1、自强不息 厚德载物1 / 12 授课类型 T 周期性与对称性 C 幂函数图像 T 幂函数性质教学内容周期性 1、周期函数的定义一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有)(xfy，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期)(xfTf中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然，若 T 是函数的周期，则 也是 的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期)0,(kzT)(xf是指函数的最小正周期。说明：1、周期函数定义域必是无界的。2、周期函数不一定都有最小正周期。推广：若 ，则 是周期函数， 是
2、它的一个周期； )()(bxfaf)(xfab，则 周期为 T；2Tfxff的周期为 的周期为 。()f )(xf2、常见周期函数的函数方程：（1）函数值之和定值型，即函数 )()()(baCxbfaf 对于定义域中任意 x满足 ，则有 )(2(xfaxf，故函数 )(xf的周期xf是 )(2abT特例： ，则 是以 为周期的周期函数；fxfxf2Ta（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型自强不息 厚德载物2 / 12 若 ，则得 )2()()2( abxfaxf ，所以函数 )(xf的)()()( 可 正 可 负， Cbaxbfaf 周期是 2T（3）分式型，即函数 )(xf满足 )(
3、1)(baxfaf 由 )(1)(bfaxf 得 )2()(ff，进而得)2(f，由前面的结论得 x的周期是 )(4abT（4）递推型：（或 ） ，则 的周期 T= 6a（联系数列）)()(axfaxf )2()()xfafxf)(xf,则 的周期 T=5a；)23434a)(xf其中 ，则 是以 为周期的周期函数。，满 足 )0()( fgffy )(1g)(fy23、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心） ，则该函数必为周期函数。相关结论如下：结论 1：两线
4、对称型：如果定义在 上的函数 有两条对称轴 、 ，即 ，R()fxxab()()faxf且 ，那么 是周期函数，其中一个周期()()fbxf()fx2T结论 2：两点对称型：如果函数同时关于两点 、 （ ）成中心对称，即 和,ac,ba()()2faxfc，那么 是周期函数，其中一个周期()()2fbxfc()ab()fx2Tb结论 3：一线一点对称型：如果函数 的图像关于点 （ ）成中心对称，且关于直线()fx,ac0（ ）成轴对称，那么 是周期函数，其中一个周期xba 4Tab自强不息 厚德载物3 / 12 例 1、定义域为 R的函数 fx满足 48fxf，且 8yfx为偶函数，则 （ ）
5、()fx（A）是周期为 4 的周期函数 （B）是周期为 8 的周期函数（C）是周期为12的周期函数 （D）不是周期函数例2、定义在 上的函数 ，给出下列四个命题：R()fx（1）若 是偶函数，则 的图象关于直线 对称()fx33x（2）若 则 的图象关于点 对称3(),fx(f(,0)（3）若 = ，且 ，则 的一个周期为2。()fx4)fxf（4） 与 的图象关于直线 对称。y(3yfx3其中正确命题的序号为 。对称性一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数
6、的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180 度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 二、抽象函数的对称性1、函数 图象本身的对称性（自对称问题）)(xfy（1）轴对称 的图象关于直线 对称 )(f ax)()(xaff)2()xaff)2(ff 的图象关于直线 对称.)()(xbfaf)(xfy 2)(baxax自强不息 厚德载物4 / 12 特别地，函数 的图像关于 轴对称的充要条件是 .)(xfyy()fx（2）中心对称 的图象关于点 对称)(xfy),(babxaff2)()(bxafx2)()。xff2 的图
7、象关于点 对称.cbfxaf)()()(xfy),2(cba特别地，函数 的图像关于原点 对称的充要条件是 .)(xfy(0,)()0fx（3）对称性与周期性之间的联系若函数 既关于直线 对称，又关于直线 对称 ，则函数 关于无数条直线对称，相邻()fxaxb()a()f对称轴的距离为 ；且函数 为周期函数，周期 ；b()fx2T特别地：若 是偶函数，其图像又关于直线 对称，则 是周期为 的周期函数； )(fyxa()fx2a若函数 既关于点 对称，又关于点 对称 ，则函数 关于无数个点对称，相邻对称中()fx,0a(,0)b()b心的距离为 ；且函数 为周期函数，周期 ；b()fx2T若函数
8、 既关于直线 对称，又关于点 对称 ，则函数 关于无数个点和直线对称，相()fx(,)()a()fx邻对称轴和中心的距离为 ，相邻对称轴或中心的距离为 ；且函数 为周期函数，周期ab。4Tba特别地：若 是奇函数，其图像又关于直线 对称，则 是周期为 的周期函数。)(xfyxa()fxa41.已知函数 定义域为 ，且对于任意实数 满足 ，当 时，()fR(2)(6)ff02，则 .235xx(1)3f2. 已知函数 （ ） ，给出下列四个命题：()|fa当且仅当 时， 是偶函数； 函数 一定存在零点； 0a()fx ()fx函数在区间 上单调递减； 当 时，函数 的最小值为 (,01a()fx
9、2a那么所有真命题的序号是 自强不息 厚德载物5 / 12 幂函数的图像与性质【知识梳理】 1 幂函数的定义：形如 的函数称为幂函数 ( 为常数, )xy)(RaQ2 常用幂函数性质及其图像3 性质如下：（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当 时，幂函数的图象下 ),01凸；当 时，幂函数的图象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴0),0(xy右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴yxx【典型例题分析】【例
10、 1】有下列函数： ，其中哪些为幂函数？ 312242312,yxyyxyxxxy23xy211xy定义域值域奇偶性单调性定点自强不息 厚德载物6 / 12 变式练习：幂函数 的图像经过点 ，幂函数 ，则下列四个函数 ，1aykx12,2akyx12y中，是幂函数的是_1122,y【例 2】求函数 的定义域。310522yx【例 3】若 的图像与坐标轴没有公共点，且关于 轴对称，求 的表达式。23mfxZyfx变式练习 1：函数 是幂函数，求实数 m 的值。221()myx变式练习 2：幂函数 的大致图像是如图所示的 （ ）231lfx再变：在上题的基础上加上函数是奇函数，则 m 的取值为 自
11、强不息 厚德载物7 / 12 变式练习 3：已知幂函数 的图像不过原点，则 的值为_227991myxm【例 4】比较下列各组中两个数的大小：（1） 与 （2） 与123.12.a0变式练习 1：比较下列各组中两个数的大小（1） （2） 23.83.923(.1)23(.)（3） 4()41变式练习 2：已知 ，求 的取值范围133()(2)aa变式练习 4：已知 ，求 的取值范围。4455312aa【例 5】作出函数 的图像。21xy变式练习 1：作出函数 的图像。1xf自强不息 厚德载物8 / 12 【例 6】利用函数的图像解不等式： 213x【例 7】已知函数 ，已知35()cfxabx
12、(3)2,()ff求【例 8】已知函数 与 关于 对称1,fxgxf1,2M（1）求 的解析式，并求出 的单调区间；g（2）若 ，求证：10,abcabA34gac自强不息 厚德载物9 / 12 【课堂小练】一、选择题1、使 x2x 3 成立的 x 的取值范围是 （ ）A、x1 且 x0 B、0x 1C、x 1 D、x12、若四个幂函数 y ，y ，y ，y 在同一坐标系中的图象如右图，abxcd则 a、b、c、d 的大小关系是 （ ）A、dcbaB、abc dC、dca bD、abdc3、在函数 y ，y 2x 3， yx 2x，y 1 中，幂函数有 （ ）1A、0 个 B、1 个 C、2
13、个 D、3 个4、若 ，且 为整数，则下列各式中正确的是 （ ）a,mnA、 B、 nmaC、 D、nma01n5、设 ，则 （ ）.50.90.48123,2yyA、 B、 31213yC、 D、y26、.若集合 M=y|y=2x, P=y|y= , MP= （ ）1xA、y|y1 B、y|y1 C、y|y0 D、y|y07、设 f(x)2 2x52 x1 1 它的最小值是 ( )A、0.5 B、3 C、 D、01698、如果 a1,b1,那么函数 f(x)a xb 的图象在 ( )A 第一、二、三象限 B 第一、三、四象限C 第二、三、四象限 D 第一、二、四象限自强不息 厚德载物10 /
14、 12 二、填空题9、已知 0ab1,设 aa, ab, ba, bb中的最大值是 M，最小值是 m，则 M ，m .10、已知 f（x） x5ax 3bx8，f （2）10，则 f（2）=_11、函数 y(x 22x) 29 的图象与 轴交点的个数是_ 。x12、函数 y(x1) 31 的图象的中心对称点的坐标是_ 。三、解答题13、 .643, zyxRzyx且设 ;21)1(zyx求 证 ： .6,43)(的 大 小比 较 zyx14、已知幂函数 f（x ） （pZ）在（0， ）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求 p 的231值，并写出相应的函数 f（x ） 、15、已知幂函数 的图
15、象与 x,y 轴都无交点，且关于 y 轴对称，求 m 的值。)(32Zmxy【课后练习】一、基础巩固自强不息 厚德载物11 / 12 1.幂函数 的值域为_12,4yx2.函数 的定义域为_2035x3.两个不同的幂函数图像最多有_个交点，最少有_个交点。4.下列函数中，不是幂函数的是 （ ）A B C D 1yxyx13yx2xy5.要作出函数 的图像，将函数 的图像 （ ）1232A 向上平移 3 个单位 B 向下平移 3 个单位C 向左平移 3 个单位 D 向右平移 3 个单位6.幂函数 的图像经过 ，则 的值为 （ ）fx2,fA B C 9 D 33197.讨论函数 的定义域、值域，并画出它的图像草图。13yx二、能力提升8.如图，函数 的示意图，则 的值为_23nfxZn9.已知 ,试比较 的大小。21mxf R5f与三、开放研究yx0 第 8题 图自强不息 厚德载物12 / 12 10.函数 递增且为偶函数，求函数 的解析式。23,0qfxZ在 fx四、高考体验11.已知幂函数 的图像与 轴， 轴无交点，且关于 轴对称，试确定函数 的解析38mfxNxyyfx式。
