1、中国数学教育网 http:/ 第 1 页 http:/ http:/共 10 页2005 年全国初中数学联赛决赛试卷一、选择题：(每题 7 分，共 42 分)1、化简： 的结果是。11459+3026402 A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数2、圆内接四条边长顺次为 5、10、11、14；则这个四边形的面积为。A、78.5 B、97.5 C 、90 D、1023、设 r4，a ， b ，1r+ 1r+c ，则下列各式一定成立的是。r()A、abc B、bca C、cab D、cba4、图中的三块阴影部分由两个半径为 1 的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之
2、和，则这两圆的公共弦长是。A、 B、 C 、 D、526215 216 5、已知二次函数 f(x)ax 2bxc 的图象如图所示， y记 p|ab c|2ab|， q|a bc|2ab| ，则。A、pq B、pq C、pbc B、bca C、cab D、cba解法 1：用特值法，取 r=4，则有a= ，b ，4520 25151.03602c 1.18(+)cba，选 D510 1114180-中国数学教育网 http:/ 第 4 页 http:/ http:/共 10 页解法 2：a ，11rrb 1rrc 1r(+)4,1101,101,:,Drrrrrrabrrrrrbcabc故又 故
3、综 上 所 述 选 解法 3：r4 1r 11a brrc rraq B、pq C、p0，c=0p|ab|2ab|，q|ab|2ab|又 1,2,0,02bababa从 而p|ab|2ab|b-a+2a+b=a+2b=2b+a，q|ab|2ab|= abb-2a=2b-apq，选 C 6、若 x1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005x 1)(2005x 2)(2005x 3)(2005x 4)(2005x 5)24 2，则 的未位数字是。221345+A、1 B、3 C、5 D、7解：因为 x1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，所以(2005x
4、1)、(2005x 2)、(2005x 3)、(2005x 4)、(2005x 5)为互不相等的偶数而将 242分解为 5 个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：24 22(-2)46(-6)所以(2005x 1)、(2005x 2)、(2005x 3)、(2005x 4)、(2005x 5)分别等于 2、(-2)、4、6、(-6)所以(2005x 1)2(2005x 2)2(2005x 3) 2(2005x 4) 2(2005x 5) 22 2(-2) 24 26 2(-6) 296展开得： 123451234550-4+96 222135x+x=960xxmodA ， 选 二、填空题(共
5、28 分)1、不超过 100 的自然数中，将凡是 3 或 5 的倍数的数相加，其和为。解 ： (31 32 333) (51 52 520) (151 152 156) 1683 1050 315 24182、 x。7x+97x+=7 ， 则解：分子有理化得： 2214=7935+13，y0 1 x中国数学教育网 http:/ 第 6 页 http:/ http:/共 10 页x0， 22227x+913-7x5+13=7x+9137x5+13 ， 即 两边平方化简得： 5再平方化简得： 2 4840()73x， 解 之 得 或 舍 去3、若实数 x、y 满足 则 xy。33y=1,+6 33
6、=1,5+6解法 1：假设 xya，则 yax3 23333644,1 即 3 233333556,64462xax 即 2333332155546a 得 ： =解法 2：易知 3 33146xyttt、 是 关 于 的 方 程 的 两 根化简得： 2 340txy335462由 韦 达 定 理 得 ： 4、已知锐角三角形 ABC 的三个内角 A、B、C 满足：ABC，用 a 表示 AB，BC 以及 90A 中的最小者，则 a 的最大值为。解： min,90 ,62370901515,4BCAA 另 一 方 面 ， 当 时 ，有 满 足 题 设 条 件 ， 故可 取 得 最 大 值三、解答题(
7、第 1 题 20 分，第 2、3 题各 25 分)中国数学教育网 http:/ 第 7 页 http:/ http:/共 10 页1、a、b、c 为实数，ac0，且 ，证明：一元二次方程2a+3b5c=0ax2bxc0 有大于 而小于 1 的根。34解：设 2fxabc393146421f abc 则 52a+3b5c=0,3ac 2 6159169461335825061196403cacaaccc 304f一元二次方程 ax2bxc0 有大于 而小于 1 的根.342、锐角 ABC 中，ABAC，CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，DE 与 BC 的延长线于交于 T，过 D 作 BC
8、 的垂线交 BE 于 F，过 E 作 BC 的垂线交 CD 于 G，证明：F、G、T 三点共线。证法 1：设过 D、E 的垂线分别交 BC 于 M、N，在 RtBEC 与 RtBDC 中，由射影定理得：CE2CNCB，BD 2BMBC 2CNBM又 RtCNG RtDCB，RtBMF RtBEC， ,DCEGFBM TNGFM EDB CA中国数学教育网 http:/ 第 8 页 http:/ http:/共 10 页 21GNBDECBEBCEFMD在 RtBEC 与 RtBDC 中，由面积关系得：BECEENBC，BDCDDMBC 2TN由(1)(2)得： , .GNTFGFA又 ， 、
9、、 三 点 共 线证法 2：设 CD、BE 相交于点 H，则 H 为ABC的垂心，记 DF、EG、AH 与 BC 的交点分别为M、N、RDMAREN DFAEGN由合比定理得： , , .ENTFGTFMDM故 、 、 三 点 共 线证法 3：在ABC 中，直线 DET 分别交 BC、CA、AB 于 T、E、D，由梅涅劳斯定理得：1()BTCEAD 设 CD、BE 相交于点 H，则 H 为ABC 的垂心，AHBCDFBC、EGBCAH DF EG ,11CEGADFBTCGFHBH代 入 得由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T 三点共线.证法 4：连结 FT 交 EN 于 G，易知DEFMN为
10、了证明 F、G、T 三点共线，只需证明即可RHTNGFMEDB CAHTNGFMEDB CAGTNGFMEDB CA中国数学教育网 http:/ 第 9 页 http:/ http:/共 10 页12sinsinBDFMABESDABECMC12iissCEGNN 又 ,BBD sin,FAMCEsin1ACDB CDAB、BECA，B、D、E、C 四点共圆ABEACD (2)又 (3),sinsinsinsinBEBC将(2) (3)代入（1）得： ，故 F、G、T 三点共线.N3、设 a、b、c 为正整数，且 a2b 3c 4，求 c 的最小值。解：显然 c1.由题设得：(c 2-a)(c
11、2+a)=b3若取 221,则由大到小考察 b，使 为完全平方数，易知当 b8 时，c 236，则 c=6，从而a=28。下面说明 c 没有比 6 更小的正整数解，列表如下：c c4 x3(x3c4) c4-x32 16 1,8 17,83 81 1,8,27,64 80,73,54,174 2561,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,405 6251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113显然，表中 c4-x3的值均不是完全平方数。故 c 的最小值为 6中国数学教育网 http:/ 第 10 页 http:/ http:/共 10 页参考答案：一、1、D 原式=22114(53)(54)72、C 52+142=221=102+112 A、 C 都是直角3、D 4、D 5、C 6、A二、1、2418 2、 3、xy3 34 35 36 3432 4、15127三、1、略 2、略 3、c 的最小值为 6。
