 21|()|.|()|1()ttttcc，1221|.|tt tttAA.下面证明 t是最大值. 若不然，则存在一个数表 (2,1)ASt，使得()2k
19、x.由 A的定义知 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x，而两个绝对值不超过1 的数的和，其绝对值不超过 2，故 A的每一列两个数之和的绝对值都在区间 ,2x中. 由于 x，故 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于 1.设 A中有 g列的列和为正，有 h列的列和为负，由对称性不妨设 gh，则,1gth. 另外，由对称性不妨设 A的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑 的第一行，由前面结论知 的第一行有不超过 t个正数和不少于 1t个负数，每个正数的绝对值不超过 1（即每个正数均不超过 1） ，每个负数的绝对值不小于 x（即每个负数均不超过 x）. 因此 11|()|()2()21()rAtxtxt，故 的第一行行和的绝对值小于 ，与假设矛盾. 因此 kA的最大值为 t。 （lby lfx）
