1、酒不治秃 资料整理 酒不治秃 资料整理 第 1 页 共 7 页2009 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分. 以下每道小题均给出了代号为A，B ， C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）1已知非零实数 a，b 满足 ，则 等于（ 224(3)4ababab） （A）1 （B）0 （C）1 （D）2【答】C 解：由题设知 a3，所以，题设的等式为 ，于是2(3)0bab，从而 132ab， b2如图，菱形 ABCD 的边长为 a，点 O 是对角线 AC 上的一点，且O
2、Aa，OB OCOD1，则 a 等于（ ） （A） （B） （C）1 （D）25252【答】A 解：因为BOC ABC，所以 ，即 ，所以，BCA1a210a由 ，解得 52a3将一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为 ，第二次掷出的点数为 ，则使关于 x，y 的方程组ab只有正数解的概率为（ ） 2axby，（A） （B） （C） （D）192185361【答】D解：当 时，方程组无解当 时，方程组的解为0ab02ba62,3.bxay（第 2 题）酒不治秃 资料整理 酒不治秃 资料整理 第 2 页 共 7 页由已知，得 即 或
3、 由 ， 的实际意义为,023,6ba,32,0ab.3,20abab1，2，3，4，5，6，可得共有 5210 种情况；或 共 3 种情况b， ， ， ， ， ， 1456ab， ， ，又掷两次骰子出现的基本事件共 6636 种情况，故所求的概率为 14如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，ABDC， . 动点 P 从点90BB 出发，沿梯形的边由 BC DA 运动. 设点 P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 y. 把y 看作 x 的函数，函数的图像如图 2 所示，则ABC 的面积为（ ） （A）10 （B）16 （C）18 （D）32【答】B解：根据图像可得 BC4，CD5，DA5
4、，进而求得 AB8，故 SABC 8416.125关于 x，y 的方程 的整数解（x ，y）的组数为（ ） 229xy（A）2 组 （B）3 组 （C）4 组 （D）无穷多组【答】C解：可将原方程视为关于 的二次方程，将其变形为 22(9)0xy由于该方程有整数根，则判别式 ，且是完全平方数由 0 ，解得 于是2224(9)716yy2y16.570 1 4 9 16116 109 88 53 4显然，只有 时， 是完全平方数，符合要求216y4（第 4 题）图 1 图 2酒不治秃 资料整理 酒不治秃 资料整理 第 3 页 共 7 页当 时，原方程为 ，此时 ；4y2430x12,3x当 y4
5、 时，原方程为 ，此时 34所 以，原方程的整数解为 1,4;xy2,;xy31,;xy43,.xy二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶 5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km 【答】3750解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k,则安装在前轮的轮胎每行驶 1 km磨损量为 ,安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位50k 30k置前走了 x km，
6、交换位置后走了 y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有两式相加，得 ，,3,50kykx ()()2503kxyk则 23710y7已知线段 AB 的中点为 C，以点 A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段 AB 的延长线上取点 D，使得 BDAC ；再以点 D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与A 分别相交于 F，G 两点，连接 FG 交AB 于点 H，则 的值为 B解：如图，延长 AD 与D 交于点 E，连接 AF，EF 由题设知 ， ，在FHA 和EFA 中，13AC13A90EFAH所以 Rt FHARtEFA， . 而 ，所FHEAHFB（第 7 题）酒不治秃 资料整
7、理 酒不治秃 资料整理 第 4 页 共 7 页以 .AHB138已知 是满足条件 的五个不同的整数，若12345aa， ， ， ， 123459aa是关于 x 的方程 的整数根，则 的值为 b12320xxb【答】 10 解：因为 ，123459bababa且 是五个不同的整数，所有 也12345a， ， ， ， 12345ba， ， ， ，是五个不同的整数又因为 ，所以097 由 ，可12345bbaba123459a得 09如图，在ABC 中，CD 是高，CE 为 的平分ACB线若 AC15，BC20，CD12，则 CE 的长等于 【答】 解：如图，由勾股定理知 AD9，BD 16，所60
8、27以 ABAD BD25 故由勾股定理逆定理知 ACB 为直角三角形，且 作 EFBC，垂足为 F设 EFx，由 ，得90ACB 1452ECFABCFx，于是 BF20x由于 EFAC，所以 ，即 ，A0x解得 所以 6076027E1010 个人围成一个圆圈做游戏游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来若报出来的数如图所示，则报 3 的人心里想的数是 【答】 解：设报 3 的人心里想的数是 ，则报 5 的人心里想的数应是 2x8x于是报 7 的人心里想的数是 ，报 9 的人心里想的数是 12(8)x
9、（第 9 题）（第 10 题）酒不治秃 资料整理 酒不治秃 资料整理 第 5 页 共 7 页，报 1 的人心里想的数是 ，报 3 的人心里想的16(4)2x20(1)8x数是 所以 ，解得 8x4x三、解答题（共 4 题，每题 20 分，共 80 分）11已知抛物线 与动直线 有公共点 ， ，且2ycty)12( ),(1yx),(2.3221tx（1）求实数 t 的取值范围；（ 2）当 t 为何值时，c 取到最小值，并求出 c 的最小值.解：1.联立 与 ，消去 y 得二次方程 2yxt)1( 2(1)0xt有实数根 ， ，则 所以1x2212,c21()()cx= 5 分2()3tt264
10、)t把式代入方程得 10 分()(30xtt 的取值应满足 0， 221t且使方程有实数根，即 0，2()(64)tt287t解不等式得 -3 或 1，解不等式得 .tt t所以，t 的取值范围为 . 2t215 分(2) 由式知 .22131(364)()ctt由于 在 时是递增的，所以，当 时,2)tt2t. 20 分2min3162()4c12已知正整数 满足 ，且 ，求满足条件的所有可能的正整数 的a3909aa和酒不治秃 资料整理 酒不治秃 资料整理 第 6 页 共 7 页解：由 可得 ，3192a3192a62且 5 分3()()1()a因为 是奇数，所以 等价于 ，又因为 ，所以
11、6363(1)a等价于 因此有 ，于是可得 15 分31a1a9292k又 ，所以 因此，满足条件的所有可能的正整0290k， ， ，数 的和为 11192（1210）10571 20 分13已知 为 的直径，弦 ，连接 过点 作 的ABO/DCABOD垂线，与 的延长线交于点 ，过点 作 的平行线交 于点 ，ECF过点 作 的平行线交 于点 求证： DCFGG证明：连接 AD，BC，因为四边形 是平行四边形，所以 AE由于 ，因此有 ，于是可得AB， DB 10 分E又因为 与 相切于点 ，所以 结合 ，可得 DOCA/GC，GCAEGB于是 四点共圆因此点 在 上，从而有 20 分B， ，
12、 ， OB14n 个正整数 满足如下条件： ；12na， ， ， 1209naa且 中任意 n1 个不同的数的算术平均数都是正整数求 n 的最大值12na， ， ，解：设 中去掉 后剩下的 n1 个数的算术平均数为正整数 ，12， ， ， i ib即 i， ， ， 12()iiaab于是，对于任意的 1 n，都有 ，ij1jiijbn从而 5 分()jina由于 是正整数，故 10 分11208bn32由 1121nnaa ，()（第 13 题）酒不治秃 资料整理 酒不治秃 资料整理 第 7 页 共 7 页所以， 2008，于是 n 45. 结合 ，所以，n 9 15 分2(1)n3125n另一方面，令 ， ，2380,8aa871a，则这 9 个数满足题设要求综上所述，n 的最大值为 9. 20 分925
