1、2013 年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.计算 （ ）432412（A） （B）1 （C） （D ）22.满足等式 的所有实数 的和为（ ）2mm（A）3 （B）4 （C）5 （D ）63.已知 AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点， ， 的平分线交圆 O 于点15CABCD，若 ，则 AB=（ ）3（A）2 （B） （C） （D ）3624.不定方程 的全部正整数角（x,y）的组数为（ ）2375170xy（A）1 （B）2 （C）3 （D ）45 矩形 ABCD 的边长 AD=3，AB=2，E 为 AB 的中点，F 在线段 BC
2、上，且BF：FC=1：2，AF 分别与 DE，DB 交于点 M，N ，则 MN=（ ）（A） （B） （C） （D ）37514952815286.设 n 为正整数，若不超过 n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称 n 为“好数” ，那么，所有“好数”之和为（ ）（A）33 （B）34 （C）2013 （D ）2014二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）1.已知实数 满足 则 ,xyz4,129,yzxy3xyz2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成 个相同的小正方体，若只有一面是3()n红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则 n= 3.在 中， ，D
3、，E，F 分别在 AB，BC，CA 上，则ABC:60,75,10CAB的周长最小值为 DEF:4.如果实数 满足 ，用 A 表示 的,xyz228yzxyz,xyzx最大值，则 A 的最大值为 第二试（A ）一、 （本题满分 20 分）已知实数 满足 求,abcd22236,acbdabc的值。22abcd二、 （本题满分 25 分）已知点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上，过点 B、C 作圆 O 的切线，交于点 P，连 AC，若 ，求 的值。92OAPB三、 （本题满分 25 分）已知 是一元二次方程 的一个根，若正整数 使t210x,abm得等式 成立，求 的值。31atmbtab第二
4、试（B）一、 （本题满分 20 分）已知 ，若正整数 使得等式21t,abm成立，求 的值。17atmbtab二、 （本题满分 25 分）在 中，ABAC，O、I 分别是 的外心和内心，且满足ABCABCAB-AC=2OI。求证：（1）OI BC；（2） 。2AOCBAOISS三、 （本题满分 25 分）若正数 满足,abc，2222 3bcacc求代数式 的值。22222abbcca2013 年全国初中数学联合竞赛试题解析第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.计算 （B）432412（A） （B）1 （C） （D ）22.满足等式 的所有实数 的和为（A ）21mm（A）
5、3 （B）4 （C）5 （D ）63.已知 AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点， ， 的平分线交圆 O 于点15CABCD，若 ，则 AB=（A ）3（A）2 （B） （C） （D ）3624.不定方程 的全部正整数角（x,y）的组数为（B）2375170xy（A）1 （B）2 （C）3 （D ）45 矩形 ABCD 的边长 AD=3，AB=2，E 为 AB 的中点，F 在线段 BC 上，且BF：FC=1：2，AF 分别与 DE，DB 交于点 M，N ，则 MN=（C）（A） （B） （C） （D ）37514952815286.设 n 为正整数，若不超过 n 的正整数中质数的个数等
6、于合个数，则称 n 为“好数” ，那么，所有“好数”之和为（B）（A）33 （B）34 （C）2013 （D ）2014二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）1.已知实数 满足 则 4 ,xyz4,129,yzxy3xyz2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成 个相同的小正方体，若只有一面是3(2)n红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则 n= 8 3.在 中， ，D ，E，F 分别在 AB，BC，CA 上，则ABC:60,75,10CAB的周长最小值为 DEF4.如果实数 满足 ，用 A 表示 的,xyz228yzxyz,xyzx最大值，则 A 的最大值为
7、 463第二试（A ）一、 （本题满分 20 分）已知实数 满足 求,abcd22236,acbdabc的值。22abcd解：设 ，则2,mnc221.mnc因为 ，即 ，所以23414mn6mn 1又因为 22222abcdacbdabc6cd 2由 ， 可得 即 1 2 6.mn22abcd注：符合条件的实数 存在且不唯一，,d就是一组。232,1,abc二、 （本题满分 25 分）已知点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上，过点 B、C 作圆 O 的切线，交于点 P，连 AC，若 ，求 的值。92OAPB解：连 OC，因为 PC，PB 为圆 O 的切线，所以POC=POB。又因为 OA=
8、OC，所以OCA=OAC。又因为COB=OCA+OAC，所以 2POB=2OAC，所以POB=OAC，所以 OPAC。又POB=OAC，所以 ，所以 。BCP:ACBOP又 ，AB=2r，OB=r（r 为圆 O 的半径） ，代入可求得92OPAOP=3r,AC= r.3在 中，由勾股定理可求得 。RtB:2PBr所以 。23PrAC三、 （本题满分 25 分）已知 是一元二次方程 的一个根，若正整数 使t210x,abm得等式 成立，求 的值。1atmbtab解：因为 是一元二次方程 的一个根，显然 是无理数，且 。t20xt21t等式 即 ，31ab231abtmtm即 ，即21tmt 23
9、0.abtab因为 是正整数， 是无理数，所以 于是可得,abmt20,31mab 231,.abm因此， 是关于 的一元二次方程 的两个整数根，该方,x2 2xx程的判别式 231450.又因为 是正整数，所以 ，从而可得,ab0abm31m又因为判别式 是一个完全平方数，验证可知，只有 符合要求。6把 代入可得6m2315.第二试（B）一、 （本题满分 20 分）已知 ，若正整数 使得等式21t,abm成立，求 的值。17atmbtab解：因为 ，所以223.t等式 即ttm217,tm即 ，231abab整理得 2230ab于是可得 27,1.abm因此， 是关于 的一元二次方程 的两个
10、整数根，,x2 2(17)0xmx 1方程 的判别式 1 2241747.m又因为 是正整数，所以 ，从而可得,abm0ab12又因为判别式 是一个完全平方数，验证可知，只有符合要求，8把 代入得 。217二、 （本题满分 25 分）在 中，ABAC，O、IABC分别是 的外心和内心，且满足 AB-AC=2OI。AB求证：（1）OI BC；（2） 。2AOCBAOISS证明（1）作 OMBC 于 M，INBC 于 N。设 BC= ，AC= ，AB= 。abc易求得 CM= ，CN= ，所以 MN=CM-CN= =OI，21ab12cb又 MN 恰好是两条平行线 OM，IN 之间的垂线段，所以
11、OI 也是两条平行线 OM，IN 之间的垂线段，所以 OIMN，所以 OIBC。（2）由（1）知 OMNI 是矩形，连接 BI，CI，设 OM=IN= （即为 的内切圆半径） ，rABC则 1122212.2AOCBAOICIAIIBAOIBIIIIIIIAOI AOISSSSrrABrrbc: :三、 （本题满分 25 分）若正数 满足,a，求代数式2222 3bcacbcb的值。22222abcc解：由于 具有轮换对称性，不妨设,a0.abc（1）若 ，则 ，从而得：c,cabc22211,ba222,cbca2221,abcab所以 ，与已知条件矛盾。2222 3cabcc（2）若 ，则 ，从而可得：ab0,22011,cac222,babcca222011,b222 ,acab所以 ，与已知条件矛盾。2222 3cbaccb综合（1） （2）可知：一定有 .于是可得22221,1,1bcacca所以22222.bc
