1、12003 年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题 6 分，满分 30 分）1D由 解得 代入即得.,07234zyx2,3zyx2D因为 2030，且 b+c=2-a， .4于是 b，c 是一元二次方程 的两实根，04)2(ax0，0， 0. 所以 a4. （816423a)4(2a分）又当 a=4，b=c =-1 时，满足题意 .故 a，b，c 中最大者的最小值为 4. （10 分）（2）因为 abc0，所以 a，b，c 为全大于 0 或一正二负 .1）若 a，b，c 均大于 0，则由（ 1）知，a，b，c 中的最大者不小于 4，这与 a+b+c=
2、2 矛盾.2）若 a，b，c 为或一正二负，设 a0，b0，那么就可以交换 b，c 的位置，这称为一次操作.)(cbda（1）若圆周上依次放着数 1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a，b，c， d，都有 0？)(cbda请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着 2003 个正整数1，2，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4个数 a，b，c ，d，都有 0？请说明理由 .)(cbda解：（1）答案是肯定的. 具体操作如下：(14)(2 3)0交换 2，31 3 2 4 5 6 1 3 2 4 5 6 1
3、 3 2 4 5 6 (12)(3 4)0交换 3，41 3 2 4 5 6 (36)(2 5)0交换 2，51 3 2 4 5 6 (35)(2 4)0交换 2，49（5 分）（2）答案是肯定的. 考虑这 2003 个数的相邻两数乘积之和为 P. （7 分）开始时， =12+23+34+20022003+20031，经过 k（k0）0P次操作后，这 2003 个数的相邻两数乘积之和为 ，此时若圆周上依次相连的k4 个数 a，b，c ，d 满足不等式 0，即 ab+cdac+bd，交换 b，c 的)(cbda位置后，这 2003 个数的相邻两数乘积之和为 ，有1kP.0)()(1 cdabccbPk所以 ，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少 1，由于相邻两数乘积总大于 0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的 4 个数a，b，c，d，一定有 0. （15 分）)(cbda
