1、*大 学毕 业 论 文题 目： * 学 生 姓 名 : * 指 导 老 师 ： * 学 院 ： * 专 业 班 级 ： * 完 成 时 间 ： * 三点扭转曲面的自相交曲线摘 要：直纹面是空间曲面这个家族中的重要成员，是空间解析几何的重要内容之一，并且广泛应用于计算机图形学、机器人运动学、CAD/CAM 等技术. 三点扭转曲面是一类非常奇妙的直纹面，曾在普罗维登斯艺术俱乐部中“三维空间之外的曲面”的展览会中展出. 基理论能够高效地运用于求解有理直纹面的相关问题，包括齐次形式参数曲面的隐式化、隐式方程的参数化以及求解直纹面的各阶奇异点. 基于 基理论和算法能够为这类神奇的直纹面提出一种准确计算自
2、相交曲线的方法关键词：三点扭转曲面；直纹面；自相交曲线；奇异点； 基1 引言1996 年 3 月，三点扭转曲面曾在普罗维登斯艺术俱乐部“三维空间之外的曲面”的展览会中被展出 2，并在 1997 年登上了美国数学联合学会杂志的封面正如某些艺术家的评论，任何被这神奇的曲面的某个方面所吸引的观众，基于他们的个人背景和兴趣，都能对这种曲面进行不同程度的探究David Mond 和 Washington Marar 的文章 3中描述了一系列曲面，三点扭转曲面（见图 1）便是其中一类，文章还分析了各种曲面的奇异点是怎样出现的作为广大直纹面家族的成员，三点扭转曲面的欧式参数形式如下(1)，),(),( 35
3、3cvucvzyx其中 为常数，并且当 时直纹面没有任何自相交的部分，当 时直纹面便出现一c0c 0c个“三点”和两个夹点这种直纹面看上去是如此神奇，那么它的自相交曲线到底是怎样的呢？接下来本文将运用 基理论将它呈现在大家面前图 1 三点扭转曲面 基的概念第一次出现在文献 4中，主要用于为平面有理曲线的参数形式提供了一个简洁的隐式方程表达式，不久后被推广至一般的有理曲面 5,6,7， 基为有理曲线以及曲面的参数形式和隐式表达之间建立起了连通的桥梁，并且已经成功地应用于有理直纹面的参数化 8、计算有理曲面的各阶奇异点 1，并且为具有高阶奇异点的有理曲面求得了更为简洁的隐式表达 9.2 计算 基任
4、何 阶有理直纹面的齐次参数形式都可以定义如下：m).,(,)(,:),(10tsdctsbaptsP其中 .1,0)(,)(,)( 4iRspiiiii欧式参数方程（1）可转化为齐次参数形式(2)，)0,(),0(:), 24624 stcssttP那么 ).,(),(),( ),0211 46400sdscbsa移动平面 是对应于参数对 一族参数平面,:), tDCtBAtL ,(ts，我们把移动平面 叫作直纹面的跟随平,(,)(wzysBxtA )L面 如果P .0),(,(),(),(), tdDtsctsbtsat几何上，移动平面 跟随直纹面 意味着对任何参数对 ，点P0都落在平面 上
5、)(0ts0L令 为只与参数 有关的移动平面，定义 ，4)(,)(,:)( sRCBAL并且， 很容易可以验证 是 上的一个模型),(tsPs4R定理 11 假设有理直纹面 的隐式阶为 ， 存在两个阶分别为 和 的移),(tmm动平面族 和)(,4321psp使得 和 形成模 的一对基底)(),(432qqs）（ sq)(sL从几何的角度上讲，直纹面 的母线是由两个移动平面 和 的交线形成),(tPpq的依据 10中引理 13 及定理 1,可以得出以下引理引理 1 的 基的前两个元素分别为),(tsP ).(,01)(,01,( 22 cssqsp证明： 令 ),()(, 011010 sba
6、sba则有 .,;0,;, ;,;346 25735 sdcbcsb令 ).,();),gcd()( g423 31 abcsas d那么模 由下面这个矩阵的行生成)(sL ， 02433105-4,4,03, 2,2,1,1,0 csscs sgabcgdbgacdgcdbM根据 10中的算法，可以得到一个 24 矩阵 ,0123-0scs它包含了直纹面 的 基的两个元素),(tsP3 有理直纹面的隐式化表达对两个多项式求结式能够用于求解它们的公共零点，基于此，以下引理提供一种利用结式的工具给出有理直纹面的隐式方程的有效方法引理 21 令 为有理直纹面的 基的两个元素.那么 的隐式方程可以)
7、(,sqp ),(tsP给出如下其中 ).,(wzyxX由引理 1 可以得出 .,)( 32 ycssqyssp 那么 .),(,Re,( 523332222 yzwxxzwyczwxczyxF 即为方程(1)的隐式方程的齐次形式0),w4 自相交曲线和奇异点曲面的奇异点是指在平面上该点处切平面不唯一的点奇异点轨迹是指曲面上所有奇异点组成的集合一般来讲，曲面的奇异点轨迹有有限个孤立奇异点和一些空间曲线组成，其中空间曲线是曲面的自相交曲面引理 31 令 为直纹面 的 阶奇异点（ )，那么),(00wzyxQ),(tsPrr或者 ，其中 和 分别是 和 的阶， 是直纹面 齐mrrmpqm,(tsP
8、次形式的隐式阶，并且有1. 是 阶奇异点当且仅当 且 ；),(00zyx 0)(Q0)(q2. 是 阶奇异点当且仅当 且 ；0s)0s定理 2 对于 ，三点扭转曲面没有任何自相交部分，但对于 ，曲面有唯一的0c 0c二阶自相交曲线，参数轨迹如下,243,243, 2353 scscsscsszyx）（(3)其中 并且，除了有一个三阶奇异点 ，没有任何更高阶34csc )1,0(Q奇异点证明：两个多项式的第 个主子结式系数 定义如下 1iiPSC如果 ),()(,)( 1010 mnqxqxpxpx mnn 那么 iniminmini ipppqqxqpPSC 12100),( 10211021
9、其中 并且当 那么 和 的主子结式系数为,2,10mi.,jiqjni Xq.),( ,0,2 221ysXqpPSCcwyzxzxcw 记 ).,(),(,( tsPFtsfqpSxFiiii 那么 .),(;)()3(),( 24235272711 cstftcstcstsf 根据算法 ).,(,gcd(),();11 tsfftsftiii 有;),(,gcd(),( ,)()3)2212 3252771 stftsftsf stctc 由于二元多项式 是通过从 中消去 与 的公因式，所以有Di i ,1tfi,tfi(4).)(3, 242681 scctt根据 1,所有满足 的参数对
10、 ，都对应于直纹面 上所有二阶奇异点0)(s),(0s),(tP构成的曲线，也就是说，对每个参数对 ， 为二阶奇异点由(4)式解得,0t.2sct 将其代入 ，就可以得到自相交曲线(3).),(tsP根据引理 1 和引理 4，由条件 得到 但0=)(Qsp(),100从而 为三阶奇异点，作图可发现,0)(,0)(20cQq )1,实际上为所有二阶奇异点所在的自相交曲线的自相交点.并且 不再含,= ),(tsP有更高阶的奇异点了用 Maple 作图工具作出三点扭转曲面的自相交曲线如下图 2 时的自相交曲线 图 3 时的自相交曲线1c 01.c图 4 时的三点扭转曲面1c结束语应用 基原理，我们能
11、够得到在参数 为任何负数的情况下，三点扭转曲面的自相交c曲线，并且我们求出了曲面恒过的一个唯一的三阶奇异点 ，很好地运用曲面1,00Q求交的技术将这一神奇的曲面三点扭转曲面展现在大家面前.首先将曲面的欧式参数坐标转化为齐次参数形式 ，然后通过一系列的算法求出),(tsP了 的 基，从而运用结式的工具作出了直纹面的隐式方程，最后计算出了曲面的自),(tsP相交曲线和唯一的三阶奇异点.【参 考 文 献】1 X, Jia, F, Chen, J, Deng, Computing self-intersection curves of rational ruled surfaces. Computer
12、 Aided Geometric Design, 26(2009)287-299.2 http:/www.math.brown.edu/banchoff/art/PAC-9603/tour/triple-math.html3 Marar Washington Luiz, Mond David, Real map-germs with good perturbations, Topology, 35(1996) 157-165.4 David Cox, T.W.Sederberg,and Falai Chen, The moving line ideal basis of planar rati
13、onal curves.Computer Aided Geometric Design, Vol.15, 1998, 803-827.5 Falai Chen and Wenping Wang,Revisiting the mu-basis of a rational ruled surface,Journal of Symbolic Computation, Vol.36, 2003, 699-716.6 Falai Chen, David Cox, and Yang Liu, The mu-basis of a rational parametric surface,Journal of
14、Symbolic Computation, Vol.39, 2005, 689-706.7 Falai Chen, Reparameterization of a rational ruled surface by mu-basis, Computer Aided Geometric Design, Vol.20, 2003, 11-17.8 Falai Chen and Wenping Wang, Computing the singular points of a planar curve using the mu-basis, preprint, 2004.9 Falai Chen an
15、d Thomas W.Sederberg, A new implicit representation of a planar rational curve with high order of singularity, Computer Aided Geometric Design, Vol.19, 2002, 151-167. 10 Falai Chen, Jianmin Zheng,and T.W.Sederberg, The -basis of a rational ruled surface, Computer Aided Geometric Design, Vol.18, 2001, 61-72.
