1、2006年上海高考数学试卷（理科）一填空题（本大题共48分）1 已知集合A = 1 , 3 , 2m 1 ，集合B = 3 , m2 。若B A，则实数m =_。2 已知圆x2 4x 4 +y2 = 0的圆心是点P，则点P到直线x y 1 = 0的距离是_。3 若函数f(x) = ax（a 0且a 1）的反函数的图像过点( 2 , 1 )，则a =_。4 计算：=_。5 若复数z同时满足（i为虚数单位）。则=_。6 如果，且a是第四象限的角，那么=_。7 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(, 0 )，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_。8 在极坐标系中，是极点，设点。则OAB的面积
2、是_。9 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本。将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_。（结果用分数表示）10 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_。11 若曲线y2 = |x| + 1与直线y = kx + b没有公共点，则k , b分别应满足的条件是_。12 三个同学对问题“关于x的不等式x2 + 25 + |x3 5x2| ax在 1 , 12 上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路。 甲说：“只须不等式左边的
3、最小值不小于右边的最大值”。 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值” 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是_。二选择题（本大题共16分）13 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）ADCB(A) (B)(C) (D)14 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（ ）(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件15 若关于x的不等式( 1 + k2 )x k4 + 4的解集是
4、M，则对任意实常数k，总有（ ）(A) 2 M , 0 M (B) 2 M , 0 M (C) 2 M , 0 M (D) 2 M , 0 M16 如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O。对于平面上任意一点M，若p , q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对( p , q )是点M的“距离坐标”。已知常数p 0 , q 0，给出下列三个命题： 若p = q = 0，则“距离坐标”为( 0 , 0 )的点有且仅有1个。 若pq = 0，且p + q 0，则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有2个。 若pq 0，则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有4个。上述命题中
5、，正确命题的个数是（ ）(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3三解答题（本大题86分）17（本小题满分12分）求函数的值域和最小正周期。18（本小题满分12分） 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）?19（本小题满分14分） 在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形。DAB = 60，对角线AC与BD相交于点O，PO 平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60。(1) 求四棱锥P-ABCD的体积；(
6、2) 若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。20（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2 = 2x相交于A , B两点。(1) 求证：“如果直线l过点T( 3 , 0 )，那么”是真命题；(2) 写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。21（本小题满分16分）已知有穷数列an共有2k项（整数k 2），首项a1 = 2。设该数列的前n项和为Sn，且an+1 = ( a 1 )Sn + 2 ( n = 1 , 2 , 2k 1 )，其中常数a 1。(1) 求证：数列an是等比数列；(2) 若，数列bn满足(
7、n = 1 , 2 , 2k )，求数列bn的通项公式；(3) 若(2)中的数列bn满足不等式+ 4，求k的值。22（本小题满分18分）已知函数有如下性质：如果常数a 0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。(1) 如果函数( x 0 )的值域为，求b的值；(2) 研究函数（常数c 0）在定义域内的单调性，并说明理由；(3) 对函数和（常数a 0）作出推广 ，使它们都是你所推广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）。参考答案一填空题：1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、； 7、；8、5 ；
8、 9、 ； 10、36 ； 11、； 12、；二选择题：13、C ； 14、A ； 15、A ； 16、D三解答题17 解 函数的值域是,最小正周期是；18 解 连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700. 于是,BC=10. , sinACB=, ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.19 解（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角, PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1, 由POBO,于是,PO=BOtg60=,而底面菱形的面积为2.四棱锥P-ABCD的体积V=2=2.
9、（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在RtAOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,0),B (1,0,0), D (1,0,0), P (0,0, ).E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).设的夹角为,有cos=,=arccos,异面直线DE与PA所成角的大小是arccos； 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点,得EFPA，FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)，在RtAOB中AO=ABcos30=OP，于是, 在等腰RtPOA中，PA=，则EF=.在正
10、ABD和正PBD中,DE=DF=， cosFED=异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.20 解（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,). =3； 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中， 由得 又 ， ， 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程
11、为：，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).21 (1) 证明 当n=1时,a2=2a,则=a； 2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k). （3）设bn,解得nk+,又n是正整数,
12、于是当nk时, bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.22 解（1）函数y=x+(x0)的最小值是2，则2=6, b=log29. (2) 设0x1x2,y2y1=. 当x1y1, 函数y=在,+)上是增函数； 当0x1x2时y20),其中n是正整数. 当n是奇数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数, 在(,上是增函数, 在,0)上是减函数； 当n是偶数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数, 在(,上是减函数, 在,0)上是增函数； F(x)=+ = 因此F(x) 在 ,1上是减函数,在1,2上是增函数. 所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()n+()n； 当x=1时F(x)取得最小值2n+1；- 9 -
