1、 幂函数的图像与性质 【知识整理】1、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.注意：中，前面的系数为1，且没有常数项。2、幂函数的图像（1） （2） （3） （4） （5） 定义域RRR奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第象限单调增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）3、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数
2、特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴。基础训练：1. 下列函数是幂函数的是()Ay5x Byx5 Cy5x Dy(x1)32.已知函数y(m22m2)xm22n3是幂函数，则m=_，n=_.3.已知幂函数f(x)x的图象经过点(9，3)，则f(100)_4. 下列幂函数在(，0)上为减函数的是()Ayx Byx2 Cyx3 Dyx5. 下列函数中，定义域为R的是()Ayx2 Byx Cyx2 Dyx16. 函数yx的图象大致是()7.
3、 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的函数是()Ayx2 Byx1 Cyx2 Dyx8. 函数yx2在区间，2上的值域为_9. 设1，1，3，则使yx的定义域为R且为奇函数的所有的值组成的集合为_例题精析：例1.如图，图中曲线是幂函数yx在第一象限的大致图象已知取2，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的的值依次为_变式训练：幂函数yx1及直线yx，y1，x1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：、(如图所示)，那么幂函数yx的图象经过的“卦限”是_. 例2比较下列各组数的大小：(1)3和3.1； (2)8和()；(3)()和()； (4)4.1，3.8和(1.9
4、).变式训练：用“”或“”填空：(1)()_()； (2)()1_()1；(3)(2.1)_(2.2).例3已知幂函数f(x)(t3t1)x(14tt2)是偶函数，且在(0，)上为增函数，求函数解析式变式训练：若函数f(x)(m2m1)xm1是幂函数，且在x(0，)上是减函数，求实数m的取值范围.课后作业：1. 若幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f()_2.设1，1，3，则使幂函数yx的定义域为R的所有的值为_.3. 幂函数yf(x)的图象经过点(2，)，则满足f(x)27的x值等于_4. 函数yax2(a0且a1，1x1)的值域是，1，则实数a_5. 比较下列各组中两个值的大小：(1)
5、1.5与1.6； (2)0.61.3与0.71.3； (3)3.5与5.3； (4)0.180.3与0.150.3.6. 设a()，b()，c()，则a，b，c的大小关系是_7. 已知函数yx.(1)求定义域；(2)判断奇偶性；(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间8.已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上函数值随x的增大而减小，求满足(a1)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)?【题目】如果幂函数y=f（x）的图像经过点（2，4），则f（3）= 【题目】下列命题中，正确命题的题号为 幂函数的图像都经过点（1，1
6、）图像经过点（1，1）的幂函数是偶函数幂函数的图像不经过第四象限当n=0时，函数y=xn的图像是一条直线当n0时，y0，故不过第四象限当x0时，y0或无意义故不过第二象限综上，不过二、四象限也可画图观察答案：二、四【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的概念，选择题，易，逻辑思维【题目】上述函数是幂函数的个数是（ ）A 个 B 个 C 个 D 个【解答】C【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像，选择题，易，逻辑思维【题目】若四个幂函数y，y，y，y在同一坐标系中的图象如右图， 则a、b、c、d的大小关系是（ ）Adcba BabcdCdcab Dabdc【解答】B【属性】高三，幂函数
7、的图像与性质，幂函数的图像，选择题，易，逻辑思维【题目】函数的图象是（ ）A B C D【解答】A【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像与性质，填空题，中，逻辑思维【题目】幂函数图象在一、二象限，不过原点，则的奇偶性为 .【解答】为奇数，是偶数【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像与性质，解答题，中，分析问题解决问题【题目】画出下列函数的大致图像并指出函数的性质：【解答】偶函数 单调增区间、单调减区间、 值域【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的概念，解答题，中，运算【题目】已知函数f(x)(m2m1)x-5m-3，m为何值时， (1)是正比例函数；(2)是反比例函数；(3
8、)是二次函数；(4)是幂函数【解答】(1)若f(x)是正比例函数，则5m31，解得m，此时m2m10，故m.(2)若f(x)是反比例函数，则5m31，则m，此时m2m10，故m.(3)若f(x)是二次函数，则5m32，即m1，此时m2m10，故m1，(4)若f(x)是幂函数，则m2m11，即m2m20，解得m2或m1.综上所述，(1)当m时，f(x)是正比例函数(2)当m时，f(x)是反比例函数(3)当m1时，f(x)是二次函数(4)当m2或m1时，f(x)是幂函数【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像与性质，解答题，难，分析问题解决问题【题目】函数f(x)2x和g(x)x3的图象的示
9、意图如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x10，(2)40，(9)29930，则方程(x)f(x)g(x)的两个零点x1(1,2)，x2(9,10)，因此整数a1，b9.(3)从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)x2时，f(x)g(x)，g(2011)f(2011)，g(6)g(2011)f(6)g(6)g(2011)f(2011)【题目资源】【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像，填空题，易，逻辑思维【题目】当时，幂函数y=xn的图象不可能经过第_象限【解答】四【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像，填空题，易，运算【题
10、目】当0x()n，则n_.【解答】可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解答案：1或2【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的概念，填空题，易，运算【题目】已知函数f（x）=x2，则f（2）、f（1）、f（3）由小到大的顺序是. 【解答】【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的概念，选择题，易，运算【题目】已知幂函数yf(x)的图象经过点，则f(2)()A. B4 C. D.【解答】C【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的概念，选择题，易，运算【题目】下列四类函数中，有性质“对任意的x0，y0，函数f（x）满足f（xy）f（x）f（y）”的是（ ）A幂函数B对数函数C指数函数D余弦
11、函数【解答】A【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的性质，选择题，易，运算【题目】已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则实数m的取值范围是()A(0，) B(1，) C(0,1) D(，0)【解答】0.71.30.7011.301.30.7，0.71.31.30.7，m0.答案：A【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的概念，选择题，易，逻辑思维【题目】如果幂函数y=f（x）有反函数，则y=f（x）为（ ）A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.不确定【解答】D【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的性质，填空题，中，逻辑思维【题目】请写一个既是偶函数又在（，0）上递增的幂
12、函数 【解答】【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的概念，填空题，中，运算【题目】设，如果f（x）是正比例函数，则m= ，如果f（x）是反比例函数，则m= ，如果f（x）是幂函数，则m= 【解答】、2【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像与性质，选择题，中，逻辑思维【题目】在f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=logx四个函数中，x1x21时，能使f（x1）+f（x2）f（）成立的函数是（ ）A.f1（x）=xB.f2（x）=x2 C.f3（x）=2xD.f4（x）=logx【解答】A【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像与性质，选择题，中，逻辑
13、思维【题目】右图是函数(m，nN*，m、n互质)的图象，则()Am，n是奇数且1w。w-w*k&s%5￥ Cm是偶数，n是奇数且1【解答】将分数指数式化为根式，y，由定义域为R，值域为0，)知n为奇数，m为偶数，又由幂函数yx，当1时，图象在第一象限的部分下凸，当01时，图象在第一象限的部分上凸，故选C.或由图象知函数为偶函数，m为偶数，n为奇数又在第一象限内上凸，1.答案：C【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像，选择题，中，逻辑思维【题目】设y=f（x）和y=g（x）是两个不同的幂函数，则集合（x，y）|f（x）=g（x）中元素的个数是（ ）A.1 B.1或2 C. 1或2或3 D
14、. 1或2或3或4【解答】D【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像，选择题，中，逻辑思维【题目】函数 的图象只可能是（ ）【解答】D【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的性质，解答题，中，分析问题解决问题【题目】写出下列各函数的单调区间：【解答】（1）单调增区间，单调减区间（2）单调减区间【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的性质，解答题，难，运算【题目】解不等式:【解答】【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像，解答题，难，分析问题解决问题【题目】求曲线分别与直线y=x+b（bR）的交点个数。【解答】当时，没有交点；当时，2个交点；当或时，1个交点。【属性】高三，幂函数
15、的图像与性质，幂函数的图像与性质，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知函数（1）作函数y=f（x）的图像；（2）讨论函数y=f（x）的性质。【解答】非奇非偶函数单调增区间，单调减区间值域 图像对称轴【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的性质，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知函数f(x)xm，且f(4).(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，)上的单调性，并给予证明【解答】 (1)f(4)，4m.m1.(2)f(x)x在(0，)上单调递减，证明如下：任取0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x2x1)(1)0x10，10.f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x
16、2)，即f(x)x在(0，)上单调递减【属性】高三，幂函数的图像与性质，最值问题，解答题，难，应用【题目】某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。【解答】（1）A利润的函数为 B利润的函数为（2）设为投资10万元的总利润，其中万元投入产品则两产品分别投资与万元时，可获得最大利润为万元。
