1、1中国教育学会中学数学教学专业委员会2012 年全国初中数学竞赛试题一 二 三题 号15 610 11 12 13 14 总 分得 分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交.一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分. 每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0分）1（甲） 如果实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，那么代数abc式 可以化简为（ ） 22|()|abcABCD a1（乙） 如果 ，那么 的值为（ ） 2123aA
2、B C2 D 22（甲） 如果正比例函数 与反比例函数 的图象有两个交点，其中一0yax 0byx个交点的坐标为 ，那么另一个交点的坐标为（ ） 32，A B C D，32，23，32，2（乙） 在平面直角坐标系 中，满足不等式 的整数点坐标 的个数为xOy2xyy xy，（ ） A10 B 9 C7 D53（甲） 如果 为给定的实数，且 ，那么 这四个数据的平ab， 1ab121aba， ， ，均数与中位数之差的绝对值是（ ） A1 B C D242423（乙） 如图，四边形 中， 、 是对角线， 是等边三角形 ，ABCDBABC 30ADC， ，则 的长为（ ） AD5BA B4 C D4
3、.52 254（甲） 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：“你若给我 2 元，我的钱数将是你的 倍” ；小玲对小倩说：“你若给我 元，我的钱数将是你的 2 倍” ，其中 为正整nn n数，则 的可能值的个数是（ ） A1 B2 C3 D44（乙） 如果关于 的方程 是正整数）的正根小于 3，那么这样的方程的个x20pxq（ ，数是（ ） A5 B6 C7 D85（甲） 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，2，3，4，5，6掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以 4 的余数分别是 0，1，2，3 的概率为 ，则0123p， ， ，中最大的是（ ） 012
4、3p， ， ，A B C D0 1p2p35（乙） 黑板上写有 共 100 个数字每次操作先从黑板上的数中选取 2 个数230， ， ， ， ，然后删去 ，并在黑板上写上数 ，则经过 99 次操作后，黑板上剩下的数是（ ab， ab， ab） A2012 B101 C100 D99二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6（甲） 按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值 x”到“结果是否 ”为487?一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么 的取值范围是 .x6（乙）. 如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么abc9abc1109abca的值为 abcc37（甲）
5、如图，正方形 的边长为 2 ， 、 分别是 、 的中点， 与 、ABCD15EFABCAFDE分别交于点 、 ，则 的面积是 .DBMN7（乙） 如图， 的半径为 20， 是 上一点。以 为对角线作矩形 ，且 .O AO AOBAC12延长 ，与 分别交于 两点，则 的值等于 BC DE， CBD8（甲） 如果关于 的方程 的两个实数根分别为 ， ，那么 的x223904kxk1x2201x值为 8（乙） 设 为整数，且 . 若 能被 5 整除，则所有 的个数为 .n10n 22(3)()nnn9（甲） 2 位八年级同学和 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼m此恰好比赛
6、一场记分规则是：每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分；平局各得 1 分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为 130 分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则 的值为 .m9（乙） 如果正数 ， ， 可以是一个三角形的三边长，那么称 是三角形数若xyz xyz（ ， ， ）和 均为三角形数，且 ，则 的取值范abc（ ， ， ） 1abc， ， abc a围是 .10（甲） 如图，四边形 内接于 ， 是直径，ABCDO AB. 分别延长 ， ，交点为 . 作 ，并与 的ADCEFCE延长线交于点 . 若 ， ，则 的长为 .FE610（乙） 已知 是偶数，且 若有唯一的正整数对 使得 成立，则这
7、n10n ab（ ， ） 2n样的 的个数为 n4三、解答题（共 4 题，每题 20 分，共 80 分）11（甲） 已知二次函数 ，当 时，恒有 ；关于 的方程232yxmx（ ） 13x0yx的两个实数根的倒数和小于 求 的取值范围2320xmx（ ） 90m11（乙） 如图，在平面直角坐标系 中， ， ， xOy8ABAC4sin5B与 轴交于点 ，且 . 已知经过 ， ， 三点的图象是一条抛物线，求这条CDyECEADS E抛物线对应的二次函数的解析式.12（甲） 如图， 的直径为 ， 过点 ，且与 内切于点 为 上的点，O AB1O O BCO与 交于点 ，且 点 在 上，且 ，BE
8、的延长线与 交于点 ，求OC1 DCEDCE1 F证： 1BF 12（乙） 如图， 的内接四边形 中， ， 是它的对角线， 的中点 是OAABCDBACI的内心. 求证：ABD（1） 是 的外接圆的切线；IB（2） .2D513（甲） 已知整数 ， 满足： 是素数，且 是完全平方数. abaab当 时，求 的最小值.201a13（乙） 凸 边形中最多有多少个内角等于 ？并说明理由n15014（甲） 求所有正整数 ，使得存在正整数 ，满足 ，且n12201xx， ， ， 12201xx.12201xx14（乙） 将 任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数 （可以23n， ， ， 2 abc，
9、 ，相同）使得 ，求 的最小值bac67中国教育学会中学数学教学专业委员会2012 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1（甲） C解：由实数 ， ， 在数轴上的位置可知abc，且 ，0bacb所以 22|()|()()caca1（乙） B解： 1112223a1212（甲） D解：由题设知， ， ，所以 .2(3)a(2)b263ab，解方程组 得 6yx， y，； .x，所以另一个交点的坐标为 .32，注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为 .32，2（乙） B解：由题设 ，得 .22xyy 0 22(1)()xy因为 均为整数
10、，所以有，2(1)，； 2()x，； 2()0， ； 21().x，解得1xy，； ， ； 0y， ； 1，； y，； ，； 1y，； 0，； 2.xy，以上共计 9 对 .（ ， ）3（甲） D解：由题设知， ，所以这四个数据的平均数为112aba，()()3424bab中位数为 ，(28于是 .423421abab3（乙） B解：如图，以 为边作等边 ，连接 . CDCE A由于 ， ，A，D所以 ， .E B又因为 ，所以 .3090A在 中，Rt 53， ，于是 ，所以 . 24DA4CE4（甲） D解：设小倩所有的钱数为 元、小玲所有的钱数为 元， 均为非负整数. 由题设可得xyx，
11、2()ny，消去 得 ，x74.()15227yny因为 为正整数，所以 的值分别为 1，3，5，15，所以 的值只能为157y y4，5，6，11从而 的值分别为 8，3，2，1； 的值分别为 14，7，6，7x4（乙） C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为 ，故方程的根为一正一负由二次函0q数 的图象知，当 时， ，所以 ，即 . 由于 都是正2yxpq3x0y23p39pqpq，整数，所以 ， ；或 ， ，此时都有 . 于是共有 7 组15 2p1q 240符合题意 （ ， ）5（甲） D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有 36 个，其和除以 4 的余数
12、分别是 0，1，2，3 的有序数对有 9 个，8 个，9 个，10 个，所以 ，因012398910366pp， ， ，此 最大p5（乙） C解：因为 ，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加 1 后的乘积1()1abab不变设经过 99 次操作后黑板上剩下的数为 ，则x，()1230xA解得 ， 10二、填空题6（甲） 79x9解：前四次操作的结果分别为， ， ，32x298x3276x3276810xx由已知得 764810解得 .9x容易验证，当 时， ，故 的取值范围是1 32487x 9487x x76（乙） 7解：由已知可得 99abcbcabc3109377（甲） 8解：连接
13、，记正方形 的边长为 2 . 由题设易知DFABCDa BFN ，所以AN，1N由此得 ，所以 .223F在 中，因为 ，所以RtABF aB，25于是 .cosAF由题设可知 ，所以 ，DE EDAFB.18018090AMB于是 ，25cosa，431NAM. 415DFS又 ，所以 . 21(2)AFDa 24815MNDAFDSa 因为 ，所以 .58MNDS7（乙） 28解：如图，设 的中点为 ，连接 ，则 因为EODE，所以2016OB，1624805BCOM1023645CMOBM，所以 .EBDCD（ ） （ ） 6435BCM288（甲） 23解：根据题意，关于 的方程有x，
14、223940kk由此得 0又 ，所以 ，从而 . 此时方程为 ，解得 . 230k 229304x123x故 012x8（乙） 1610解：因为 = = .22(3)()nn4259n22(1)()510nn当 被 5 除余数是 1 或 4 时， 或 能被 5 整除，则 能被 5 整除；13()当 被 5 除余数是 2 或 3 时， 能被 5 整除，则 能被 5 整除；2 22当 被 5 除余数是 0 时， 不能被 5 整除.2()(3)所以符合题设要求的所有 的个数为 n081609（甲） 8解：设平局数为 ，胜（负）局数为 ，由题设知ab，2310a由此得 .043b 又 ，所以 . 于是
15、(1)2ma()m，034b ，871230 由此得 ，或 .89当 时， ；当 时， ， ，不合题设.45a， 95ba， 52ab故 m9（乙） 312c解：由题设得 1abc， ，所以 ，cab即 .1整理得11，2310ac由二次函数 的图象及其性质，得 .231yx552ac又因为 ，所以 .ac 51ac10（甲） 32解：如图，连接 ， ， . ACBDO由 是 的直径知 .BO90A依题设 ，四边形 是90F的内接四边形，所以，所以 ，因此 .RttA CFAD因为 是 的半径， ，所以 垂直平分 ， ， ODOACODB于是 . 因此2ECB.23E，由 ，知 因为 ，A A
16、B 32E，所以 ， ，故322D D.CFB32C10（乙）. 12解：由已知有 ，且 为偶数，所以 同为偶数，于是 是 4 的倍abnab， n数设 ，则 4nm125 （）若 ，可得 ，与 是正整数矛盾0b（）若 至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对 满足 ；若（ ,） 2abm恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于 3，则至少有两个正整数对 满足 （ ）（）若 是素数，或 恰是一个素数的幂，且这个幂指数为 2，则有唯一的正整数对 满m ab（ ,）足 2ab因为有唯一正整数对 ，所以 m 的可能值为 2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，ab（ ,）共有 1
17、2 个三、解答题11（甲） 解：因为当 时，恒有 ，所以13x0y，24m（ ） （ ）即 ，所以 210m（ ） （5 分）当 时， ；当 时， ，即xy 3xy 012，2(1)3)(12m 0且 ，解得 m 5（10 分）设方程 的两个实数根分别为 ，由一元二次方程根与系数的关系得2320xx12x，1123mx，因为 ，所以1290，12910x解得 ，或 m因此 12（20 分）11（乙） 解：因为 ， ，所以4sin5AOBC810由勾股定理，得 .O26易知 ，因此 . AB 于是 ， ， .08，设点 的坐标为 ，由 ，得DmnCOEADS . CDBAOS 所以 ，12|=B
18、，()86n解得 . 4n因此 为 的中点，点 的坐标为 . DABD34，（10 分）因此 ， 分别为 ， 的两条中线，点 为 的重心，所以点 的坐标为COBCEABC E.803，设经过 ， ， 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 . 将点 的坐标代BE 6yax入，解得 . a27故经过 ， ， 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为C. 2873yx（20 分）12（甲） 证明：连接 ，因为 为 的直径，所以BDO1A又因为 ，所以 是等腰三角形90ODBCECB（5 分）设 与 交于点 ，连接 ，则 又因为1AM90M，所以C13 2BOCDMBC12DFO（15 分）又因为 分别是
19、等腰 ，等腰 的顶角，所以1F， 1（20 分）12（乙） 证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知2BADCICI，所以 I同理， .故点 是 的外心.I连接 ， ，因为 是 的中点，且 ，OAIAOA所以 ，即 .C故 是 外接圆的切线. IBD（10 分）（2）如图，过点 作 于点 ，设 与 交于点 . IECBDF由 ，知 .A因为 ， ，所以FIA，RttFAIE 所以 .B又因为 是 的内心，所以ID.2BDB故 2A（20 分）13（甲） 解：设 （ 是素数） ， （ 是正整数）. abm2abn因为 ，24所以 ，22nm（5 分）因为 与 都是正整数，且
20、( 为素数) ，所以2amn2a 2ananm， .2m1a解得 ， . (1)4n24于是 . b（ ）（10 分）又 ，即 .201a 2(1)04m又因为 是素数，解得 . 此时， .89 a 2(891)054当 时， ， ， .5136b0n因此， 的最小值为 2025. a（20 分）1413（乙） 解：假设凸 边形中有 个内角等于 ，则不等于 的内角有 个nk150150nk（1）若 ，由 ，得 ，正十二边形的 12 个内角都等于 ； k150282n150（5 分）（2）若 ，且 ，由 ，可得 ，即 3 82当 时，存在凸 边形，其中的 11 个内角等于 ，其余 个内角都等于n
21、150nk， 18051(6)30n， （10 分）（3）若 ，且 kn 当 时，设另一个角等于 存在凸 边形，其中的 个内角等于 ，另一个内角1nn1n15028050(7)30由 可得 ；由 可得 ，且 ()188 (7)30（15 分）（4）若 ，且 ，由（3）可知 当 时，存在凸 边形，其中kn k 2n2knn个内角等于 ，另两个内角都等于 2n15015综上，当 时， 的最大值为 12；当 时， 的最大值为 11；2k3当 时， 的最大值为 ；当 时， 的最大值为 8 1n7 （20 分）14（甲） 解：由于 都是正整数，且 ，所以12201xx， ， ， 12201xx， ， 0
22、于是 12201n （10 分）当 时，令 ，则 20112xx， ， ，.1（15 分）当 时，其中 ，令1nk20k 2kxx， ， ， ，则 1 01(20)()()201kxxk， ，12201 n综上，满足条件的所有正整数 为 n2， ， ， （20 分）14（乙） 解：当 时，把 分成如下两个数组：162n3n， ， ，和 81632， ， ， ， ， 84521， ， ， 在数组 中，由于 ，所以其中不存在数8162， ， ， ， ， 386， （ ），使得 abc， ， bac在数组 中，由于 ，所以其中不存在数 ，使得 845， ， ， 48abc， ， bac所以， n 16（10 分）15下面证明当 时，满足题设条件162n不妨设 2 在第一组，若 也在第一组，则结论已经成立故不妨设 在第二组. 同理可设24 24在第一组， 在第二组488()此时考虑数 8如果 8 在第一组，我们取 ，此时 ；如果 8 在第二组，我822abc， ， bac们取 ，此时 16abc， ， bac综上， 满足题设条件2n所以， 的最小值为 （20 分）
