1、高中数学试卷中心 第 1 页2006 年上海高考数学试卷（理科）一填空题：（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）1 已知集合 A = 1 , 3 , 2m 1 ，集合 B = 3 , m2 。若 B A，则实数m =_。2 已知圆 x2 4x 4 +y2 = 0 的圆心是点 P，则点 P 到直线 x y 1 = 0 的距离是_。3 若函数 f(x) = ax（a 0 且 a 1）的反函数的图像过点( 2 , 1 )，则 a =_。4 计算： =_。1nClim35 若复数 z 同时满足 （i 为虚数单位） 。则 =_。z,i2zz6 如果 ，且是第四象限的角，那么 =_。5co
2、s )2cos(7 已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F( , 0 )，且长轴长是短轴长的 23倍，则该椭圆的标准方程是_。8 在极坐标系中， 是极点，设点 。则OAB 的面积是O)65,(B),4A_。9 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 1 本，共 8 本。将它们任意地排成一排，左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是_。 （结果用分数表示）10如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对” 。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_。11若曲线 y2 = |x| + 1 与直线 y = kx + b 没
3、有公共点，则 k , b 分别应满足的条件是_。12三个同学对问题“关于 x 的不等式 x2 + 25 + |x3 5x2| ax 在 1 , 12 上恒成立，求实数 a 的取值范围 ”提出各自的解题思路。甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 。高中数学试卷中心 第 2 页乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是_。二选择题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结
4、论中错误的是（ ）(A) (B)DCABACBD(C) (D)014若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（ ）(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件15若关于 x 的不等式( 1 + k2 )x k4 + 4 的解集是 M，则对任意实常数 k，总有（ ）(A) 2 M , 0 M (B) 2 M , 0 M (C) 2 M , 0 M (D) 2 M , 0 M16如图，平面中两条直线 l1和 l2相交于点 O。对于平面上任意一点 M，若 p , q 分别是 M到直线 l1和 l2的距离，则称有序
5、非负实数对( p , q )是点 M 的“距离坐标” 。已知常数 p 0 , q 0，给出下列三个命题：若 p = q = 0，则“距离坐标”为( 0 , 0 )的点有且仅有 1 个。若 pq = 0，且 p + q 0，则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有 2 个。若 pq 0，则“距离坐标 ”为( p , q ) 的点有且仅有 4 个。上述命题中，正确命题的个数是（ ）AD CB高中数学试卷中心 第 3 页(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3三解答题：（本大题共 6 小题，共 86 分）17 （本小题满分 12 分）求函数 的值域和最小正周期。x2sin3)4xcos()
6、s(2y18 （本小题满分 12 分）如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1）？高中数学试卷中心 第 4 页19 （本小题满分 14 分）在四棱锥 P-ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形。 DAB = 60，对角线 AC 与 BD 相交于点O，PO 平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成角为 60。(1) 求四棱锥 P-ABCD 的体积；(2) 若 E 是 PB 的中点，求异面
7、直线 DE 与 PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 。20 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y2 = 2x 相交于 A , B 两点。(1) 求证：“如果直线 l 过点 T( 3 , 0 )，那么 ”是真命题；3O(2) 写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。高中数学试卷中心 第 5 页21 （本小题满分 16 分）已知有穷数列a n共有 2k 项（整数 k 2） ，首项 a1 = 2。设该数列的前n 项和为 Sn，且 an+1 = ( a 1 )Sn + 2 ( n = 1 , 2 , 2k 1 )，其中常数 a
8、1。(1) 求证：数列a n是等比数列；(2) 若 ，数列b n满足 ( n = 1 , 2 , 2k )，1k2a )a(log1b21n求数列b n的通项公式；(3) 若(2)中的数列 bn满足不等式 + + +|23|1|b|23b|1k 4，求 k 的值。|23b|k高中数学试卷中心 第 6 页22 （本小题满分 18 分）已知函数 有如下性质：如果常数 a 0，那么该函数在 上xay a,0(是减函数，在 上是增函数。),(1) 如果函数 ( x 0 )的值域为 ，求 b 的值；2yb),6(2) 研究函数 （常数 c 0）在定义域内的单调性，并说明理由；2(3) 对函数 和 （常数
9、 a 0）作出推广 ，使它们都是xay2x你所推广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明） ，并求函数 （n 是正整数）在区2n2)x1()()F间 上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 。2,1高中数学试卷中心 第 7 页2006 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）1 解：由 ，经检验， 为所求；1m1m2 解：由已知得圆心为： ，由点到直线距离公式得： ；(,)P|201|d3解：由互为反函数关系知， 过点 ，代入得： ；xf,2)a4 解： ；3 3223 3(1lilililim16)!(1)!()!nnn
10、CAAA5解：已知 ；2iZi6解：已知 ；26cos()s(cos)57 解：已知 为所求；2224,31614(,0)bayxacF8解：如图OAB 中， 54,5,236OABO(平方单位) ；1sin26SA9 解： 分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有 种方法； 2) 剩下的一套全排列，有124CP种方法；4所以，所求概率为： ；12483510 解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成 24 个“正交线面对” ；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成 12 个“正交线高中数学试卷中心 第 8 页面对” ，所以共有 36 个“
11、正交线面对” ；11 解：作出函数 的图象，21,0|xy如右图所示：所以， ；0,(,)kb12 解：由 25 | 5 | ，2x32x25,12|aaxx而 ，等号当且仅当 时成立；0A1,且 ，等号当且仅当 时成立；2|5,所以， ，等号当且仅当 时成立；故 ；2min5|1ax5,2x(,10a二 13 解：由向量定义易得， （C）选项错误； ；ABD14 解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上” ；2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内” ；必要性不成立：“四个点在同
12、一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上” ；故选（A）15 解：选（A）方法 1：代入判断法，将 分别代入不等式中，判断关于 的不等式解集是2,0xk否为 ；R方法 2：求出不等式的解集： 4xk)(；2min255(1)(1)25xkk16 解：选（D） 正确，此点为点 ； 正确，注意到 为常数，由 中必有一个为零，另O,pq,pq一个非零，从而可知有且仅有 2 个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为 （或 ） ； 正确，四个交点为与直线 相距为 的两条平行线和与直线qp1l 2l相距为 的两条平行线的交点；三解答题17 解 2cos()s()3sin24yxxA B
13、 CD高中数学试卷中心 第 9 页221(cosin)3si3i()6xx 函数 的值域是 ,最小正周期是 ；2coss()3sin24yxx218 解 连接 BC,由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700.于是,BC=10 .7 , sinACB= ,10sinsiACB73ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东 71方向沿直线前往 B 处救援.19 解 （1）在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO平面 ABCD,得PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, PBO=60.在 RtAOB 中 BO=ABsin30=1, 由 POBO,于是,PO=BOtg60= ,而
14、底面菱形的面积为 2 .33四棱锥 P-ABCD 的体积 V= 2 =2.1（2）解法一：以 O 为坐标原点,射线 OB、OC、OP 分别为 x 轴、 y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系.在 RtAOB 中 OA= ,于是,点 A、B 、3D、P 的坐标分别是 A(0, ,0),B (1,0,0), D (1,0,0), P (0,0, ).E 是 PB 的中点,则 E( ,0, ) 于是 =( ,0, ), =(0, , ).21DE23AP3设 的夹角为 ,有 cos= ,=arccos ,AP与434 2高中数学试卷中心 第 10 页异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arc
15、cos ；42解法二：取 AB 的中点 F,连接 EF、DF.由 E 是 PB 的中点,得 EFPA，FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角(或它的补角) ，在 RtAOB 中 AO=ABcos30= =OP，3于是, 在等腰 RtPOA 中，PA= ，则 EF= .62在正ABD 和正PBD 中,DE=DF= ，3cosFED= =461DEF异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos .4220 解 （1）设过点 T(3,0)的直线 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x 2,y2).l当直线 的钭率不存在时,直线 的方程为 x=3,此时,直线 与抛物线相交于点 A(3, )、lll6B(3, ). =3；6OBA当直线 的钭率存在时,设直线 的方程为 ，其中 ，ll(3)ykx0k由 得 2(3)yxk212606y又 ，121, ，21()34OABxyy综上所述，命题“如果直线 过点 T(3,0)，那么 =3”是真命题；lOBA(2)逆命题是：设直线 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 =3,那么该直线过点 T(3,0).该l命题是假命题.
