1、幂函数的性质与图像上海南汇中学周静波【教学目标】1、掌握幂函数的概念。2、掌握幂函数的性质和图像。3、通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像。4、熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想。【教学重点】 幂函数的图像与性质【教学难点】 幂函数的图像教学过程一、回顾与本堂课相关的知识点(1)若 ab0，则 akbk0 。( kN * )(2)若 ab0，则 k ak b0 。（ kN * 且 k1 ）(3)有理数集 Q= x | xq , p, q Z , p0, p, q 互质 p(4)如图 :a k指数幂底数二、新课1、引入熟悉的函数 这些函数都可以写成底数为x，指数是一个有理数的形式。
2、x2x311(1)yyyxx2y3 xx 31x 11x 21x 311(2)yyyyx 2xx2x3x11yx 33x这节课是学习一类新的函数幂函数。因此课前先要复习相关的知识点。由一些熟悉的函数通过变形，发现这类函数都可以写成“幂”的形式。2、定义q形如 yx p ，（其中 p, qZ , p0 且 p, q 互质）的函数叫幂函数。注意：幂函数的底数是变量x，系数是 1，指数是有理数q 。p练习判断：下列各式中表示幂函数的有（）答案： C E F1B、 y xx2D、 y 2xA、 y 3x2C、 y x 3E、 y7 x4F、 y x0.5G、 y x 2思考：研究函数的性质可以从哪些方
3、面考虑？（回顾第三章的内容 函数的性质考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、图像）3、研究探索1例 1、研究函数 yx 2 的奇偶性、单调性，并作出函数的图像。1解：函数 yx 2的定义域为 (0,) ，值域为 (0, ) 。（ 1）奇偶性。因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶的函数。（ 2）单调性。对任意 x1 , x2(0,) ，且 x1x2可得 0x1x2则 110即 y1 y2x1x21所以函数 yx 2在 (0,) 上为减函数。给出幂函数的定义，由运用定义来判断几个函数是否是幂函数。幂函数会具有什么性质？通过回忆函数的性质，从这几个方面入手。顺便可以复习与函性
4、质相关的知识点。数由以上几点分析函数的图像的性质：由 x0, y0 ，可知函数的图像只在第一象限；由函数非奇非偶，可知图像不对称；由函数是减函数，可知y 随 x 的增大而减小。x0.250.5123412.01.410.70.60.5y x 2描点作图：1yx 21.4y10.7O0.512x2例 2、指出 yx 3的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的图像。23 x2解： y x3定义域为 R，值域为 0, )（1）奇偶性。对任意 xR，满足x R，使得 f ( x)3 ( x) 23 x2f ( x)所以该函数是偶函数。（2）单调性。对任意 x1, x20,) ，且 x1x2所以 0x
5、12x22 ，故有 03 x12 3 x22即 y1 y22所以 yx 3在 0,) 上为增函数。2同理可得 yx3 在 (,0 上为增减数。描点作图：1x0 1 2 3 4203113439y x316作图时不妨考虑到函数的奇偶性与函数图像对称性之间的关系，更加简便。y2yx 31O1x2在作函数 yx 3 的图像时，可以先描点作出该函数在第一象限内的图像，再由其奇偶性作出对称的另外一部分图像。小结：研究函数图像的基本步骤（方法）1、由定义域、值域判断函数在坐标系中的位置。2、由单调性判断图像的变化趋势。3、由奇偶性判断函数图像是否对称。7练习：指出函数yx3 的定义域、值域、奇偶性、单调性
6、，并作出它的大致图像。小结：研究函数图像的基本方法不仅适用于幂函数，对任意函数都是可行的。定义域： R值域： R奇偶性：奇单调性：增函数4、归纳总结y1O1qx学生自己根据函数的性质来作函数的图像，体会研究函数图像的方法。思考：幂函数 y的特点。）yx p 有哪些性质？（分析幂函数在第一象限内图像qq1p1p1q0p1q0pO1x小结：幂函数图像在第一象限的特点。（ 1）图像必过 (1,1)点。（ 2） q1时，过 (0,0) 点，且随 x 的增大，函数图像向y 轴方向p延伸。在第一象限是增函数。（ 3） q 1时，图像是直线 y=x。在第一象限内是增函数。 （在整 p总结：幂函数图像在第一象限内的特点。个定义域内都是增函数。 ）q（ 4） 10 时，随 x 的增大，函数图像向 x 轴方向延伸。在第 p一象限是增函数。（ 5） q0 时，随 x 的增大，函数图像与x 轴、 y 轴无限接近，但p永不相交。在第一象限是减函数。三、本课总结：1、了解幂函数的概念。（并回顾了相关的知识点）2、学习如何通过对函数性质的研究作出函数的图像。3、掌握幂函数的图像与性质。四、作业练习册 P4113 题一课一练 P7475课堂总结，归纳本堂课的主要内容：即不仅学习了幂函数，更懂得如何运用函数性质研究函数图象。体会数形结合的思想在解题和思考中的应用。
